Die calculus is 'n tak van calculus wat die afgeleide, differensiale en hul gebruik in die studie van 'n funksie bestudeer.
Geskiedenis van voorkoms
Differensiaalrekening het in die tweede helfte van die 17de eeu as 'n onafhanklike dissipline ontstaan, danksy die werk van Newton en Leibniz, wat die basiese bepalings in die differensiaalrekening geformuleer het en die verband tussen integrasie en differensiasie opgemerk het. Sedert daardie oomblik het die dissipline saam met die berekening van integrale ontwikkel, en dit vorm dus die basis van wiskundige analise. Die verskyning van hierdie calculus het 'n nuwe moderne tydperk in die wiskundige wêreld geopen en die opkoms van nuwe dissiplines in die wetenskap veroorsaak. Dit het ook die moontlikheid uitgebrei om wiskundige wetenskap in natuurwetenskap en tegnologie toe te pas.
Basiese konsepte
Differensiaalrekening is gebaseer op die fundamentele konsepte van wiskunde. Hulle is: reële getal, kontinuïteit, funksie en limiet. Met verloop van tyd het hulle 'n moderne voorkoms gekry, danksy integraal- en differensiaalrekening.
Skeppingsproses
Die vorming van differensiaalrekening in die vorm van 'n toegepaste en dan 'n wetenskaplike metode het plaasgevind voor die ontstaan van 'n filosofiese teorie, wat deur Nicholas van Cusa geskep is. Sy werke word beskou as 'n evolusionêre ontwikkeling uit die oordele van antieke wetenskap. Ten spyte van die feit dat die filosoof self nie 'n wiskundige was nie, is sy bydrae tot die ontwikkeling van wiskundige wetenskap onmiskenbaar. Kuzansky was een van die eerstes wat wegbeweeg het daarvan om rekenkunde as die mees akkurate veld van wetenskap te beskou, wat die wiskunde van daardie tyd in twyfel getrek het.
Antieke wiskundiges het die eenheid as 'n universele maatstaf gebruik, terwyl die filosoof oneindigheid as 'n nuwe maatstaf in plaas van die presiese getal voorgestel het. In hierdie verband is die voorstelling van presisie in wiskundige wetenskap omgekeerd. Wetenskaplike kennis word volgens hom in rasioneel en intellektueel verdeel. Die tweede is meer akkuraat, volgens die wetenskaplike, aangesien die eerste slegs 'n benaderde resultaat gee.
Idee
Die hoofgedagte en konsep in differensiaalrekening hou verband met 'n funksie in klein woonbuurte van sekere punte. Om dit te doen, is dit nodig om 'n wiskundige apparaat te skep om 'n funksie te bestudeer waarvan die gedrag in 'n klein omgewing van die gevestigde punte naby die gedrag van 'n polinoom of 'n lineêre funksie is. Dit is gebaseer op die definisie van 'n afgeleide en 'n differensiaal.
Die verskyning van die konsep van 'n afgeleide is veroorsaak deur 'n groot aantal probleme uit die natuurwetenskappe en wiskunde,wat gelei het tot die vind van die waardes van limiete van dieselfde tipe.
Een van die hoofprobleme wat as 'n voorbeeld gegee word vanaf hoërskool, is om die spoed van 'n punt wat langs 'n reguit lyn beweeg te bepaal en 'n raaklyn aan hierdie kromme te konstrueer. Die differensiaal hou hiermee verband, aangesien dit moontlik is om die funksie in 'n klein omgewing van die beskoude punt van die lineêre funksie te benader.
In vergelyking met die konsep van die afgeleide van 'n funksie van 'n reële veranderlike, gaan die definisie van differensiale eenvoudig oor na 'n funksie van 'n algemene aard, in die besonder, na die beeld van een Euklidiese ruimte op 'n ander.
