Formule vir die bepaling van die volume van 'n keël. Probleemoplossing voorbeeld

2024 Outeur: Angel Austin | [email protected]. Laas verander: 2023-12-17 05:14

Elke student in die studie van stereometrie op hoërskool het op 'n keël afgekom. Twee belangrike kenmerke van hierdie ruimtelike figuur is oppervlakte en volume. In hierdie artikel sal ons wys hoe om die volume van 'n ronde keël te vind.

Ronde keël as 'n rotasiefiguur van 'n reghoekige driehoek

Voordat jy direk na die onderwerp van die artikel gaan, is dit nodig om die keël vanuit 'n meetkundige oogpunt te beskryf.

Laat daar 'n reghoekige driehoek wees. As jy dit om enige van die bene draai, dan sal die resultaat van hierdie aksie die verlangde figuur wees, wat in die figuur hieronder getoon word.

Hier is been AB deel van die as van die keël, en sy lengte stem ooreen met die hoogte van die figuur. Die tweede been (segment CA) sal die radius van die keël wees. Tydens rotasie sal dit 'n sirkel beskryf wat die basis van die figuur begrens. Die skuinssy BC word die generatrix van die figuur, of sy generatrix, genoem. Punt B is die enigste hoekpunt van die keël.

Gegewe die eienskappe van die driehoek ABC, kan ons die verwantskap tussen die generatriks g, radius r en hoogte h soos volg skryfgelykheid:

g²=h²+ r²

Hierdie formule is nuttig om baie meetkundige probleme met die betrokke figuur op te los.

kegelvolumeformule

Die volume van enige ruimtelike figuur is die oppervlakte van die ruimte, wat beperk word deur die oppervlaktes van hierdie figuur. Daar is twee sulke oppervlaktes vir 'n keël:

1. Lateraal, of konies. Dit word deur alle generatrises gevorm.
2. stigting. In hierdie geval is dit 'n sirkel.

Kry die formule vir die bepaling van die volume van 'n keël. Om dit te doen, sny ons dit verstandelik in baie lae parallel met die basis. Elkeen van die lae het 'n dikte dx, wat neig na nul. Die oppervlakte S_x van die laag op 'n afstand x vanaf die bokant van die figuur is gelyk aan die volgende uitdrukking:

S_x=pir²x²/h ²

Die geldigheid van hierdie uitdrukking kan intuïtief geverifieer word deur die waardes x=0 en x=h te vervang. In die eerste geval sal ons 'n oppervlakte gelyk aan nul kry, in die tweede geval sal dit gelyk wees aan die oppervlakte van die ronde basis.

Om die volume van die keël te bepaal, moet jy klein "volumes" van elke laag optel, dit wil sê, jy moet die integraalrekening gebruik:

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

Deur hierdie integraal te bereken, kom ons by die finale formule vir 'n ronde keël:

V=1/3pir²h

Dit is interessant om daarop te let dat hierdie formule heeltemal soortgelyk is aan die een wat gebruik word om die volume van 'n arbitrêre piramide te bereken. Hierdie toeval is nie toevallig nie, want enige piramide word 'n keël wanneer die aantal rande tot oneindig toeneem.

Volumeberekeningprobleem

Dit is nuttig om 'n voorbeeld te gee van die oplossing van die probleem, wat die gebruik van die afgeleide formule vir die volume V sal demonstreer.

Gegee 'n ronde keël waarvan die basisoppervlakte 37 cm is², en die opwekker van die figuur is drie keer die radius. Wat is die volume van die keël?

Ons het die reg om die volume-formule te gebruik as ons twee hoeveelhede ken: die hoogte h en die radius r. Kom ons vind die formules wat hulle bepaal in ooreenstemming met die toestand van die probleem.

Radius r kan bereken word deur die oppervlakte van die sirkel S_o te ken, ons het:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Deur die toestand van die probleem te gebruik, skryf ons die gelykheid vir die kragopwekker g:

g=3r=3√(S_o/pi)

Om die formules vir r en g te ken, bereken die hoogte h:

h=√(g²- r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Ons het al die nodige parameters gevind. Nou is dit tyd om hulle by die formule vir V in te prop:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Dit bly om te vervangbasisoppervlakte S_o en bereken die volumewaarde: V=119.75 cm³.