Om die verspreidingsfunksies van ewekansige veranderlikes en hul veranderlikes te vind, is dit nodig om al die kenmerke van hierdie kennisveld te bestudeer. Daar is verskeie verskillende metodes om die betrokke waardes te vind, insluitend om 'n veranderlike te verander en 'n oomblik te genereer. Verspreiding is 'n konsep wat gebaseer is op elemente soos verspreiding, variasies. Hulle kenmerk egter slegs die graad van verstrooiingsamplitude.
Die belangrikste funksies van ewekansige veranderlikes is dié wat verwant en onafhanklik is, en eweredig versprei is. Byvoorbeeld, as X1 die gewig is van 'n ewekansig geselekteerde individu uit 'n manlike populasie, X2 is die gewig van 'n ander, …, en Xn is die gewig van nog een persoon uit die manlike populasie, dan moet ons weet hoe die ewekansige funksie X word versprei. In hierdie geval geld die klassieke stelling wat die sentrale limietstelling genoem word. Dit laat jou toe om te wys dat vir groot n die funksie standaardverspreidings volg.
Funksies van een ewekansige veranderlike
Die Sentrale Limietstelling is vir die benadering van diskrete waardes wat oorweeg word, soos binomiaal en Poisson. Verspreidingsfunksies van ewekansige veranderlikes word eerstens oorweeg op eenvoudige waardes van een veranderlike. Byvoorbeeld, as X 'n kontinue ewekansige veranderlike is met sy eie waarskynlikheidsverdeling. In hierdie geval ondersoek ons hoe om die digtheidsfunksie van Y te vind deur twee verskillende benaderings te gebruik, naamlik die verspreidingsfunksiemetode en die verandering in veranderlike. Eerstens word slegs een-tot-een-waardes oorweeg. Dan moet jy die tegniek verander om die veranderlike te verander om sy waarskynlikheid te vind. Laastens moet ons leer hoe die inverse kumulatiewe verspreidingsfunksie kan help om ewekansige getalle te modelleer wat sekere opeenvolgende patrone volg.
Metode van verspreiding van beskou waardes
Die metode van die waarskynlikheidsverdelingsfunksie van 'n ewekansige veranderlike is van toepassing om die digtheid daarvan te vind. Wanneer hierdie metode gebruik word, word 'n kumulatiewe waarde bereken. Dan, deur dit te differensieer, kan jy die waarskynlikheidsdigtheid kry. Noudat ons die verspreidingsfunksiemetode het, kan ons na nog 'n paar voorbeelde kyk. Laat X 'n kontinue ewekansige veranderlike met 'n sekere waarskynlikheidsdigtheid wees.
Wat is die waarskynlikheidsdigtheidfunksie van x2? As jy na die funksie (bo en regs) y \u003d x2 kyk of 'n grafiek teken, kan jy daarop let dat dit 'n toenemende X en 0 <y<1 is. Nou moet jy die oorweegde metode gebruik om Y te vind. Eerstens word die kumulatiewe verspreidingsfunksie gevind, jy hoef net te differensieer om die waarskynlikheidsdigtheid te kry. As ons dit doen, kry ons: 0<y<1. Die verspreidingsmetode is suksesvol geïmplementeer om Y te vind wanneer Y 'n toenemende funksie van X is. Terloops, f(y) integreer in 1 oor y.
In die laaste voorbeeld is groot sorg gebruik om die kumulatiewe funksies en waarskynlikheidsdigtheid met óf X óf Y te indekseer om aan te dui aan watter ewekansige veranderlike hulle behoort. Byvoorbeeld, wanneer ons die kumulatiewe verspreidingsfunksie van Y vind, het ons X gekry. As jy 'n ewekansige veranderlike X en sy digtheid moet vind, moet jy dit net onderskei.