Afgeleide
Laat die punt in die rigting van die Oy-as beweeg, vir die tyd wat ons x neem, wat vanaf 'n sekere begin van die oomblik getel word. So 'n beweging kan beskryf word deur die funksie y=f(x), wat aan elke tydsmoment x van die koördinaat van die punt wat beweeg word, toegeken word. In meganika word hierdie funksie die wet van beweging genoem. Die hoofkenmerk van beweging, veral ongelyk, is die oombliklike spoed. Wanneer 'n punt langs die Oy-as beweeg volgens die wet van meganika, dan verkry dit op 'n ewekansige tyd moment x die koördinaat f (x). Op die tydmoment x + Δx, waar Δx die inkrement van tyd aandui, sal die koördinaat daarvan f(x + Δx) wees. Dit is hoe die formule Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) gevorm word, wat die inkrement van die funksie genoem word. Dit verteenwoordig die pad gereis deur die tydstip van x na x + Δx.
As gevolg van die ontstaan hiervansnelheid op tyd, word die afgeleide ingevoer. In 'n arbitrêre funksie word die afgeleide by 'n vaste punt die limiet genoem (aangeneem dat dit bestaan). Dit kan deur sekere simbole aangewys word:
f'(x), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).
Die proses om die afgeleide te bereken word differensiasie genoem.
Differensiaalrekening van 'n funksie van verskeie veranderlikes
Hierdie berekeningmetode word gebruik wanneer 'n funksie met verskeie veranderlikes ondersoek word. In die teenwoordigheid van twee veranderlikes x en y, word die parsiële afgeleide met betrekking tot x by punt A die afgeleide van hierdie funksie genoem met betrekking tot x met vaste y.
Kan deur die volgende karakters voorgestel word:
f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x of ∂f(x, y)’/∂x.
Vereiste vaardighede
Vaardighede in integrasie en differensiasie word vereis om suksesvol te studeer en diffuse te kan oplos. Om dit makliker te maak om differensiaalvergelykings te verstaan, moet jy 'n goeie begrip hê van die onderwerp van die afgeleide en die onbepaalde integraal. Dit maak ook nie skade om te leer hoe om die afgeleide van 'n implisiet gegewe funksie te vind nie. Dit is te wyte aan die feit dat in die proses van die bestudering van integrale en differensiasie dikwels gebruik sal moet word.
Tipes differensiaalvergelykings
In byna alle toetsvraestelle wat met eerste-orde differensiaalvergelykings verband hou, is daar 3 tipes vergelykings: homogeen, met skeibare veranderlikes, lineêr inhomogeen.
Daar is ook skaarser variëteite van vergelykings: met totale differensiale, Bernoulli se vergelykings en ander.
Basiese besluite
Eers moet jy die algebraïese vergelykings van die skoolkursus onthou. Hulle bevat veranderlikes en getalle. Om 'n gewone vergelyking op te los, moet jy 'n stel getalle vind wat aan 'n gegewe voorwaarde voldoen. As 'n reël het sulke vergelykings een wortel gehad, en om die korrektheid na te gaan, moes 'n mens net hierdie waarde vir die onbekende vervang.
Differensiaalvergelyking is soortgelyk hieraan. Oor die algemeen sluit so 'n eerste-orde vergelyking in:
- Onafhanklike veranderlike.
- Die afgeleide van die eerste funksie.
- 'n Funksie of afhanklike veranderlike.
In sommige gevalle kan een van die onbekendes, x of y, ontbreek, maar dit is nie so belangrik nie, aangesien die teenwoordigheid van die eerste afgeleide, sonder hoër orde afgeleides, nodig is vir die oplossing en die differensiaal berekening om korrek te wees.
Om 'n differensiaalvergelyking op te los beteken om die versameling van alle funksies te vind wat by die gegewe uitdrukking pas. So 'n stel funksies word dikwels die algemene oplossing van DE genoem.
Integraalrekening
Integraalrekening is een van die afdelings van wiskundige analise wat die konsep van die integraal, eienskappe en metodes van die berekening daarvan bestudeer.
Dikwels vind die berekening van die integraal plaas wanneer die oppervlakte van 'n kromlynige figuur bereken word. Hierdie area beteken die limiet waartoe die oppervlakte van 'n veelhoek wat in 'n gegewe figuur ingeskryf is, neig met 'n geleidelike toename in sy sy, terwyl hierdie sye minder gemaak kan word as enige voorheen gespesifiseerde arbitrêrklein waarde.
