Die vermoë om die volume van ruimtelike figure te bepaal, is belangrik vir die oplossing van meetkundige en praktiese probleme. Een van hierdie figure is 'n prisma. Ons sal in die artikel oorweeg wat dit is en wys hoe om die volume van 'n skuins prisma te bereken.
Wat word bedoel met 'n prisma in meetkunde?
Dit is 'n gereelde veelvlak (veelvlak), wat gevorm word deur twee identiese basisse wat in parallelle vlakke geleë is, en verskeie parallelogramme wat die gemerkte basisse verbind.
Prismebasisse kan arbitrêre veelhoeke wees, soos driehoek, vierhoek, sewehoek, ensovoorts. Boonop bepaal die aantal hoeke (sye) van die veelhoek die naam van die figuur.
Enige prisma met 'n n-hoek basis (n is die aantal sye) bestaan uit n+2 vlakke, 2 × n hoekpunte en 3 × n rande. Uit die gegewe getalle kan gesien word dat die aantal elemente van die prisma ooreenstem met Euler se stelling:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Die prent hieronder wys hoe driehoekige en vierhoekige prismas van glas lyk.
Tipes figuur. Gekantelde prisma
Daar is reeds hierbo gesê dat die naam van 'n prisma bepaal word deur die aantal sye van die veelhoek by die basis. Daar is egter ander kenmerke in sy struktuur wat die eienskappe van die figuur bepaal. Dus, as al die parallelogramme wat die laterale oppervlak van die prisma vorm deur reghoeke of vierkante voorgestel word, word so 'n figuur 'n reguit lyn genoem. Vir 'n reguit prisma is die afstand tussen die basisse gelyk aan die lengte van die syrand van enige reghoek.
As sommige of al die sye parallelogramme is, praat ons van 'n skuins prisma. Sy hoogte sal reeds minder as die lengte van die syrib wees.
Nog 'n maatstaf waarvolgens die figure wat oorweeg word, geklassifiseer word, is die lengtes van die sye en die hoeke van die veelhoek by die basis. As hulle gelyk aan mekaar is, sal die veelhoek korrek wees. 'n Reguit figuur met 'n reëlmatige veelhoek by die basisse word gereeld genoem. Dit is gerieflik om daarmee te werk wanneer die oppervlakte en volume bepaal word. 'n skuins prisma in hierdie verband bied 'n paar probleme.
Die figuur hieronder toon twee prismas met 'n vierkantige basis. Die 90°-hoek wys die fundamentele verskil tussen 'n reguit en 'n skuins prisma.
Formule vir die bepaling van die volume van 'n figuur
Deel van die ruimte wat deur die vlakke van 'n prisma begrens word, word die volume daarvan genoem. Vir die geagte syfers van enige tipe, kan hierdie waarde deur die volgende formule bepaal word:
V=h × So
Hier dui die simbool h die hoogte van die prisma aan,wat 'n maatstaf is van die afstand tussen twee basisse. Simbool So- een basisvierkant.
Die basisarea is maklik om te vind. Gegewe die feit of die veelhoek reëlmatig is of nie, en as jy die aantal sye ken, moet jy die toepaslike formule toepas en So kry. Byvoorbeeld, vir 'n gereelde n-hoek met sylengte a, sal die area wees:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Kom ons gaan nou aan na hoogte h. Vir 'n reguit prisma is dit nie moeilik om die hoogte te bepaal nie, maar vir 'n skuins prisma is dit nie 'n maklike taak nie. Dit kan deur verskeie meetkundige metodes opgelos word, vanaf spesifieke aanvanklike toestande. Daar is egter 'n universele manier om die hoogte van 'n figuur te bepaal. Kom ons beskryf dit kortliks.
Die idee is om die afstand van 'n punt in die ruimte na 'n vliegtuig te vind. Aanvaar dat die vlak gegee word deur die vergelyking:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Dan sal die vliegtuig op 'n afstand wees:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
As die koördinaat-asse so gerangskik is dat die punt (0; 0; 0) in die vlak van die onderste basis van die prisma lê, dan kan die vergelyking vir die basisvlak soos volg geskryf word:
z=0
Dit beteken dat die formule vir die hoogte geskryf sal worddus:
h=z1
Dit is genoeg om die z-koördinaat van enige punt van die boonste basis te vind om die hoogte van die figuur te bepaal.
Voorbeeld van probleemoplossing
Die figuur hieronder toon 'n vierhoekige prisma. Die basis van 'n skuins prisma is 'n vierkant met 'n sy van 10 cm. Dit is nodig om sy volume te bereken as dit bekend is dat die lengte van die syrand 15 cm is, en die skerp hoek van die frontale parallelogram is 70 °.
Aangesien die hoogte h van die figuur ook die hoogte van die parallelogram is, gebruik ons formules om sy oppervlakte te bepaal om h te vind. Kom ons dui die sye van die parallelogram soos volg aan:
a=10cm;
b=15cm
Dan kan jy die volgende formules daarvoor skryf om die oppervlakte Sp:
te bepaal
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
Vanwaar ons kom:
h=b × sin (α)
Hier is α 'n skerp hoek van die parallelogram. Aangesien die basis 'n vierkant is, sal die formule vir die volume van 'n skuins prisma die vorm aanneem:
V=a2 × b × sin (α)
Ons vervang die data van die toestand in die formule en kry die antwoord: V ≈ 1410 cm3.
