Een van die moeilikste en onverstaanbaarste onderwerpe van universiteitswiskunde is integrasie en differensiaalrekening. Jy moet hierdie konsepte ken en verstaan, asook in staat wees om dit toe te pas. Baie universiteit tegniese dissiplines is gekoppel aan differensiale en integrale.
Kort inligting oor vergelykings
Hierdie vergelykings is een van die belangrikste wiskundige konsepte in die onderwysstelsel. 'n Differensiaalvergelyking is 'n vergelyking wat die onafhanklike veranderlikes, die funksie wat gevind moet word, en die afgeleides van daardie funksie in verband bring met die veranderlikes wat aanvaar word om onafhanklik te wees. Differensiaalrekening om 'n funksie van een veranderlike te vind, word gewone genoem. As die verlangde funksie van verskeie veranderlikes afhang, dan praat mens van 'n parsiële differensiaalvergelyking.
Om 'n sekere antwoord op die vergelyking te vind, kom neer op integrasie, en die oplossingsmetode word bepaal deur die tipe vergelyking.
Eerste-orde vergelykings
'n Eerste-orde differensiaalvergelyking is 'n vergelyking wat 'n veranderlike, 'n verlangde funksie en sy eerste afgeleide kan beskryf. Sulke vergelykings kan in drie vorme gegee word: eksplisiet, implisiet, differensiaal.
Konsepte nodig om op te los
Begintoestand - stel die waarde van die verlangde funksie vir 'n gegewe waarde van 'n veranderlike wat onafhanklik is.
Oplossing van 'n differensiaalvergelyking - enige differensieerbare funksie, presies vervang in die oorspronklike vergelyking, verander dit in identies gelyk. Die oplossing wat verkry is, wat nie eksplisiet is nie, is die integraal van die vergelyking.
Die algemene oplossing van differensiaalvergelykings is 'n funksie y=y(x;C), wat die volgende oordele kan bevredig:
- 'n Funksie kan slegs een arbitrêre konstante С.
- Die resulterende funksie moet 'n oplossing wees vir die vergelyking vir enige arbitrêre waardes van 'n arbitrêre konstante.
- Met 'n gegewe aanvanklike toestand, kan 'n arbitrêre konstante op 'n unieke manier gedefinieer word sodat die resulterende spesifieke oplossing ooreenstem met die gegewe vroeë begintoestand.
hê
In die praktyk word die Cauchy-probleem dikwels gebruik - om 'n oplossing te vind wat besonder is en vergelyk kan word met die toestand wat aan die begin gestel is.
Cauchy se stelling is 'n stelling wat die bestaan en uniekheid van 'n bepaalde oplossing in differensiaalrekening beklemtoon.
Meetkundige sin:
- Algemene oplossing y=y(x;C)vergelyking is die totale aantal integraalkrommes.
- Differensiaalrekening laat jou toe om die koördinate van 'n punt in die XOY-vlak en die raaklyn wat aan die integraalkromme getrek is, te verbind.
- Om die aanvanklike toestand te stel beteken om 'n punt op die vliegtuig te stel.
- Om die Cauchy-probleem op te los beteken dat uit die hele stel integraalkrommes wat dieselfde oplossing van die vergelyking verteenwoordig, dit nodig is om die enigste een te kies wat deur die enigste moontlike punt gaan.
- Vervulling van die voorwaardes van die Cauchy-stelling by 'n punt beteken dat 'n integraalkromme (bowendien net een) noodwendig deur die gekose punt in die vlak gaan.
Skeibare veranderlike vergelyking
Per definisie, 'n differensiaalvergelyking is 'n vergelyking waar sy regterkant beskryf of weerspieël word as 'n produk (soms 'n verhouding) van twee funksies, een hang net van "x", en die ander - slegs op "y ". 'n Duidelike voorbeeld vir hierdie soort: y'=f1(x)f2(y).
Om vergelykings van 'n spesifieke vorm op te los, moet jy eers die afgeleide y'=dy/dx transformeer. Dan, deur die vergelyking te manipuleer, moet jy dit na 'n vorm bring waar jy die twee dele van die vergelyking kan integreer. Na die nodige transformasies integreer ons albei dele en vereenvoudig die resultaat.
Homogene vergelykings
Per definisie kan 'n differensiaalvergelyking homogeen genoem word as dit die volgende vorm het: y'=g(y/x).
In hierdie geval word die vervanging y/x=die meeste gebruikt(x).
Om sulke vergelykings op te los, is dit nodig om 'n homogene vergelyking te reduseer tot 'n vorm met skeibare veranderlikes. Om dit te doen, moet jy die volgende bewerkings uitvoer:
- Vertoon, wat die afgeleide van die oorspronklike funksie uitdruk, van enige oorspronklike funksie as 'n nuwe vergelyking.