Die hoofgedagte om die oppervlakte van 'n arbitrêre meetkundige figuur te bereken, is om die oppervlakte van 'n reghoek te bereken, dit wil sê om te bewys dat sy oppervlakte gelyk is aan die produk van lengte en breedte. Wanneer dit by meetkunde kom, word alle konstruksies met behulp van 'n liniaal en 'n kompas gemaak, en dan is die verhouding van lengte tot breedte 'n rasionale waarde. Wanneer jy die oppervlakte van 'n reghoekige driehoek bereken, kan jy bepaal dat as jy dieselfde driehoek langsaan sit, 'n reghoek gevorm word. In 'n parallelogram word die oppervlakte deur 'n soortgelyke, maar effens meer ingewikkelde metode, deur 'n reghoek en 'n driehoek bereken. In veelhoeke word die oppervlakte bereken deur die driehoeke wat daarin ingesluit is.
Wanneer die spaar van 'n arbitrêre kurwe bepaal word, sal hierdie metode nie werk nie. As jy dit in enkele blokkies breek, sal daar ongevulde plekke wees. In hierdie geval probeer 'n mens om twee omslae te gebruik, met reghoeke bo en onder, as gevolg daarvan sluit dié die grafiek van die funksie in en nie. Die metode om in hierdie reghoeke te verdeel, bly hier belangrik. Ook, as ons toenemend kleiner partisies neem, dan behoort die area bo en onder teen 'n sekere waarde te konvergeer.
Dit moet teruggaan na die metode van verdeling in reghoeke. Daar is twee gewilde metodes.
Riemann het die definisie van die integraal wat deur Leibniz en Newton geskep is, geformaliseer as die area van 'n subgrafiek. In hierdie geval is syfers oorweeg wat uit 'n sekere aantal vertikale reghoeke bestaan en verkry word deur te deelsegment. Wanneer, soos die partisie afneem, daar 'n limiet is waartoe die oppervlakte van 'n soortgelyke figuur verminder, word hierdie limiet die Riemann-integraal van 'n funksie op 'n gegewe interval genoem.
Die tweede metode is die konstruksie van die Lebesgue-integraal, wat bestaan uit die feit dat vir die plek om die gedefinieerde area in dele van die integrand te verdeel en dan die integraalsom saam te stel uit die waardes verkry in hierdie dele, word die reeks waardes daarvan in intervalle verdeel, en dan opgesom met die ooreenstemmende mate van voorbeelde van hierdie integrale.
Moderne voordele
Een van die hoofhandleidings vir die studie van differensiaal- en integraalrekening is geskryf deur Fikhtengolts - "Verloop van differensiaal- en integraalrekening". Sy handboek is 'n fundamentele gids tot die studie van wiskundige analise, wat deur baie uitgawes en vertalings in ander tale gegaan het. Geskep vir universiteitstudente en is lank reeds in baie opvoedkundige instellings gebruik as een van die belangrikste studiehulpmiddels. Gee teoretiese data en praktiese vaardighede. Eerste gepubliseer in 1948.
Funksienavorsingsalgoritme
Om 'n funksie te ondersoek deur die metodes van differensiaalrekening te gebruik, moet jy die reeds gegewe algoritme volg:
- Vind die omvang van 'n funksie.
- Vind die wortels van die gegewe vergelyking.
- Bereken uiterstes. Om dit te doen, bereken die afgeleide en die punte waar dit gelyk is aan nul.
- Vervang die resulterende waarde in die vergelyking.
Variëteite van differensiaalvergelykings
eerste-orde beheer (anders, differensiaalenkelveranderlike berekening) en hul tipes:
- Skeibare vergelyking: f(y)dy=g(x)dx.
- Die eenvoudigste vergelykings, of differensiaalrekening van 'n funksie van een veranderlike, met die formule: y'=f(x).
- Lineêre inhomogene eerste-orde DE: y'+P(x)y=Q(x).
- Bernoulli differensiaalvergelyking: y'+P(x)y=Q(x)ya.
