Hierdie geometriese vorms omring ons oral. Konvekse veelhoeke kan natuurlik wees, soos 'n heuningkoek, of kunsmatig (mensgemaak). Hierdie figure word gebruik in die vervaardiging van verskillende tipes bedekkings, in skilderkuns, argitektuur, versierings, ens. Konvekse veelhoeke het die eienskap dat al hul punte aan dieselfde kant van 'n reguit lyn is wat deur 'n paar aangrensende hoekpunte van hierdie meetkundige figuur gaan. Daar is ook ander definisies. 'n Veelhoek word konveks genoem as dit in 'n enkele halfvlak geleë is met betrekking tot enige reguit lyn wat een van sy sye bevat.
Konvekse veelhoeke
In die loop van elementêre meetkunde word slegs eenvoudige veelhoeke altyd oorweeg. Om al die eienskappe van sulke te verstaangeometriese vorms, is dit nodig om hul aard te verstaan. Om mee te begin, moet verstaan word dat enige lyn geslote genoem word, waarvan die punte saamval. Boonop kan die figuur wat daardeur gevorm word, 'n verskeidenheid konfigurasies hê. 'n Veelhoek is 'n eenvoudige geslote gebroke lyn, waarin naburige skakels nie op dieselfde reguit lyn geleë is nie. Sy skakels en hoekpunte is onderskeidelik die sye en hoekpunte van hierdie meetkundige figuur. 'n Eenvoudige polilyn moet nie self-kruisings hê nie.
Die hoekpunte van 'n veelhoek word aangrensend genoem as hulle die punte van een van sy sye voorstel. 'n Meetkundige figuur wat die nde aantal hoekpunte het, en dus die nde aantal sye, word 'n n-gon genoem. Die gebroke lyn self word die grens of kontoer van hierdie meetkundige figuur genoem. 'n Veelhoekige vlak of 'n plat veelhoek word die einddeel van enige vlak wat daardeur begrens word, genoem. Die aangrensende sye van hierdie meetkundige figuur word segmente van 'n gebroke lyn genoem wat uit een hoekpunt voortspruit. Hulle sal nie aangrensend wees as hulle van verskillende hoekpunte van die veelhoek kom nie.
Ander definisies van konvekse veelhoeke
In elementêre meetkunde is daar verskeie meer ekwivalente definisies wat aandui watter veelhoek konveks genoem word. Al hierdie stellings is ewe waar. 'n Veelhoek word as konveks beskou as:
• elke segment wat enige twee punte daarin verbind, lê geheel en al daarin;
• daarinal sy hoeklyne lê;
• enige interne hoek oorskry nie 180° nie.
'n Veelhoek verdeel altyd 'n vlak in 2 dele. Een van hulle is beperk (dit kan in 'n sirkel gesluit word), en die ander is onbeperk. Die eerste word die binneste gebied genoem, en die tweede is die buitenste gebied van hierdie meetkundige figuur. Hierdie veelhoek is 'n snypunt (met ander woorde, 'n gemeenskaplike komponent) van verskeie halfvlakke. Verder, elke segment wat eindig by punte wat aan die veelhoek behoort, behoort heeltemal daaraan.
Variëteite van konvekse veelhoeke
Die definisie van 'n konvekse veelhoek dui nie aan dat daar baie soorte van hulle is nie. En elkeen van hulle het sekere kriteria. Dus, konvekse veelhoeke wat 'n binnehoek van 180° het, word swak konveks genoem. 'n Konvekse meetkundige figuur wat drie hoekpunte het, word 'n driehoek genoem, vier - 'n vierhoek, vyf - 'n vyfhoek, ens. Elk van die konvekse n-hoeke voldoen aan die volgende noodsaaklike vereiste: n moet gelyk aan of groter as 3 wees. die driehoeke is konveks. 'n Meetkundige figuur van hierdie tipe, waarin alle hoekpunte op dieselfde sirkel geleë is, word in 'n sirkel ingeskryf.’n Konvekse veelhoek word omskrewe genoem as al sy sye naby die sirkel daaraan raak. Daar word gesê dat twee veelhoeke net gelyk is as hulle deur superposisie gesuperponeer kan word. 'n Vlak veelhoek word 'n veelhoekige vlak genoem.(deel van die vlak), wat deur hierdie meetkundige figuur beperk word.