Veranderlike veranderingstegniek
Laat X 'n kontinue ewekansige veranderlike wees wat gegee word deur 'n verspreidingsfunksie met 'n gemene deler f (x). In hierdie geval, as jy die waarde van y in X=v (Y) plaas, dan kry jy die waarde van x, byvoorbeeld v (y). Nou moet ons die verspreidingsfunksie van 'n kontinue ewekansige veranderlike Y kry. Waar die eerste en tweede gelykheid plaasvind uit die definisie van kumulatiewe Y. Die derde gelykheid geld omdat die deel van die funksie waarvoor u (X) ≦ y is ook waar dat X ≦ v (Y). En die laaste een word gedoen om die waarskynlikheid in 'n kontinue ewekansige veranderlike X te bepaal. Nou moet ons die afgeleide van FY (y), die kumulatiewe verspreidingsfunksie van Y, neem om die waarskynlikheidsdigtheid Y te kry.
Algemeen vir die afname-funksie
Laat X 'n kontinue ewekansige veranderlike wees met gemeenskaplike f (x) gedefinieer oor c1<x<c2. En laat Y=u (X) 'n afnemende funksie van X wees met inverse X=v (Y). Aangesien die funksie kontinu en afnemend is, is daar 'n inverse funksie X=v (Y).
Om hierdie probleem aan te spreek, kan jy kwantitatiewe data insamel en die empiriese kumulatiewe verspreidingsfunksie gebruik. Met hierdie inligting en 'n beroep daarop, moet jy middelmonsters, standaardafwykings, mediadata, ensovoorts kombineer.
Net so kan selfs 'n redelik eenvoudige waarskynlikheidsmodel 'n groot aantal resultate hê. Byvoorbeeld, as jy 'n muntstuk 332 keer draai. Dan is die aantal resultate wat van flips verkry word groter as dié van google (10100) - 'n getal, maar nie minder nie as 100 kwintiljoen keer hoër as elementêre deeltjies in die bekende heelal. Stel nie belang in 'n ontleding wat 'n antwoord op elke moontlike uitkoms gee nie. 'n Eenvoudiger konsep sou nodig wees, soos die aantal koppe, of die langste slag van die sterte. Om op kwessies van belang te fokus, word 'n spesifieke resultaat aanvaar. Die definisie in hierdie geval is soos volg: 'n ewekansige veranderlike is 'n reële funksie met 'n waarskynlikheidsruimte.
Die reeks S van 'n ewekansige veranderlike word soms die toestandruimte genoem. Dus, as X die betrokke waarde is, dan is N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc, ensovoorts. Die laaste hiervan, wat X tot die naaste heelgetal afrond, word die vloerfunksie genoem.
Verspreidingsfunksies
Sodra die verdelingsfunksie van belang vir 'n ewekansige veranderlike x bepaal is, word die vraag gewoonlik: "Wat is die kanse dat X in een of ander subset van B-waardes val?". Byvoorbeeld, B={onewe getalle}, B={groter as 1}, of B={tussen 2 en 7} om daardie resultate aan te dui wat X het, die waardeewekansige veranderlike, in subset A. Dus, in die voorbeeld hierbo, kan jy die gebeure soos volg beskryf.
{X is 'n onewe getal}, {X is groter as 1}={X> 1}, {X is tussen 2 en 7}={2 <X <7} om by die drie opsies hierbo vir subset B te pas. Baie eienskappe van ewekansige hoeveelhede hou nie verband met 'n spesifieke X nie. Hulle hang eerder af van hoe X sy waardes toeken. Dit lei tot 'n definisie wat so klink: die verspreidingsfunksie van 'n ewekansige veranderlike x is kumulatief en word deur kwantitatiewe waarnemings bepaal.
Ewekansige veranderlikes en verspreidingsfunksies
Dus kan jy die waarskynlikheid bereken dat die verspreidingsfunksie van 'n ewekansige veranderlike x waardes in die interval sal neem deur af te trek. Dink daaraan om eindpunte in of uit te sluit.