- Die volgende stap is om die resulterende funksie te transformeer in die vorm f(x;y)=g(y/x). In eenvoudiger woorde, laat die vergelyking slegs die verhouding y/x en konstantes bevat.
- Maak die volgende vervanging: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Die vervanging wat gemaak word, sal help om die veranderlikes in die vergelyking te verdeel, en dit geleidelik na 'n eenvoudiger vorm te bring.
Lineêre vergelykings
Die definisie van sulke vergelykings is soos volg: 'n lineêre differensiaalvergelyking is 'n vergelyking waar sy regterkant uitgedruk word as 'n lineêre uitdrukking met betrekking tot die oorspronklike funksie. Die verlangde funksie in hierdie geval: y'=a(x)y + b(x).
Kom ons herformuleer die definisie soos volg: enige vergelyking van die 1ste orde sal lineêr word in sy vorm as die oorspronklike funksie en sy afgeleide ingesluit is in die eerstegraadsvergelyking en nie met mekaar vermenigvuldig word nie. Die "klassieke vorm" van 'n lineêre differensiaalvergelyking het die volgende struktuur: y' + P(x)y=Q(x).
Voordat so 'n vergelyking opgelos word, moet dit omgeskakel word na die "klassieke vorm". Die volgende stap sal die keuse van die oplossingsmetode wees: die Bernoulli-metode of die Lagrange-metode.
Die oplossing van die vergelyking metdeur gebruik te maak van die metode wat deur Bernoulli bekendgestel is, impliseer die vervanging en reduksie van 'n lineêre differensiaalvergelyking na twee vergelykings met afsonderlike veranderlikes relatief tot die funksies U(x) en V(x), wat in hul oorspronklike vorm gegee is.
Die Lagrange-metode is om 'n algemene oplossing vir die oorspronklike vergelyking te vind.
- Dit is nodig om dieselfde oplossing van die homogene vergelyking te vind. Nadat ons gesoek het, het ons die funksie y=y(x, C), waar C 'n arbitrêre konstante is.
- Ons soek 'n oplossing vir die oorspronklike vergelyking in dieselfde vorm, maar ons beskou C=C(x). Ons vervang die funksie y=y(x, C(x)) in die oorspronklike vergelyking, vind die funksie C(x) en skryf die oplossing van die algemene oorspronklike vergelyking neer.
Bernoulli-vergelyking
Bernoulli se vergelyking - as die regterkant van die calculus die vorm aanneem f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, waar k enige moontlike rasionale numeriese waarde is, nie as 'n voorbeeldgevalle wanneer k=0 en k=1.
As k=1, dan word die berekening skeibaar, en wanneer k=0, bly die vergelyking lineêr.
Kom ons kyk na die algemene geval van die oplossing van hierdie tipe vergelyking. Ons het die standaard Bernoulli-vergelyking. Dit moet gereduseer word tot 'n lineêre een, hiervoor moet jy die vergelyking deur yk deel. Na hierdie bewerking, vervang z(x)=y1-k. Na 'n reeks transformasies sal die vergelyking na 'n lineêre een verminder word, meestal deur die substitusiemetode z=UV.
Vergelykings in totale differensiale
Definisie. 'n Vergelyking met die struktuur P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 word 'n volledige vergelyking genoemdifferensiale, indien aan die volgende voorwaarde voldoen word (in hierdie toestand is "d" 'n gedeeltelike differensiaal): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Alle eerste-orde differensiaalvergelykings wat vroeër oorweeg is, kan as differensiale vertoon word.
Sulke berekeninge word op verskeie maniere opgelos. Maar hulle begin egter almal met 'n toestandkontrole. As die voorwaarde bevredig is, dan is die mees linkse gebied van die vergelyking die totale differensiaal van die nog onbekende funksie U(x;y). Dan, in ooreenstemming met die vergelyking, sal dU (x; y) gelyk wees aan nul, en daarom sal dieselfde integraal van die vergelyking in totale differensiale vertoon word in die vorm U (x; y) u003d C. Daarom sal die oplossing van die vergelyking word verminder tot die vind van die funksie U (x; y).
Integrasiefaktor
As die voorwaarde dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx nie in die vergelyking bevredig word nie, dan het die vergelyking nie die vorm wat ons hierbo oorweeg het nie. Maar soms is dit moontlik om een of ander funksie M(x;y) te kies, wanneer dit vermenigvuldig word waarmee die vergelyking die vorm van 'n vergelyking in volle "diffurs" aanneem. Daar word na die funksie M (x;y) verwys as die integrerende faktor.
'n Integreerder kan slegs gevind word wanneer dit 'n funksie van slegs een veranderlike word.
