In die skoolkursus van soliede meetkunde is een van die eenvoudigste figure wat nie-nul afmetings langs drie ruimtelike asse het, 'n vierhoekige prisma. Oorweeg in die artikel watter soort figuur dit is, uit watter elemente dit bestaan, en ook hoe jy sy oppervlakte en volume kan bereken.
Die konsep van 'n prisma
In meetkunde is 'n prisma 'n ruimtelike figuur wat gevorm word deur twee identiese basisse en sy-oppervlaktes wat die sye van hierdie basisse verbind. Let daarop dat beide basisse in mekaar getransformeer word deur die werking van parallelle translasie deur een of ander vektor te gebruik. Hierdie toewysing van die prisma lei daartoe dat al sy sye altyd parallelogramme is.
Die aantal sye van die basis kan arbitrêr wees, vanaf drie. Wanneer hierdie getal na oneindig neig, verander die prisma glad in 'n silinder, aangesien die basis daarvan 'n sirkel word, en die syparallellogramme, wat verbind, vorm 'n silindriese oppervlak.
Soos enige veelvlak, word 'n prisma gekenmerk deursye (vlakke wat die figuur bind), kante (segmente waarlangs enige twee sye sny) en hoekpunte (ontmoetpunte van drie sye, vir 'n prisma is twee daarvan sywaarts, en die derde is die basis). Die hoeveelhede van die genoemde drie elemente van die figuur word met mekaar verbind deur die volgende uitdrukking:
P=C + B - 2
Hier is P, C en B onderskeidelik die aantal kante, sye en hoekpunte. Hierdie uitdrukking is die wiskundige notasie van Euler se stelling.
Die prent hierbo toon twee prismas. Aan die basis van een van hulle (A) lê 'n reëlmatige seshoek, en die sye is loodreg op die basisse. Figuur B toon 'n ander prisma. Sy sye is nie meer loodreg op die basisse nie, en die basis is 'n gereelde vyfhoek.
Wat is 'n vierhoekige prisma?
Soos duidelik blyk uit die beskrywing hierbo, word die tipe prisma hoofsaaklik bepaal deur die tipe veelhoek wat die basis vorm (albei basisse is dieselfde, so ons kan oor een van hulle praat). As hierdie veelhoek 'n parallelogram is, kry ons 'n vierhoekige prisma. Dus, alle kante van hierdie tipe prisma is parallelogramme. 'n Vierhoekige prisma het sy eie naam - 'n parallelepiped.
Die aantal sye van 'n parallelepiped is ses, en elke sy het 'n soortgelyke parallel daaraan. Aangesien die basis van die boks twee kante is, is die oorblywende vier lateraal.
Die aantal hoekpunte van die parallelepiped is agt, wat maklik is om te sien as ons onthou dat die hoekpunte van die prisma slegs by die hoekpunte van die basisveelhoeke (4x2=8) gevorm word. Deur Euler se stelling toe te pas, kry ons die aantal rande:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
Uit 12 ribbes word slegs 4 onafhanklik deur die kante gevorm. Die oorblywende 8 lê in die vlakke van die basisse van die figuur.
Verder in die artikel sal ons net oor vierhoekige prismas praat.
Tipes parallelepipeds
Die eerste tipe klassifikasie is die kenmerke van die parallelogram onderliggende. Dit lyk dalk so:
- reëlmatig, waarvan die hoeke nie gelyk is aan 90o;
- reghoek;
- 'n vierkant is 'n gereelde vierhoek.
Die tweede tipe klassifikasie is die hoek waarteen die sy die basis kruis. Twee verskillende gevalle is hier moontlik:
- hierdie hoek is nie reguit nie, dan word die prisma skuins of skuins genoem;
- die hoek is 90o, dan is so 'n prisma reghoekig of net reguit.
Die derde tipe klassifikasie hou verband met die hoogte van die prisma. As die prisma reghoekig is, en die basis is óf 'n vierkant óf 'n reghoek, dan word dit 'n kuboïed genoem. As daar 'n vierkant by die basis is, die prisma reghoekig is, en sy hoogte is gelyk aan die lengte van die sy van die vierkant, dan kry ons die bekende kubusfiguur.