Ons sal 'n ewekansige veranderlike diskreet noem as dit 'n eindige of telbaar oneindige toestandruimte het. Dus, X is die aantal koppe op drie onafhanklike flips van 'n bevooroordeelde muntstuk wat opgaan met waarskynlikheid p. Ons moet die kumulatiewe verspreidingsfunksie van 'n diskrete ewekansige veranderlike FX vir X vind. Laat X die aantal pieke in 'n versameling van drie kaarte wees. Dan Y=X3 via FX. FX begin by 0, eindig by 1, en neem nie af namate x-waardes toeneem nie. Die kumulatiewe FX-verspreidingsfunksie van 'n diskrete ewekansige veranderlike X is konstant, behalwe vir spronge. Wanneer spring die FX is deurlopend. Bewys die stelling oor die korrektedie kontinuïteit van die verspreidingsfunksie vanaf die waarskynlikheidseienskap is moontlik deur die definisie te gebruik. Dit klink so: 'n konstante ewekansige veranderlike het 'n kumulatiewe FX wat differensieerbaar is.
Om te wys hoe dit kan gebeur, kan ons 'n voorbeeld gee: 'n teiken met 'n eenheidsradius. Vermoedelik. die pyl is eweredig oor die gespesifiseerde area versprei. Vir sommige λ> 0. Die verspreidingsfunksies van kontinue ewekansige veranderlikes neem dus glad toe. FX het die eienskappe van 'n verspreidingsfunksie.
'n Man wag by die bush alte totdat die bus opdaag. Hy het self besluit dat hy sal weier wanneer die wag 20 minute bereik. Hier is dit nodig om die kumulatiewe verspreidingsfunksie vir T te vind. Die tyd wanneer 'n persoon nog by die busstasie sal wees of nie sal vertrek nie. Ten spyte van die feit dat die kumulatiewe verspreidingsfunksie vir elke ewekansige veranderlike gedefinieer word. Nogtans sal ander eienskappe nogal dikwels gebruik word: die massa vir 'n diskrete veranderlike en die verspreidingsdigtheidsfunksie van 'n ewekansige veranderlike. Gewoonlik word die waarde deur een van hierdie twee waardes uitgevoer.
massafunksies
Hierdie waardes word oorweeg deur die volgende eienskappe, wat 'n algemene (massa) karakter het. Die eerste is gebaseer op die feit dat die waarskynlikhede nie negatief is nie. Die tweede volg uit die waarneming dat die versameling vir alle x=2S, die toestandsruimte vir X, 'n partisie van die waarskynlikheidsvryheid van X vorm. Voorbeeld: gooi 'n bevooroordeelde muntstuk waarvan die uitkomste onafhanklik is. Jy kan aanhou doensekere aksies totdat jy 'n rol koppe kry. Laat X 'n ewekansige veranderlike aandui wat die aantal sterte voor die eerste kop gee. En p dui die waarskynlikheid in enige gegewe aksie aan.
Dus, die massawaarskynlikheidsfunksie het die volgende kenmerkende kenmerke. Omdat die terme 'n numeriese ry vorm, word X 'n meetkundige ewekansige veranderlike genoem. Meetkundige skema c, cr, cr2,.,,, crn het 'n som. En dus het sn 'n limiet as n 1. In hierdie geval is die oneindige som die limiet.
Die massafunksie hierbo vorm 'n meetkundige ry met 'n verhouding. Daarom is natuurlike getalle a en b. Die verskil in die waardes in die verspreidingsfunksie is gelyk aan die waarde van die massafunksie.
Die digtheidswaardes wat oorweeg word, het 'n definisie: X is 'n ewekansige veranderlike waarvan die FX-verspreiding 'n afgeleide het. FX bevredigend Z xFX (x)=fX (t) dt-1 word die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie genoem. En X word 'n kontinue ewekansige veranderlike genoem. In die fundamentele stelling van calculus is die digtheidsfunksie die afgeleide van die verdeling. Jy kan waarskynlikhede bereken deur bepaalde integrale te bereken.
