Die oppervlakte van die laterale oppervlak van 'n gereelde vierhoekige piramide: formules en voorbeelde van probleme

2024 Outeur: Angel Austin | [email protected]. Laas verander: 2024-01-02 17:39

Tipiese meetkundige probleme in die vlak en in driedimensionele ruimte is die probleme om die oppervlaktes van verskillende vorms te bepaal. In hierdie artikel bied ons die formule aan vir die oppervlakte van die laterale oppervlak van 'n gereelde vierhoekige piramide.

Wat is 'n piramide?

Kom ons gee 'n streng meetkundige definisie van 'n piramide. Gestel daar is een of ander veelhoek met n sye en n hoeke. Ons kies 'n arbitrêre punt in die ruimte wat nie in die vlak van die gespesifiseerde n-hoek sal wees nie, en verbind dit met elke hoekpunt van die veelhoek. Ons sal 'n figuur kry wat 'n mate van volume het, wat 'n n-gonale piramide genoem word. Kom ons wys byvoorbeeld in die figuur hieronder hoe 'n vyfhoekige piramide lyk.

Twee belangrike elemente van enige piramide is sy basis (n-gon) en bokant. Hierdie elemente is aan mekaar verbind deur n driehoeke, wat oor die algemeen nie gelyk aan mekaar is nie. Loodreg gedaal vanbo na onder word die figuur se hoogte genoem. As dit die basis in die geometriese middelpunt sny (val saam met die massamiddelpunt van die veelhoek), dan word so 'n piramide 'n reguitlyn genoem. As, bykomend tot hierdie toestand, die basis 'n gereelde veelhoek is, dan word die hele piramide gereeld genoem. Die figuur hieronder wys hoe gewone piramides lyk met driehoekige, vierhoekige, vyfhoekige en seskantige basisse.

Piramide-oppervlak

Voordat ons na die vraag oor die oppervlakte van die laterale oppervlak van 'n gereelde vierhoekige piramide gaan, moet ons stilstaan by die konsep van die oppervlak self.

Soos hierbo genoem en in die figure getoon, word enige piramide gevorm deur 'n stel vlakke of sye. Een sy is die basis en n sye is driehoeke. Die oppervlak van die hele figuur is die som van die oppervlaktes van elk van sy sye.

Dit is gerieflik om die oppervlak van die voorbeeld van 'n figuur wat ontvou te bestudeer. 'n Skandering vir 'n gereelde vierhoekige piramide word in die figure hieronder getoon.

Ons sien dat sy oppervlak gelyk is aan die som van vier oppervlaktes van identiese gelykbenige driehoeke en die oppervlakte van 'n vierkant.

Die totale oppervlakte van al die driehoeke wat die sye van die figuur vorm, word die oppervlakte van die sy-oppervlak genoem. Vervolgens sal ons wys hoe om dit te bereken vir 'n gereelde vierhoekige piramide.

Die oppervlakte van die laterale oppervlak van 'n vierhoekige reëlmatige piramide

Om die oppervlakte van die laterale te berekenoppervlak van die gespesifiseerde figuur, gaan ons weer na die bogenoemde skandering. Gestel ons ken die sy van die vierkantige basis. Kom ons dui dit aan met simbool a. Dit kan gesien word dat elk van die vier identiese driehoeke 'n basis van lengte a het. Om hul totale oppervlakte te bereken, moet jy hierdie waarde vir een driehoek ken. Dit is bekend uit die meetkundekursus dat die oppervlakte van 'n driehoek S_{t gelyk is aan die produk van die basis en die hoogte, wat in die helfte gedeel moet word. Dit is:}

S_t=1/2h_ba.

Waar h_b die hoogte is van 'n gelykbenige driehoek wat na die basis a getrek is. Vir 'n piramide is hierdie hoogte die apotem. Nou bly dit oor om die resulterende uitdrukking met 4 te vermenigvuldig om die oppervlakte S_{b van die laterale oppervlak vir die betrokke piramide te kry:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Hierdie formule bevat twee parameters: die apotem en die kant van die basis. As laasgenoemde in die meeste toestande van die probleme bekend is, dan moet eersgenoemde bereken word met kennis van ander hoeveelhede. Hier is die formules vir die berekening van apotema h_{b vir twee gevalle:}

• wanneer die lengte van die syrib bekend is;
• wanneer die hoogte van die piramide bekend is.

As ons die lengte van die syrand (die sy van 'n gelykbenige driehoek) met die simbool L aandui, dan word die apotema h_{b bepaal deur die formule:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Hierdie uitdrukking is die resultaat van die toepassing van die Pythagoras-stelling vir die laterale oppervlakdriehoek.

Indien bekenddie hoogte h van die piramide, dan kan die apotema h_{b soos volg bereken word:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Om hierdie uitdrukking te kry is ook nie moeilik as ons binne die piramide 'n reghoekige driehoek beskou wat gevorm word deur die bene h en a/2 en die skuinssy h_b.

Kom ons wys hoe om hierdie formules toe te pas deur twee interessante probleme op te los.

Probleem met bekende oppervlakte

Dit is bekend dat die laterale oppervlakte van 'n gereelde vierhoekige piramide 108 cm is². Dit is nodig om die waarde van die lengte van sy apotem h_{b te bereken, as die hoogte van die piramide 7 cm is.}

Kom ons skryf die formule vir die oppervlakte S_{bvan die syoppervlak deur die hoogte. Ons het:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Hier het ons net die ooreenstemmende apotema-formule in die uitdrukking vir S_{b vervang. Kom ons vierkantig albei kante van die vergelyking:}

S_b²=4a²h² + a^4.

Om die waarde van a te vind, kom ons maak 'n verandering van veranderlikes:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Ons vervang nou die bekende waardes en los die kwadratiese vergelyking op:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Ons het slegs die positiewe wortel van hierdie vergelyking uitgeskryf. Dan sal die kante van die basis van die piramide wees:

a=√t=√47.8355 ≈ 6.916 cm.

Om die lengte van die apotema te kry,gebruik net die formule:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7) ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 sien}

Syoppervlakte van Cheops-piramide

Bepaal die waarde van die laterale oppervlakte vir die grootste Egiptiese piramide. Dit is bekend dat aan sy basis 'n vierkant lê met 'n sylengte van 230,363 meter. Die hoogte van die struktuur was oorspronklik 146,5 meter. Vervang hierdie getalle in die ooreenstemmende formule vir S_{b, ons kry:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Die waarde wat gevind is, is effens groter as die oppervlakte van 17 sokkervelde.