Prisma-oppervlak en -area
Die versameling van alle punte wat op twee basisse van 'n prisma lê(parallelogramme) en aan sy sye (vier parallelogramme) vorm die oppervlak van die figuur. Die oppervlakte van hierdie oppervlak kan bereken word deur die oppervlakte van die basis en hierdie waarde vir die syoppervlak te bereken. Dan sal hul som die gewenste waarde gee. Wiskundig word dit soos volg geskryf:
S=2So+ Sb
Hier is So en Sb die oppervlakte van die basis- en syoppervlak onderskeidelik. Die getal 2 voor So verskyn omdat daar twee basisse is.
Let daarop dat die geskrewe formule geldig is vir enige prisma, en nie net vir die oppervlakte van 'n vierhoekige prisma nie.
Dit is nuttig om te onthou dat die oppervlakte van 'n parallelogram Sp bereken word deur die formule:
Sp=ah
Waar die simbole a en h onderskeidelik die lengte van een van sy sye en die hoogte na hierdie kant getrek aandui.
Die oppervlakte van 'n reghoekige prisma met 'n vierkantige basis
In 'n gereelde vierhoekige prisma is die basis 'n vierkant. Vir beslistheid dui ons sy kant aan met die letter a. Om die oppervlakte van 'n gewone vierhoekige prisma te bereken, moet jy die hoogte daarvan ken. Volgens die definisie vir hierdie hoeveelheid is dit gelyk aan die lengte van die loodlyn wat van een basis na 'n ander gedaal is, dit wil sê gelyk aan die afstand tussen hulle. Kom ons dui dit aan met die letter h. Aangesien alle syvlakke loodreg op die basisse is vir die tipe prisma wat oorweeg word, sal die hoogte van 'n gereelde vierhoekige prisma gelyk wees aan die lengte van sy syrand.
BDie algemene formule vir die oppervlakte van 'n prisma is twee terme. Die oppervlakte van die basis in hierdie geval is maklik om te bereken, dit is gelyk aan:
So=a2
Om die oppervlakte van die laterale oppervlak te bereken, redeneer ons soos volg: hierdie oppervlak word gevorm deur 4 identiese reghoeke. Boonop is die sye van elkeen gelyk aan a en h. Dit beteken dat die oppervlakte van Sb gelyk sal wees aan:
Sb=4ah
Let daarop dat die produk 4a die omtrek van die vierkantige basis is. As ons hierdie uitdrukking veralgemeen na die geval van 'n arbitrêre basis, dan kan die sy-oppervlak vir 'n reghoekige prisma soos volg bereken word:
Sb=Poh
Waar Po die omtrek van die basis is.
Om terug te keer na die probleem om die oppervlakte van 'n gereelde vierhoekige prisma te bereken, kan ons die finale formule skryf:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Area van 'n skuins parallelepiped
Om dit te bereken is ietwat moeiliker as vir 'n reghoekige een. In hierdie geval word die basisoppervlakte van 'n vierhoekige prisma bereken met dieselfde formule as vir 'n parallelogram. Die veranderinge het betrekking op die manier waarop die laterale oppervlakte bepaal word.
Om dit te doen, gebruik dieselfde formule deur die omtrek soos in die paragraaf hierbo gegee. Nou eers sal dit effens verskillende vermenigvuldigers hê. Die algemene formule vir Sb in die geval van 'n skuins prisma is:
Sb=Psrc
Hier is c die lengte van die syrand van die figuur. Die waarde Psr is die omtrek van die reghoekige sny. Hierdie omgewing is soos volg gebou: dit is nodig om al die syvlakke met 'n vlak te sny sodat dit loodreg op almal is. Die resulterende reghoek sal die gewenste snit wees.
