Die belangrikheid van veranderlikes in wiskunde is groot, want tydens die bestaan daarvan het wetenskaplikes daarin geslaag om baie ontdekkings op hierdie gebied te maak, en om hierdie of daardie stelling kort en duidelik te stel, gebruik ons veranderlikes om die ooreenstemmende formules te skryf. Byvoorbeeld, die Pythagoras-stelling oor 'n reghoekige driehoek: a2 =b2 + c2. Hoe om elke keer te skryf wanneer 'n probleem opgelos word: volgens die Pythagoras-stelling is die kwadraat van die skuinssy gelyk aan die som van die vierkante van die bene - ons skryf dit neer met 'n formule, en alles word dadelik duidelik.
Dus, hierdie artikel sal bespreek wat veranderlikes is, hul tipes en eienskappe. Verskeie wiskundige uitdrukkings sal ook oorweeg word: ongelykhede, formules, stelsels en algoritmes vir hul oplossing.
Veranderlike konsep
Eerstens, wat is 'n veranderlike? Dit is 'n numeriese waarde wat baie waardes kan aanneem. Dit kan nie konstant wees nie, aangesien ons in verskillende probleme en vergelykings gerieflikheidshalwe oplossings asveranderlike verskillende getalle, dit wil sê, z is byvoorbeeld 'n algemene benaming vir elk van die hoeveelhede waarvoor dit geneem word. Gewoonlik word hulle aangedui met letters van die Latynse of Griekse alfabet (x, y, a, b, ensovoorts).
Daar is verskillende soorte veranderlikes. Hulle stel beide 'n paar fisiese hoeveelhede - pad (S), tyd (t), en bloot onbekende waardes in vergelykings, funksies en ander uitdrukkings.
Daar is byvoorbeeld 'n formule: S=Vt. Hier dui die veranderlikes sekere hoeveelhede aan wat met die werklike wêreld verband hou - die pad, spoed en tyd.
En daar is 'n vergelyking van die vorm: 3x - 16=12x. Hier word x reeds geneem as 'n abstrakte getal wat sin maak in hierdie notasie.
Soorte hoeveelhede
Bedrag beteken iets wat die eienskappe van 'n sekere voorwerp, stof of verskynsel uitdruk. Byvoorbeeld, lugtemperatuur, gewig van 'n dier, persentasie vitamiene in 'n tablet - dit is alles hoeveelhede waarvan die numeriese waardes bereken kan word.
Elke hoeveelheid het sy eie maateenhede, wat saam 'n stelsel vorm. Dit word die getallestelsel (SI) genoem.
Wat is veranderlikes en konstantes? Beskou hulle met spesifieke voorbeelde.
Kom ons neem reglynige eenvormige beweging. 'n Punt in die ruimte beweeg elke keer teen dieselfde spoed. Dit wil sê tyd en afstand verander, maar die spoed bly dieselfde. In hierdie voorbeeld is tyd en afstand veranderlikes, en spoed is konstant.
Of, byvoorbeeld, “pi”. Dit is 'n irrasionale getal wat voortgaan sonder om te herhaal'n reeks syfers en kan nie volledig geskryf word nie, dus word dit in wiskunde uitgedruk deur 'n algemeen aanvaarde simbool wat slegs die waarde van 'n gegewe oneindige breuk neem. Dit wil sê, "pi" is 'n konstante waarde.
Geskiedenis
Die geskiedenis van die notasie van veranderlikes begin in die sewentiende eeu met die wetenskaplike René Descartes.
Hy het die bekende waardes aangewys met die eerste letters van die alfabet: a, b ensovoorts, en vir die onbekende het hy voorgestel om die laaste letters te gebruik: x, y, z. Dit is opmerklik dat Descartes sulke veranderlikes as nie-negatiewe getalle beskou het, en wanneer hy met negatiewe parameters gekonfronteer word, het hy 'n minusteken voor die veranderlike gesit of, as dit nie bekend was watter teken die getal was nie, 'n ellips. Maar met verloop van tyd het die name van veranderlikes nommers van enige teken begin aandui, en dit het begin met die wiskundige Johann Hudde.
Met veranderlikes is berekeninge in wiskunde makliker om op te los, want, byvoorbeeld, hoe los ons nou bikwadratiese vergelykings op? Ons voer 'n veranderlike in. Byvoorbeeld:
x4 + 15x2 + 7=0
Vir x2 neem ons 'n bietjie k, en die vergelyking word duidelik:
x2=k, vir k ≧ 0
k2 + 15k + 7=0
Dis wat die bekendstelling van veranderlikes na wiskunde bring.
