Die oppervlakte van die laterale oppervlak en die volume van 'n afgeknotte piramide: formules en 'n voorbeeld van die oplossing van 'n tipiese probleem

2024 Outeur: Angel Austin | [email protected]. Laas verander: 2024-01-02 17:39

Wanneer die eienskappe van figure in driedimensionele ruimte binne die raamwerk van stereometrie bestudeer word, moet 'n mens dikwels probleme oplos om die volume en oppervlakte te bepaal. In hierdie artikel sal ons wys hoe om die volume en sy-oppervlakte vir 'n afgeknotte piramide te bereken deur bekende formules te gebruik.

Piramide in meetkunde

In meetkunde is 'n gewone piramide 'n figuur in die ruimte, wat op een of ander plat n-gon gebou is. Al sy hoekpunte is verbind met een punt wat buite die vlak van die veelhoek geleë is. Hier is byvoorbeeld 'n foto wat 'n vyfhoekige piramide wys.

Hierdie figuur word gevorm deur vlakke, hoekpunte en rande. Die vyfhoekige gesig word die basis genoem. Die oorblywende driehoekige vlakke vorm die syoppervlak. Die snypunt van alle driehoeke is die hoofpunt van die piramide. As 'n loodlyn daarvan na die basis verlaag word, is twee opsies vir die posisie van die snypunt moontlik:

• in die geometriese middelpunt, dan word die piramide 'n reguit lyn genoem;
• nie in niegeometriese middelpunt, dan sal die figuur skuins wees.

Verder sal ons slegs reguit figure met 'n gereelde n-gonale basis oorweeg.

Wat is hierdie figuur - 'n afgeknotte piramide?

Om die volume van 'n afgeknotte piramide te bepaal, is dit nodig om duidelik te verstaan watter figuur spesifiek ter sprake is. Kom ons verduidelik hierdie kwessie.

Sê nou ons neem 'n snyvlak wat parallel is met die basis van 'n gewone piramide en sny 'n deel van die syoppervlak daarmee af. As hierdie bewerking gedoen word met die vyfhoekige piramide wat hierbo gewys word, sal jy so 'n figuur kry soos in die figuur hieronder.

Uit die foto kan gesien word dat hierdie piramide reeds twee basisse het, en die boonste een is soortgelyk aan die onderste een, maar dit is kleiner in grootte. Die laterale oppervlak word nie meer deur driehoeke voorgestel nie, maar deur trapeziums. Hulle is gelykbenig, en hul getal stem ooreen met die aantal sye van die basis. Die afgeknotte figuur het nie 'n hoofpunt, soos 'n gereelde piramide, nie en sy hoogte word bepaal deur die afstand tussen parallelle basisse.

In die algemene geval, as die figuur wat oorweeg word deur n-gonale basisse gevorm word, het dit n+2 vlakke of sye, 2n hoekpunte en 3n rande. Dit wil sê, die afgeknotte piramide is 'n veelvlak.

Formule vir die volume van 'n afgeknotte piramide

Onthou dat die volume van 'n gewone piramide 1/3 van die produk van sy hoogte en basisoppervlakte is. Hierdie formule is nie geskik vir 'n afgeknotte piramide nie, aangesien dit twee basisse het. En sy volumesal altyd minder as dieselfde waarde wees vir die gewone syfer waarvan dit afgelei is.

Sonder om in die wiskundige besonderhede van die verkryging van die uitdrukking in te gaan, bied ons die finale formule vir die volume van 'n afgeknotte piramide aan. Dit is soos volg geskryf:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Hier S₁ en S_{2 is die oppervlaktes van onderskeidelik die onderste en boonste basisse, h is die hoogte van die figuur. Die geskrewe uitdrukking is nie net geldig vir 'n reguit gereelde afgekapte piramide nie, maar ook vir enige figuur van hierdie klas. Verder, ongeag die tipe basis veelhoeke. Die enigste voorwaarde wat die gebruik van die uitdrukking vir V beperk, is die behoefte dat die basisse van die piramide parallel aan mekaar moet wees.}

Verskeie belangrike gevolgtrekkings kan gemaak word deur die eienskappe van hierdie formule te bestudeer. Dus, as die oppervlakte van die boonste basis nul is, kom ons by die formule vir V van 'n gewone piramide. As die oppervlaktes van die basisse gelyk aan mekaar is, kry ons die formule vir die volume van die prisma.

Hoe om die laterale oppervlakte te bepaal?

Om die kenmerke van 'n afgeknotte piramide te ken, vereis nie net die vermoë om sy volume te bereken nie, maar ook om te weet hoe om die oppervlakte van die laterale oppervlak te bepaal.

Afgekapte piramide bestaan uit twee tipes gesigte:

• gelykbenige trapeziums;
• polygonale basisse.

As daar 'n reëlmatige veelhoek in die basisse is, verteenwoordig die berekening van sy oppervlakte nie groot niemoeilikhede. Om dit te doen, hoef jy net die lengte van die sy a en hul nommer n te ken.

In die geval van 'n laterale oppervlak, behels die berekening van sy oppervlakte die bepaling van hierdie waarde vir elk van die n trapezoïede. As die n-hoek korrek is, dan word die formule vir die laterale oppervlakte:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Hier is h_b die hoogte van die trapesium, wat die figuur se apoteem genoem word. Die hoeveelhede a₁ en a_{2is die lengtes van die sye van gereelde n-gonale basisse.}

Vir elke gereelde n-gonale afgekapte piramide kan die apotema h_b uniek gedefinieer word deur die parameters a₁ en a _{2en die hoogte h van die vorm.}

Die taak om die volume en oppervlakte van 'n figuur te bereken

Gegewe 'n gereelde driehoekige afgekapte piramide. Dit is bekend dat sy hoogte h 10 cm is, en die lengte van die sye van die basisse is 5 cm en 3 cm. Wat is die volume van die afgeknotte piramide en die oppervlakte van sy syoppervlak?

Eers, kom ons bereken die waarde V. Om dit te doen, vind die oppervlaktes van gelyksydige driehoeke wat by die basisse van die figuur geleë is. Ons het:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10,825cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3,897 cm²

Vervang die data in die formule vir V, ons kry die verlangde volume:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Om die syoppervlakte te bepaal, moet jy weetapotem lengte h_{b. As ons die ooreenstemmende reghoekige driehoek binne die piramide in ag neem, kan ons die gelykheid daarvoor skryf:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10,017 cm}

Die waarde van die apotem en die sye van die driehoekige basisse word in die uitdrukking vir S_{bvervang en ons kry die antwoord:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2cm²

Ons het dus al die vrae van die probleem beantwoord: V ≈ 70.72 cm³, S_b ≈ 120.2 cm2^.