Gereelde konvekse veelhoeke
Gereelde veelhoeke is meetkundige vorms met gelyke hoeke en sye. Binne hulle is daar 'n punt 0, wat op dieselfde afstand van elkeen van sy hoekpunte is. Dit word die middelpunt van hierdie meetkundige figuur genoem. Die segmente wat die middelpunt met die hoekpunte van hierdie meetkundige figuur verbind, word apotemas genoem, en dié wat punt 0 met die sye verbind, word radiusse genoem.
'n Gereelde vierhoek is 'n vierkant. 'n Gelyksydige driehoek word 'n gelyksydige driehoek genoem. Vir sulke figure is daar die volgende reël: elke hoek van 'n konvekse veelhoek is 180°(n-2)/ n, waar n die aantal hoekpunte van hierdie konvekse meetkundige figuur is.
Die oppervlakte van enige reëlmatige veelhoek word bepaal deur die formule:
S=ph, waar p die helfte van die som van alle sye van die gegewe veelhoek is en h die lengte van die apoteem is.
Eienskappe van konvekse veelhoeke
Konvekse veelhoeke het sekere eienskappe. Dus, 'n segment wat enige 2 punte van so 'n meetkundige figuur verbind, is noodwendig daarin geleë. Bewys:
Veronderstel dat P 'n gegewe konvekse veelhoek is. Ons neem 2 arbitrêre punte, byvoorbeeld, A, B, wat aan P behoort. Volgens die bestaande definisie van 'n konvekse veelhoek is hierdie punte aan dieselfde kant van die lyn geleë, wat enige sy van P bevat. Daarom het AB ook hierdie eienskap en is dit vervat in P. 'n Konvekse veelhoek kan altyd in verskeie driehoeke verdeel word deur absoluut al die hoeklyne getrek vanaf een van sy hoekpunte.
Hoeke van konvekse geometriese vorms
Die hoeke van 'n konvekse veelhoek is die hoeke wat deur sy sye gevorm word. Interne hoeke is geleë in die binneste gebied van 'n gegewe meetkundige figuur. Die hoek wat gevorm word deur sy sye wat by een hoekpunt konvergeer, word die hoek van 'n konvekse veelhoek genoem. Hoeke aangrensend aan die interne hoeke van 'n gegewe meetkundige figuur word ekstern genoem. Elke hoek van 'n konvekse veelhoek wat daarin geleë is, is:
180° - x, waar x die waarde van die buitenste hoek is. Hierdie eenvoudige formule werk vir enige meetkundige vorms van hierdie tipe.
In die algemeen, vir eksterne hoeke is daar die volgende reël: elke hoek van 'n konvekse veelhoek is gelyk aan die verskil tussen 180° en die waarde van die interne hoek. Dit kan waardes hê wat wissel van -180° tot 180°. Daarom, wanneer die binnehoek 120° is, sal die buitehoek 60° wees.
som van hoeke van konvekse veelhoeke
Die som van die binnehoeke van 'n konvekse veelhoek word gestel deur die formule:
180°(n-2), waar n die aantal hoekpunte van die n-hoek is.
Die som van die hoeke van 'n konvekse veelhoek is redelik maklik om te bereken. Oorweeg enige so 'n meetkundige figuur. Om die som van die hoeke binne 'n konvekse veelhoek te bepaal, is dit nodigverbind een van sy hoekpunte met ander hoekpunte. As gevolg van hierdie aksie word (n-2) driehoeke verkry. Ons weet dat die som van die hoeke van enige driehoek altyd 180° is. Aangesien hul getal in enige veelhoek (n-2) is, is die som van die binnehoeke van so 'n figuur 180° x (n-2).