Die figuur hierbo toon 'n voorbeeld van 'n skuins boks. Sy deursnee met kruisarsering vorm regte hoeke met die sye. Die omtrek van die gedeelte is Psr. Dit word gevorm deur vier hoogtes van laterale parallelogramme. Vir hierdie vierhoekige prisma word die laterale oppervlakte bereken deur die formule hierbo te gebruik.
Die lengte van die diagonaal van 'n blokkie
Die diagonaal van 'n parallelepiped is 'n segment wat twee hoekpunte verbind wat nie gemeenskaplike sye het wat hulle vorm nie. Daar is net vier hoeklyne in enige vierhoekige prisma. Vir 'n kubus met 'n reghoek aan sy basis is die lengtes van alle hoeklyne gelyk aan mekaar.
Die figuur hieronder toon die ooreenstemmende figuur. Die rooi segment is sy diagonaal.
Om die lengte daarvan te bereken is baie eenvoudig, as jy die Pythagoras-stelling onthou. Elke student kan die gewenste formule kry. Dit het die volgende vorm:
D=√(A2+ B2 + C2)
Hier is D die lengte van die diagonaal. Die oorblywende karakters is die lengtes van die kante van die boks.
Baie mense verwar die diagonaal van 'n parallelepiped met die hoeklyne van sy sye. Hieronder is 'n prentjie waar die gekleurdedie segmente verteenwoordig die hoeklyne van die sye van die figuur.
Die lengte van elkeen van hulle word ook deur die Pythagoras-stelling bepaal en is gelyk aan die vierkantswortel van die som van die vierkante van die ooreenstemmende sylengtes.
Prism volume
Benewens die oppervlakte van 'n gewone vierhoekige prisma of ander soorte prismas, moet jy ook hul volume ken om sommige meetkundige probleme op te los. Hierdie waarde vir absoluut enige prisma word deur die volgende formule bereken:
V=Soh
As die prisma reghoekig is, dan is dit genoeg om die oppervlakte van sy basis te bereken en dit te vermenigvuldig met die lengte van die rand van die sy om die volume van die figuur te kry.
As die prisma 'n gereelde vierhoekige prisma is, sal die volume daarvan wees:
V=a2h.
Dit is maklik om te sien dat hierdie formule omgeskakel word in 'n uitdrukking vir die volume van 'n kubus as die lengte van die syrand h gelyk is aan die sy van die basis a.
Probleem met 'n blokkie
Om die bestudeerde materiaal te konsolideer, sal ons die volgende probleem oplos: daar is 'n reghoekige parallelepiped waarvan die sye 3 cm, 4 cm en 5 cm is. Dit is nodig om sy oppervlakte, diagonale lengte en volume te bereken.
Vir duidelikheid sal ons aanneem dat die basis van die figuur 'n reghoek is met sye van 3 cm en 4 cm. Dan is sy oppervlakte 12 cm2, en die punt is 14 cm. Deur die formule vir die oppervlakte van die prisma te gebruik, kry ons:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
Om die lengte van die diagonaal en die volume van die figuur te bepaal, kan jy direk die bogenoemde uitdrukkings gebruik:
D=√(32+42+52)=7. 071 cm;
V=345=60cm3.
Probleem met 'n skuins parallelepiped
Die figuur hieronder toon 'n skuins prisma. Sy sye is gelyk: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Jy moet die oppervlakte van hierdie figuur vind.
Eers, kom ons bepaal die oppervlakte van die basis. Die figuur wys dat die skerp hoek 50o is. Dan is sy area:
So=ha=sonde(50o)ba
Om die oppervlakte van die laterale oppervlak te bepaal, moet jy die omtrek van die geskakeerde reghoek vind. Die sye van hierdie reghoek is asin(45o) en bsin(60o). Dan is die omtrek van hierdie reghoek:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Die totale oppervlakte van hierdie boks is:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Ons vervang die data van die toestand van die probleem vir die lengtes van die sye van die figuur, ons kry die antwoord:
S=458, 5496 cm3
Uit die oplossing van hierdie probleem kan gesien word dat trigonometriese funksies gebruik word om die oppervlaktes van skuins figure te bepaal.