- Vergelyking met totale differensiale: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.
Tweede-orde differensiaalvergelykings en hul tipes:
- Lineêre tweede-orde homogene differensiaalvergelyking met konstante koëffisiëntwaardes: y +py'+qy=0 p, q behoort aan R.
- Lineêre inhomogene tweede-orde differensiaalvergelyking met konstante koëffisiënte: y +py'+qy=f(x).
- Lineêre homogene differensiaalvergelyking: y +p(x)y'+q(x)y=0, en inhomogene tweede-orde vergelyking: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).
Hoër orde differensiaalvergelykings en hul tipes:
- Differensiaalvergelyking wat in volgorde verminder kan word: F(x, y(k), y(k+1),.., y(n)=0.
- Lineêre hoër orde homogene vergelyking: y(n)+f(n-1)y(n- 1)+…+f1y'+f0y=0, en onhomogeen: y(n))+f(n-1)y(n-1)+…+f1 y'+f0y=f(x).
Stappe om 'n probleem met 'n differensiaalvergelyking op te los
Met die hulp van afstandbeheer word nie net wiskundige of fisiese vrae opgelos nie, maar ook verskeie probleme vanbiologie, ekonomie, sosiologie, ens. Ten spyte van die wye verskeidenheid van onderwerpe, moet 'n mens by 'n enkele logiese volgorde hou wanneer sulke probleme opgelos word:
- Samestelling van afstandbeheer. Een van die moeilikste stappe wat maksimum akkuraatheid vereis, aangesien enige fout tot heeltemal verkeerde resultate sal lei. Alle faktore wat die proses beïnvloed moet in ag geneem word en die aanvanklike toestande moet bepaal word. Dit moet ook op feite en logiese gevolgtrekkings gebaseer wees.
- Oplossing van die geformuleerde vergelyking. Hierdie proses is eenvoudiger as die eerste stap, aangesien dit net streng wiskundige berekeninge vereis.
- Analise en evaluering van die resultate. Die afgeleide oplossing moet geëvalueer word om die praktiese en teoretiese waarde van die resultaat vas te stel.
'n Voorbeeld van die gebruik van differensiaalvergelykings in medisyne
Die gebruik van afstandbeheer in die veld van medisyne vind plaas wanneer 'n epidemiologiese wiskundige model gebou word. Terselfdertyd moet 'n mens nie vergeet dat hierdie vergelykings ook in biologie en chemie gevind word nie, wat na aan die geneeskunde is, want die studie van verskeie biologiese populasies en chemiese prosesse in die menslike liggaam speel 'n belangrike rol daarin.
In die bogenoemde voorbeeld van 'n epidemie, kan ons die verspreiding van infeksie in 'n geïsoleerde samelewing oorweeg. Die inwoners word in drie tipes verdeel:
- Infected, nommer x(t), bestaande uit individue, draers van die infeksie, wat elkeen aansteeklik is (die inkubasietydperk is kort).
- Die tweede tipe sluit invatbare individue y(t) wat in staat is om besmet te word deur kontak met besmette individue.
- Die derde spesie sluit immuun individue z(t) in wat immuun is of weens siekte dood is.
Die aantal individue is konstant, met inagneming van geboortes, natuurlike sterftes en migrasie word nie in ag geneem nie. Daar sal twee hipoteses in die kern wees.
Die persentasie voorkoms op 'n sekere tydstip is x(t)y(t) (gebaseer op die teorie dat die aantal gevalle eweredig is aan die aantal kruisings tussen siek en vatbare verteenwoordigers, wat in die eerste benadering sal eweredig wees aan x(t)y(t)), in verband hiermee neem die aantal gevalle toe, en die aantal vatbare neem af teen 'n tempo wat bereken word deur die formule ax(t)y(t) (a > 0).
Die aantal immuun individue wat immuun geword het of gesterf het, neem toe teen 'n tempo wat eweredig is aan die aantal gevalle, bx(t) (b > 0).
Gevolglik kan jy 'n stelsel van vergelykings maak wat al drie aanwysers in ag neem en gevolgtrekkings op grond daarvan maak.
