Die vermoë om die volume van ruimtelike figure te bereken is belangrik om 'n aantal praktiese probleme in meetkunde op te los. Een van die mees algemene vorms is die piramide. In hierdie artikel sal ons die formules vir die volume van die piramide, beide vol en afgekap, oorweeg.
Piramide as 'n driedimensionele figuur
Almal weet van die Egiptiese piramides, so hulle het 'n goeie idee van watter figuur bespreek sal word. Egiptiese klipstrukture is egter slegs 'n spesiale geval van 'n groot klas piramides.
Die beskoude geometriese voorwerp in die algemene geval is 'n veelhoekige basis waarvan elke hoekpunt verbind is met 'n punt in die ruimte wat nie aan die basisvlak behoort nie. Hierdie definisie lei tot 'n figuur wat bestaan uit een n-hoek en n driehoeke.
Enige piramide bestaan uit n+1 vlakke, 2n rande en n+1 hoekpunte. Aangesien die figuur wat oorweeg word 'n volmaakte veelvlak is, gehoorsaam die getalle van gemerkte elemente die Euler-gelykheid:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Die veelhoek by die basis gee die naam van die piramide,byvoorbeeld driehoekig, vyfhoekig, ensovoorts. 'n Stel piramides met verskillende basisse word in die foto hieronder getoon.
Die punt waar n driehoeke van die figuur verbind word, word die bokant van die piramide genoem. As 'n loodlyn daarvan na die basis verlaag word en dit sny dit in die geometriese middelpunt, dan sal so 'n figuur 'n reguit lyn genoem word. As hierdie voorwaarde nie nagekom word nie, dan is daar 'n skuins piramide.
'n Reguit figuur waarvan die basis deur 'n gelyksydige (gelykhoekige) n-hoek gevorm word, word gereeld genoem.
Piramid volume formule
Om die volume van die piramide te bereken, gebruik ons die integraalrekening. Om dit te doen, verdeel ons die figuur deur sekantvlakke parallel met die basis in 'n oneindige aantal dun lae. Die figuur hieronder toon 'n vierhoekige piramide met hoogte h en sylengte L, waarin 'n dun laag snit met 'n vierhoek gemerk is.
Die oppervlakte van elke sodanige laag kan met die formule bereken word:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Hier is A0 die oppervlakte van die basis, z is die waarde van die vertikale koördinaat. Dit kan gesien word dat as z=0, dan gee die formule die waarde A0.
Om die formule vir die volume van 'n piramide te kry, moet jy die integraal oor die hele hoogte van die figuur bereken, dit is:
V=∫h0(A(z)dz).
Deur die afhanklikheid A(z) te vervang en die anti-afgeleide te bereken, kom ons by die uitdrukking:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Ons het die formule vir die volume van die piramide gekry. Om die waarde van V te vind, is dit genoeg om die hoogte van die figuur te vermenigvuldig met die oppervlakte van die basis, en dan die resultaat deur drie te deel.
Let op dat die resulterende uitdrukking geldig is vir die berekening van die volume van 'n piramide van 'n arbitrêre tipe. Dit wil sê, dit kan skuins wees, en sy basis kan 'n arbitrêre n-gon wees.
Die korrekte piramide en sy volume
Die algemene formule vir volume wat in die paragraaf hierbo verkry is, kan verfyn word in die geval van 'n piramide met die korrekte basis. Die oppervlakte van so 'n basis word met die volgende formule bereken:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Hier is L die sylengte van 'n reëlmatige veelhoek met n hoekpunte. Die simbool pi is die getal pi.
Deur die uitdrukking vir A0 in die algemene formule te vervang, kry ons die volume van 'n gereelde piramide:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Byvoorbeeld, vir 'n driehoekige piramide, lei hierdie formule na die volgende uitdrukking:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Vir 'n gereelde vierhoekige piramide word die volumeformule:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Om die volume van gereelde piramides te bepaal, vereis dat jy die sy van hul basis en die hoogte van die figuur ken.
Afgekapte piramide
Sê nou ons het geneem'n arbitrêre piramide en sny 'n deel van sy laterale oppervlak af wat die bokant bevat. Die oorblywende figuur word 'n afgeknotte piramide genoem. Dit bestaan reeds uit twee n-gonale basisse en n trapezoïede wat hulle verbind. As die snyvlak parallel aan die basis van die figuur was, dan word 'n afgeknotte piramide gevorm met ewewydige soortgelyke basisse. Dit wil sê, die lengtes van die sye van een van hulle kan verkry word deur die lengtes van die ander met een of ander koëffisiënt k te vermenigvuldig.
Die prentjie hierbo toon 'n afgekapte reëlmatige seskantige piramide. Dit kan gesien word dat sy boonste basis, soos die onderste een, deur 'n reëlmatige seshoek gevorm word.
Die formule vir die volume van 'n afgeknotte piramide, wat afgelei kan word deur gebruik te maak van 'n integraalrekening soortgelyk aan die een wat gegee word, is:
V=1/3u(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Waar A0 en A1 die areas van onderskeidelik die onderste (groot) en boonste (klein) basisse is. Die veranderlike h is die hoogte van die afgekapte piramide.
Die volume van die piramide van Cheops
Dit is interessant om die probleem op te los om die volume te bepaal wat die grootste Egiptiese piramide binne bevat.
In 1984 het Britse Egiptoloë Mark Lehner en Jon Goodman die presiese afmetings van die Cheops-piramide vasgestel. Sy oorspronklike hoogte was 146,50 meter (tans sowat 137 meter). Die gemiddelde lengte van elk van die vier kante van die struktuur was 230,363 meter. Die basis van die piramide is vierkantig met hoë akkuraatheid.
Kom ons gebruik die gegewe syfers om die volume van hierdie klipreus te bepaal. Aangesien die piramide 'n gereelde vierhoek is, is die formule daarvoor geldig:
V4=1/3L2h.
Vervang die nommers, ons kry:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Die volume van die Cheops-piramide is amper 2,6 miljoen m3. Ter vergelyking neem ons kennis dat die Olimpiese swembad 'n volume van 2,5 duisend m3 het. Dit wil sê, om die hele Cheops-piramide te vul, sal meer as 1000 van hierdie poele benodig word!
