Wanneer jy absoluut enige ruimtelike figuur bestudeer, is dit belangrik om te weet hoe om die volume daarvan te bereken. Hierdie artikel verskaf 'n formule vir die volume van 'n gereelde vierhoekige piramide, en wys ook hoe hierdie formule gebruik moet word deur 'n voorbeeld van probleme op te los.
Van watter piramide praat ons?
Elke hoërskoolleerling weet dat 'n piramide 'n veelvlak is wat uit driehoeke en 'n veelhoek bestaan. Laasgenoemde is die basis van die figuur. Driehoeke het een gemeenskaplike sy met die basis en sny by 'n enkele punt, wat die bokant van die piramide is.
Elke piramide word gekenmerk deur die lengte van die sye van die basis, die lengte van die syrande en die hoogte. Laasgenoemde is 'n loodregte segment, verlaag na die basis vanaf die bokant van die figuur.
'n Gereelde vierhoekige piramide is 'n figuur met 'n vierkantige basis waarvan die hoogte hierdie vierkant in sy middel sny. Miskien is die bekendste voorbeeld van hierdie tipe piramides die antieke Egiptiese klipstrukture. Hieronder is 'n fotopiramides van Cheops.
Die figuur wat bestudeer word, het vyf vlakke, waarvan vier identiese gelykbenige driehoeke is. Dit word ook gekenmerk deur vyf hoekpunte, waarvan vier tot die basis behoort, en agt rande (4 rande van die basis en 4 rande van die syvlakke).
Die formule vir die volume van 'n vierhoekige piramide is korrek
Die volume van die betrokke figuur is 'n deel van die spasie wat deur vyf kante beperk word. Om hierdie volume te bereken, gebruik ons die volgende afhanklikheid van die oppervlakte van 'n sny parallel aan die basis van die piramide Sz op die vertikale koördinaat z:
Sz=So (h - z/h)2
Hier So is die oppervlakte van die vierkantige basis. As ons z=h in die geskrewe uitdrukking vervang, sal ons 'n nulwaarde vir Sz kry. Hierdie waarde van z stem ooreen met 'n sny wat slegs die bokant van die piramide sal bevat. As z=0, dan kry ons die waarde van die basisarea So.
Dit is maklik om die volume van 'n piramide te vind as jy die funksie Sz(z) ken, hiervoor is dit genoeg om die figuur in 'n oneindige aantal te sny lae parallel aan die basis, en voer dan die integrasie operasie uit. Ek volg hierdie tegniek, ons kry:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Omdat S0 isdie oppervlakte van die vierkantige basis, dan, wat die sy van die vierkant met die letter a aandui, kry ons die formule vir die volume van 'n gereelde vierhoekige piramide:
V=1/3a2h.
Kom ons gebruik nou voorbeelde van probleemoplossing om te wys hoe hierdie uitdrukking toegepas moet word.
Die probleem om die volume van 'n piramide te bepaal deur sy apoteem en syrand
Die apotem van 'n piramide is die hoogte van sy sydriehoek, wat na die kant van die basis verlaag is. Aangesien alle driehoeke gelyk is in 'n gereelde piramide, sal hul apotems ook dieselfde wees. Kom ons dui die lengte daarvan aan met die simbool hb. Dui die syrand aan as b.
Om te weet dat die apotem van die piramide 12 cm is, en sy syrand 15 cm is, vind die volume van 'n gereelde vierhoekige piramide.
Die formule vir die figuur se volume wat in die vorige paragraaf geskryf is, bevat twee parameters: sylengte a en hoogte h. Op die oomblik ken ons nie een van hulle nie, so kom ons kyk na hul berekeninge.
Die lengte van die sy van 'n vierkant a is maklik om te bereken as jy die Pythagoras-stelling vir 'n reghoekige driehoek gebruik, waarin die skuinssy die rand b is, en die bene die apoteem h b en die helfte van die kant van die basis a/2. Ons kry:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Deur die bekende waardes van die voorwaarde te vervang, kry ons die waarde a=18 cm.
Om die hoogte h van die piramide te bereken, kan jy twee dinge doen: oorweeg 'n reghoekige'n driehoek met 'n skuinssy-laterale rand of met 'n skuinssy-apoteem. Beide metodes is gelyk en behels die uitvoering van dieselfde aantal wiskundige bewerkings. Laat ons stilstaan by die beskouing van 'n driehoek, waar die skuinssy die apoteem hb is. Die bene daarin sal h en a / 2 wees. Dan kry ons:
h=√(hb2-a2/4)=√(12) 2- 182/4)=7, 937 cm.
Nou kan jy die formule vir volume V gebruik:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Dus, die volume van 'n gereelde vierhoekige piramide is ongeveer 0,86 liter.
Die volume van die piramide van Cheops
Kom ons los nou 'n interessante en prakties belangrike probleem op: vind die volume van die grootste piramide in Giza. Dit is bekend uit die literatuur dat die oorspronklike hoogte van die gebou 146,5 meter was, en die lengte van sy basis is 230,363 meter. Hierdie getalle laat ons toe om die formule toe te pas om V te bereken. Ons kry:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Die gevolglike waarde is amper 2,6 miljoen m3. Hierdie volume stem ooreen met die volume van 'n kubus waarvan die sy 137,4 meter is.