Ekonomievoorbeeld
Differensiaalrekening word dikwels in ekonomiese ontleding gebruik. Die hooftaak in ekonomiese analise is die studie van hoeveelhede uit die ekonomie, wat in die vorm van 'n funksie geskryf word. Dit word gebruik wanneer probleme opgelos word soos veranderinge in inkomste onmiddellik na 'n verhoging in belasting, instelling van pligte, veranderinge in maatskappy-inkomste wanneer die koste van produksie verander, in watter verhouding afgetrede werkers met nuwe toerusting vervang kan word. Om sulke probleme op te los, is dit nodigbou 'n verbindingsfunksie uit die insetveranderlikes, wat dan met behulp van die differensiaalrekening bestudeer word.
In die ekonomiese sfeer is dit dikwels nodig om die mees optimale aanwysers te vind: maksimum arbeidsproduktiwiteit, die hoogste inkomste, die laagste koste, ensovoorts. Elke so 'n aanwyser is 'n funksie van een of meer argumente. Produksie kan byvoorbeeld gesien word as 'n funksie van arbeid en kapitaalinsette. In hierdie verband kan die vind van 'n geskikte waarde verminder word tot die vind van die maksimum of minimum van 'n funksie uit een of meer veranderlikes.
Probleme van hierdie soort skep 'n klas uiterste probleme op ekonomiese gebied, waarvan die oplossing differensiaalrekening vereis. Wanneer 'n ekonomiese aanwyser geminimaliseer of gemaksimeer moet word as 'n funksie van 'n ander aanwyser, dan by die punt van maksimum, sal die verhouding van die verhoging van die funksie tot die argumente na nul neig as die verhoging van die argument na nul neig. Andersins, wanneer so 'n verhouding na 'n positiewe of negatiewe waarde neig, is die gespesifiseerde punt nie geskik nie, want deur die argument te verhoog of te verminder, kan jy die afhanklike waarde in die vereiste rigting verander. In die terminologie van differensiaalrekening sal dit beteken dat die vereiste voorwaarde vir die maksimum van 'n funksie die nulwaarde van sy afgeleide is.
In ekonomie is daar dikwels probleme om die uiterste van 'n funksie met verskeie veranderlikes te vind, omdat ekonomiese aanwysers uit baie faktore bestaan. Vrae soos hierdie is goed.bestudeer in die teorie van funksies van verskeie veranderlikes, met die toepassing van metodes van differensiële berekening. Sulke probleme sluit nie net gemaksimeerde en geminimaliseerde funksies in nie, maar ook beperkings. Sulke vrae hou verband met wiskundige programmering, en dit word opgelos met behulp van spesiaal ontwikkelde metodes, ook gebaseer op hierdie tak van die wetenskap.
Onder die metodes van differensiaalrekening wat in ekonomie gebruik word, is 'n belangrike afdeling marginale analise. In die ekonomiese sfeer verwys hierdie term na 'n stel metodes om veranderlike aanwysers en resultate te bestudeer wanneer die volume van skepping, verbruik verander word, gebaseer op die ontleding van hul marginale aanwysers. Die beperkende aanwyser is die afgeleide of gedeeltelike afgeleides met verskeie veranderlikes.
Differensiaalrekening van verskeie veranderlikes is 'n belangrike onderwerp in die veld van wiskundige analise. Vir 'n gedetailleerde studie kan jy verskeie handboeke vir hoër onderwys gebruik. Een van die bekendste is geskep deur Fikhtengolts - "Verloop van differensiaal- en integraalrekening". Soos die naam aandui, is vaardighede om met integrale te werk van groot belang vir die oplos van differensiaalvergelykings. Wanneer die differensiaalrekening van 'n funksie van een veranderlike plaasvind, word die oplossing eenvoudiger. Alhoewel, dit moet opgemerk word, is dit onderworpe aan dieselfde basiese reëls. Om 'n funksie in die praktyk deur differensiaalrekening te bestudeer, is dit genoeg om die reeds bestaande algoritme te volg, wat op hoërskool gegee word en net effens ingewikkeld is wanneer nuwes ingestel word.veranderlikes.