Ongelykhede, voorbeelde van oplossings
'n Ongelykheid is 'n rekord waarin twee wiskundige uitdrukkings of twee getalle verbind word deur vergelykingstekens:, ≦, ≧. Hulle is streng en word aangedui deur tekens of nie-streng met tekens ≦, ≧.
Vir die eerste keer is hierdie tekens bekendgestelThomas Harriot. Na Thomas se dood is sy boek met hierdie notasies gepubliseer, wiskundiges het daarvan gehou, en mettertyd het hulle wyd in wiskundige berekeninge gebruik geword.
Daar is verskeie reëls om te volg wanneer enkelveranderlike ongelykhede opgelos word:
- Wanneer 'n getal van een deel van die ongelykheid na 'n ander oorgedra word, verander sy teken na die teenoorgestelde.
- Wanneer dele van 'n ongelykheid met 'n negatiewe getal vermenigvuldig of gedeel word, word hul tekens omgekeer.
- As jy beide kante van die ongelykheid vermenigvuldig of deel met 'n positiewe getal, kry jy 'n ongelykheid gelyk aan die oorspronklike een.
Om 'n ongelykheid op te los beteken om alle geldige waardes vir 'n veranderlike te vind.
Enkel veranderlike voorbeeld:
10x - 50 > 150
Ons los dit op soos 'n normale lineêre vergelyking - ons skuif die terme met 'n veranderlike na links, sonder 'n veranderlike - na regs en gee soortgelyke terme:
10x > 200
Ons deel beide kante van die ongelykheid deur 10 en kry:
x > 20
Vir duidelikheid, in die voorbeeld van die oplossing van 'n ongelykheid met een veranderlike, trek 'n getallelyn, merk die deurboorde punt 20 daarop, aangesien die ongelykheid streng is, en hierdie getal nie by die stel oplossings ingesluit is nie.
Die oplossing vir hierdie ongelykheid is die interval (20; +∞).
Oplossing van 'n nie-streng ongelykheid word uitgevoer op dieselfde manier as 'n streng een:
6x - 12 ≧ 18
6x ≧ 30
x ≧ 5
Maar daar is een uitsondering. 'n Rekord van die vorm x ≧ 5 moet soos volg verstaan word: x is groter as of gelyk aan vyf, wat betekendie getal vyf is ingesluit in die versameling van alle oplossings vir die ongelykheid, dit wil sê wanneer ons die antwoord skryf, sit ons 'n vierkantige hakie voor die getal vyf.
x ∈ [5; +∞)
Vierkantige ongelykhede
As ons 'n kwadratiese vergelyking van die vorm ax2 + bx +c=0 neem en die gelykheidsteken na die ongelykheidsteken daarin verander, dan sal ons dienooreenkomstig 'n kwadratiese ongelykheid.
Om 'n kwadratiese ongelykheid op te los, moet jy in staat wees om kwadratiese vergelykings op te los.
y=ax2 + bx + c is 'n kwadratiese funksie. Ons kan dit oplos deur die diskriminant of die Vieta-stelling te gebruik. Onthou hoe hierdie vergelykings opgelos word:
1) y=x2 + 12x + 11 - die funksie is 'n parabool. Sy takke is opwaarts gerig, aangesien die teken van die koëffisiënt "a" positief is.
2) x2 + 12x + 11=0 - is gelyk aan nul en los op deur die diskriminant te gebruik.
a=1, b=12, c=11
D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 wortels
Volgens die formule van die wortels van die kwadratiese vergelyking, kry ons:
x1 =-1, x2=-11
Of jy kan hierdie vergelyking oplos deur die Vieta-stelling te gebruik:
x1 + x2 =-b/a, x1 + x 2=-12
x1x2 =c/a, x1x2=11
Deur die seleksiemetode te gebruik, kry ons dieselfde wortels van die vergelyking.
Parabola
Dus, die eerste manier om 'n kwadratiese ongelykheid op te los, is 'n parabool. Die algoritme om dit op te los is soos volg:
1. Bepaal waarheen die takke van die parabool gerig is.
2. Stel die funksie gelyk aan nul en vind die wortels van die vergelyking.
3. Ons bou 'n getallelyn, merk die wortels daarop, teken 'n parabool en vind die gaping wat ons benodig, afhangende van die teken van die ongelykheid.
Los die ongelykheid op x2 + x - 12 > 0
Skryf uit as 'n funksie:
1) y=x2 + x - 12 - parabool, vertakte op.
