Die studie van die eienskappe van ruimtelike figure speel 'n belangrike rol in die oplossing van praktiese probleme. Die wetenskap wat met figure in die ruimte handel, word stereometrie genoem. In hierdie artikel, uit die oogpunt van soliede meetkunde, sal ons 'n keël oorweeg en wys hoe om die area van 'n keël te vind.
kegel met ronde basis
In die algemene geval is 'n keël 'n oppervlak wat op een of ander vlakkromme gebou is, waarvan alle punte deur segmente met een punt in die ruimte verbind is. Laasgenoemde word die toppunt van die keël genoem.
Uit bogenoemde definisie is dit duidelik dat 'n kromme 'n arbitrêre vorm kan hê, soos parabolies, hiperbolies, ellipties, ensovoorts. Nietemin, in die praktyk en in probleme in meetkunde, is dit dikwels 'n ronde keël wat dikwels teëgekom word. Dit word in die prent hieronder gewys.
Hier dui die simbool r die radius van die sirkel aan wat aan die basis van die figuur geleë is, h is die loodreg op die vlak van die sirkel, wat vanaf die bokant van die figuur geteken word. Dit word hoogte genoem. Die waarde s is die generatrix van die keël, of sy generatrix.
Dit kan gesien word dat die segmente r, h en svorm 'n reghoekige driehoek. As dit om die been h gedraai word, dan sal die skuinssy s die keëlvormige oppervlak beskryf, en die been r vorm die ronde basis van die figuur. Om hierdie rede word die keël as 'n figuur van revolusie beskou. Die drie genoemde lineêre parameters is onderling verbind deur die gelykheid:
s2=r2+ h2
Let daarop dat die gegewe gelykheid slegs geldig is vir 'n ronde reguit keël. 'n Reguit figuur is slegs as sy hoogte presies in die middel van die basissirkel val. As hierdie voorwaarde nie nagekom word nie, word die figuur skuins genoem. Die verskil tussen reguit en skuins keëls word in die figuur hieronder getoon.
Vormontwikkeling
Bestudering van die oppervlakte van 'n keël is gerieflik om uit te voer, aangesien dit op 'n vliegtuig oorweeg word. Hierdie manier om die oppervlak van figure in die ruimte voor te stel, word hul ontwikkeling genoem. Vir 'n keël kan hierdie ontwikkeling soos volg verkry word: jy moet 'n figuur neem wat byvoorbeeld van papier gemaak is. Sny dan met 'n skêr die ronde basis rondom die omtrek af. Daarna, langs die generatrix, maak 'n snit van die koniese oppervlak en verander dit in 'n vlak. Die resultaat van hierdie eenvoudige bewerkings sal die ontwikkeling van die keël wees, getoon in die figuur hieronder.
Soos jy kan sien, kan die oppervlak van 'n keël inderdaad op 'n vlak voorgestel word. Dit bestaan uit die volgende twee dele:
- sirkel met radius r wat die basis van die figuur voorstel;
- sirkelsektor met radius g, wat 'n koniese oppervlak is.
Die formule vir die oppervlakte van 'n keël behels die vind van die areas van beide oopgevoude oppervlaktes.
Bereken die oppervlakte van 'n figuur
Kom ons verdeel die taak in twee fases. Eers vind ons die oppervlakte van die basis van die keël, dan die oppervlakte van die keëloppervlak.
Die eerste deel van die probleem is maklik om op te los. Aangesien die radius r gegee word, is dit genoeg om die ooreenstemmende uitdrukking vir die oppervlakte van 'n sirkel te herroep om die oppervlakte van die basis te bereken. Kom ons skryf dit neer:
So=pi × r2
As die radius nie bekend is nie, moet jy dit eers vind deur die verbandformule tussen dit, die hoogte en die generator te gebruik.
Die tweede deel van die probleem om die area van 'n keël te vind, is ietwat meer ingewikkeld. Let daarop dat die sirkelsektor gebou is op die radius g van die generatriks en begrens word deur 'n boog waarvan die lengte gelyk is aan die omtrek van die sirkel. Hierdie feit laat jou toe om die proporsie neer te skryf en die hoek van die oorweegde sektor te vind. Kom ons dui dit aan met die Griekse letter φ. Hierdie hoek sal gelyk wees aan:
2 × pi=>2 × pi × g;
φ=> 2 × pi × r;
φ=2 × pi × r / g
Om die sentrale hoek φ van 'n sirkelsektor te ken, kan jy die toepaslike proporsie gebruik om sy oppervlakte te vind. Kom ons dui dit aan met die simbool Sb. Dit sal gelyk wees aan:
2 × pi=>pi × g2;
φ=> Sb;
Sb=pi × g2 × φ / (2 × pi)=pi × r × g
Dit wil sê, die oppervlakte van die koniese oppervlak stem ooreen met die produk van die generatrix g, die radius van die basis r en die getal Pi.
Om te weet wat die gebiede van beideas oppervlaktes beskou word, kan ons die finale formule vir die oppervlakte van 'n keël skryf:
S=So+ Sb=pi × r2+ pi × r × g=pi × r × (r + g)
Die geskrewe uitdrukking veronderstel kennis van twee lineêre parameters van die keël om S te bereken. As g of r onbekend is, kan hulle deur die hoogte h gevind word.
Die probleem om die oppervlakte van 'n keël te bereken
Dit is bekend dat die hoogte van 'n ronde reguit keël gelyk is aan sy deursnee. Dit is nodig om die oppervlakte van die figuur te bereken, met die wete dat die oppervlakte van 'n stukkie basis 50 cm is2.
Om die oppervlakte van 'n sirkel te ken, kan jy die radius van die figuur vind. Ons het:
So=pi × r2=>
r=√(So /pi)
Kom ons vind nou die generator g in terme van h en r. Volgens die voorwaarde is die hoogte h van die figuur gelyk aan twee radiusse r, dan:
h=2 × r;
g2=(2 × r)2+ r2=>
g=√5 × r=√(5 × So / pi)
Die gevonde formules vir g en r moet in die uitdrukking vir die hele area van die keël vervang word. Ons kry:
S=So+ pi × √(So / pi) × √(5 × S o /pi)=So × (1 + √5)
In die resulterende uitdrukking vervang ons die oppervlakte van die basis So en skryf die antwoord neer: S ≈ 161.8 cm2.