Die som van die hoeke van 'n konvekse veelhoek, naamlik enige twee interne en aangrensende eksterne hoeke, vir 'n gegewe konvekse meetkundige figuur sal altyd gelyk wees aan 180°. Op grond hiervan kan jy die som van al sy hoeke bepaal:
180 x n.
Die som van die binnehoeke is 180°(n-2). Op grond hiervan word die som van alle eksterne hoeke van hierdie figuur gestel deur die formule:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Die som van die buitehoeke van enige konvekse veelhoek sal altyd 360° wees (ongeag die aantal sye).
Die buitenste hoek van 'n konvekse veelhoek word gewoonlik voorgestel deur die verskil tussen 180° en die waarde van die binnehoek.
Ander eienskappe van 'n konvekse veelhoek
Benewens die basiese eienskappe van hierdie geometriese vorms, het hulle ander wat ontstaan wanneer hulle gemanipuleer word. Dus, enige van die veelhoeke kan in verskeie konvekse n-hoeke verdeel word. Om dit te doen, is dit nodig om elkeen van sy sye voort te sit en hierdie geometriese figuur langs hierdie reguit lyne te sny. Dit is ook moontlik om enige veelhoek in verskeie konvekse dele te verdeel op so 'n manier dat die hoekpunte van elk van die stukke met al sy hoekpunte saamval. Van so 'n meetkundige figuur kan driehoeke baie eenvoudig gemaak word deur almal te tekenhoeklyne vanaf een hoekpunt. Dus kan enige veelhoek uiteindelik in 'n sekere aantal driehoeke verdeel word, wat blyk baie nuttig te wees in die oplossing van verskeie probleme wat met sulke meetkundige vorms geassosieer word.
Omtrek van 'n konvekse veelhoek
Segmente van 'n gebroke lyn, wat sye van 'n veelhoek genoem word, word meestal deur die volgende letters aangedui: ab, bc, cd, de, ea. Dit is die sye van 'n meetkundige figuur met hoekpunte a, b, c, d, e. Die som van die lengtes van alle sye van hierdie konvekse veelhoek word sy omtrek genoem.
veelhoekomtrek
Konvekse veelhoeke kan ingeskryf en omskryf word. 'n Sirkel wat aan alle kante van hierdie meetkundige figuur raak, word daarin ingeskryf genoem. So 'n veelhoek word omskrewe genoem. Die middelpunt van 'n sirkel wat in 'n veelhoek ingeskryf is, is die snypunt van die middellyne van alle hoeke binne 'n gegewe meetkundige figuur. Die oppervlakte van so 'n veelhoek is:
S=pr, waar r die radius van die ingeskrewe sirkel is en p die semi-omtrek van die gegewe veelhoek is.
'n Sirkel wat die hoekpunte van 'n veelhoek bevat, word omskrewe daaromheen genoem. Boonop word hierdie konvekse geometriese figuur ingeskryf genoem. Die middelpunt van die sirkel, wat om so 'n veelhoek omskryf is, is die snypunt van die sogenaamde loodregte middellyne van alle kante.
Diagonale van konvekse geometriese vorms
Die hoeklyne van 'n konvekse veelhoek is segmente watverbind nie-aangrensende hoekpunte. Elkeen van hulle lê binne hierdie meetkundige figuur. Die aantal hoeklyne van so 'n n-hoek word bepaal deur die formule:
N=n (n – 3)/ 2.
Die aantal hoeklyne van 'n konvekse veelhoek speel 'n belangrike rol in elementêre meetkunde. Die aantal driehoeke (K) waarin dit moontlik is om elke konvekse veelhoek te verdeel, word deur die volgende formule bereken:
K=n – 2.
Die aantal hoeklyne van 'n konvekse veelhoek hang altyd af van die aantal hoekpunte daarvan.