Stel op nul.
2) x2 + x -12=0
Volgende los ons as 'n kwadratiese vergelyking op en vind die nulle van die funksie:
x1 =3, x2=-4
3) Trek 'n getallelyn met punte 3 en -4 daarop. Die parabool sal deur hulle gaan, vertak en die antwoord op die ongelykheid sal 'n stel positiewe waardes wees, dit wil sê (-∞; -4), (3; +∞).
Intervalmetode
Die tweede manier is die spasiëringmetode. Algoritme om dit op te los:
1. Vind die wortels van die vergelyking waarvoor die ongelykheid gelyk is aan nul.
2. Ons merk hulle op die getallelyn. Dit word dus in verskeie intervalle verdeel.
3. Bepaal die teken van enige interval.
4. Ons plaas tekens met die oorblywende tussenposes, en verander hulle na een.
Los die ongelykheid op (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0
1) Ongelykheid-nulle: 4, 5 en -7.
2) Teken hulle op die getallelyn.
3) Bepaal die tekens van intervalle.
Antwoord: (-∞; -7]; [4; 5].
Los nog een ongelykheid op: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0
1. Ongelykheid nulle: 0, 2, -2 en 1.
2. Merk hulle op die getallelyn.
3. Bepaal interv altekens.
Die lyn word in intervalle verdeel - van -2 tot 0, van 0 tot 1, van 1 tot 2.
Neem die waarde op die eerste interval - (-1). Plaasvervanger in ongelykheid. Met hierdie waarde word die ongelykheid positief, wat beteken dat die teken op hierdie interval + sal wees.
Verder, vanaf die eerste gaping, rangskik ons die tekens en verander hulle na een.
Die ongelykheid is groter as nul, dit wil sê, jy moet 'n stel positiewe waardes op die lyn vind.
Antwoord: (-2; 0), (1; 2).
Stelsels van vergelykings
'n Stelsel vergelykings met twee veranderlikes is twee vergelykings wat deur 'n krulhakie verbind word waarvoor dit nodig is om 'n algemene oplossing te vind.
Stelsels kan ekwivalent wees as die algemene oplossing van een van hulle die oplossing van die ander is, of albei van hulle het geen oplossings nie.
Ons sal die oplossing van stelsels vergelykings met twee veranderlikes bestudeer. Daar is twee maniere om dit op te los - die substitusiemetode of die algebraïese metode.
Algebraïese metode
Om die stelsel wat in die prent gewys word op te los deur hierdie metode te gebruik, moet jy eers een van sy dele met so 'n getal vermenigvuldig, sodat jy later onderling een veranderlike uit beide dele van die vergelyking kan kanselleer. Hier vermenigvuldig ons met drie, trek 'n lyn onder die stelsel en tel sy dele op. As gevolg hiervan word x'e identies in modulus, maar teenoorgesteld in teken, en ons verminder hulle. Vervolgens kry ons 'n lineêre vergelyking met een veranderlike en los dit op.
Ons het Y gevind, maar ons kan nie daar stop nie, want ons het X nog nie gevind nie. PlaasvervangerY na die deel waaruit dit gerieflik sal wees om X te onttrek, byvoorbeeld:
-x + 5y=8, met y=1
-x + 5=8
Los die resulterende vergelyking op en vind x.
-x=-5 + 8
-x=3
x=-3
Die belangrikste ding in die oplossing van die stelsel is om die antwoord korrek neer te skryf. Baie studente maak die fout om te skryf:
Antwoord: -3, 1.
Maar dit is 'n verkeerde inskrywing. Ons soek immers, soos reeds hierbo genoem, 'n algemene oplossing vir sy dele wanneer 'n stelsel vergelykings opgelos word. Die korrekte antwoord sal wees:
(-3; 1)
Vervangingsmetode
Dit is waarskynlik die eenvoudigste metode en dit is moeilik om 'n fout te maak. Kom ons neem die stelsel van vergelykings nommer 1 uit hierdie prent.
In sy eerste deel is x reeds gereduseer tot die vorm wat ons benodig, so ons moet dit net in 'n ander vergelyking vervang:
5j + 3j - 25=47
Skuif die getal sonder 'n veranderlike na regs, bring soortgelyke terme na 'n gemeenskaplike waarde en vind die y:
8j=72
y=9
Dan, soos in die algebraïese metode, vervang ons die waarde van die y in enige van die vergelykings en vind x:
x=3y - 25, met y=9
x=27 - 25
x=2
Antwoord: (2; 9).