Ontbinding van 'n konvekse veelhoek
In sommige gevalle, om meetkundige probleme op te los, is dit nodig om 'n konvekse veelhoek te verdeel in verskeie driehoeke met nie-snyende diagonale. Hierdie probleem kan opgelos word deur 'n spesifieke formule af te lei.
Definisie van die probleem: kom ons noem 'n behoorlike verdeling van 'n konvekse n-gon in verskeie driehoeke deur hoeklyne wat slegs by die hoekpunte van hierdie meetkundige figuur sny.
Oplossing: Veronderstel dat Р1, Р2, Р3 …, Pn hoekpunte van hierdie n-gon is. Die getal Xn is die getal van sy partisies. Kom ons kyk noukeurig na die verkry diagonaal van die meetkundige figuur Pi Pn. In enige van die gewone partisies behoort P1 Pn aan 'n sekere driehoek P1 Pi Pn, wat 1<i<n het. As ons hiervan uitgaan en aanvaar dat i=2, 3, 4 …, n-1, kry ons (n-2) groepe van hierdie partisies, wat alle moontlike spesifieke gevalle insluit.
Laat i=2 een groep gereelde partisies wees, wat altyd die diagonale Р2 Pn bevat. Die aantal partisies wat dit invoer is dieselfde as die aantal partisies(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Met ander woorde, dit is gelyk aan Xn-1.
As i=3, dan sal hierdie ander groep partisies altyd die diagonale Р3 Р1 en Р3 Pn bevat. In hierdie geval sal die aantal gereelde partisies wat in hierdie groep voorkom, saamval met die aantal partisies van die (n-2)-gon P3 P4 … Pn. Met ander woorde, dit sal gelyk wees aan Xn-2.
Laat i=4, dan sal 'n reëlmatige partisie tussen die driehoeke sekerlik 'n driehoek P1 P4 Pn bevat, waaraan die vierhoek P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn sal grens. Die aantal reëlmatige partisies van so 'n vierhoek is X4, en die aantal partisies van 'n (n-3)-gon is Xn-3. Gebaseer op die voorafgaande, kan ons sê dat die totale aantal korrekte partisies in hierdie groep Xn-3 X4 is. Ander groepe met i=4, 5, 6, 7… sal Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … gewone partisies bevat.
Laat i=n-2, dan sal die aantal korrekte verdelings in hierdie groep dieselfde wees as die aantal verdelings in die groep waar i=2 (met ander woorde gelyk is aan Xn-1).
Aangesien X1=X2=0, X3=1, X4=2…, dan is die getal van alle partisies van 'n konvekse veelhoek:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Voorbeeld:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Aantal korrekte partisies wat een diagonaal binne sny
Wanneer spesiale gevalle nagegaan word, kan 'n mens by komdie aanname dat die aantal diagonale van konvekse n-gone gelyk is aan die produk van alle partisies van hierdie figuur met (n-3).
Bewys van hierdie aanname: stel jou voor dat P1n=Xn(n-3), dan kan enige n-gon in (n-2)-driehoeke verdeel word. Boonop kan 'n (n-3)-vierhoek daaruit saamgestel word. Hiermee saam sal elke vierhoek 'n diagonaal hê. Aangesien twee hoeklyne in hierdie konvekse meetkundige figuur geteken kan word, beteken dit dat bykomende (n-3) diagonale in enige (n-3)-vierhoeke geteken kan word. Op grond hiervan kan ons tot die gevolgtrekking kom dat dit in enige gewone partisie moontlik is om (n-3)-hoeklyne te teken wat aan die voorwaardes van hierdie probleem voldoen.
Area van konvekse veelhoeke
Dikwels, wanneer verskillende probleme van elementêre meetkunde opgelos word, word dit nodig om die oppervlakte van 'n konvekse veelhoek te bepaal. Aanvaar dat (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n die volgorde van koördinate van alle naburige hoekpunte van 'n veelhoek is wat nie selfsnypunte het nie. In hierdie geval word die oppervlakte daarvan bereken deur die volgende formule te gebruik:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), where (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