Omdat data van veelvuldige waarnemings ingesamel word, moet meer as een ewekansige veranderlike op 'n slag oorweeg word om die eksperimentele prosedures te modelleer. Daarom beteken die stel van hierdie waardes en hul gesamentlike verspreiding vir die twee veranderlikes X1 en X2 kyk na gebeure. Vir diskrete ewekansige veranderlikes word gesamentlike probabilistiese massafunksies gedefinieer. Vir deurlopendes word fX1, X2 oorweeg, waardie gewrigwaarskynlikheidsdigtheid is bevredig.
Onafhanklike ewekansige veranderlikes
Twee ewekansige veranderlikes X1 en X2 is onafhanklik as enige twee gebeurtenisse wat daarmee geassosieer word, dieselfde is. Met woorde, die waarskynlikheid dat twee gebeurtenisse {X1 2 B1} en {X2 2 B2} op dieselfde tyd plaasvind, y, is gelyk aan die produk van die veranderlikes hierbo, dat elkeen van hulle individueel plaasvind. Vir onafhanklike diskrete ewekansige veranderlikes is daar 'n gesamentlike waarskynlikheidsmassafunksie, wat die produk is van die beperkende ioonvolume. Vir kontinue ewekansige veranderlikes wat onafhanklik is, is die gesamentlike waarskynlikheidsdigtheidfunksie die produk van die marginale digtheidswaardes. Ten slotte beskou ons n onafhanklike waarnemings x1, x2,.,,, xn wat voortspruit uit 'n onbekende digtheid of massafunksie f. Byvoorbeeld, 'n onbekende parameter in funksies vir 'n eksponensiële ewekansige veranderlike wat die wagtyd vir 'n bus beskryf.
Nabootsing van ewekansige veranderlikes
Die hoofdoel van hierdie teoretiese veld is om die gereedskap te verskaf wat nodig is om afleidingsprosedures te ontwikkel wat gebaseer is op goeie statistiese wetenskaplike beginsels. Dus, een baie belangrike gebruiksgeval vir sagteware is die vermoë om pseudo-data te genereer om werklike inligting na te boots. Dit maak dit moontlik om analisemetodes te toets en te verbeter voordat dit in werklike databasisse gebruik moet word. Dit is nodig om die eienskappe van die data deur te verkenmodellering. Vir baie algemeen gebruikte families van ewekansige veranderlikes, verskaf R opdragte om hulle te genereer. Vir ander omstandighede sal metodes nodig wees vir die modellering van 'n reeks onafhanklike ewekansige veranderlikes wat 'n gemeenskaplike verspreiding het.
Diskrete ewekansige veranderlikes en opdragpatroon. Die steekproefopdrag word gebruik om eenvoudige en gestratifiseerde ewekansige steekproewe te skep. As gevolg hiervan, as 'n ry x ingevoer word, kies monster(x, 40) 40 rekords uit x sodat alle keuses van grootte 40 dieselfde waarskynlikheid het. Dit gebruik die verstek R-opdrag vir haal sonder vervanging. Kan ook gebruik word om diskrete ewekansige veranderlikes te modelleer. Om dit te doen, moet jy 'n toestandspasie in die vektor x en die massafunksie f verskaf. 'n Oproep om te vervang=WAAR dui aan dat steekproefneming plaasvind met vervanging. Om dan 'n steekproef van n onafhanklike ewekansige veranderlikes te gee wat 'n gemeenskaplike massafunksie f het, word die steekproef (x, n, vervang=WAAR, waarskynlike=f) gebruik.
Bepaal dat 1 die kleinste waarde is wat verteenwoordig word en 4 die grootste van almal is. As die opdrag prob=f weggelaat word, sal die steekproef eenvormig monster van die waardes in vektor x. Jy kan die simulasie nagaan teen die massafunksie wat die data gegenereer het deur na die dubbelgelyks-teken,==, te kyk. En herbereken die waarnemings wat elke moontlike waarde vir x neem. Jy kan 'n tafel maak. Herhaal dit vir 1000 en vergelyk die simulasie met die ooreenstemmende massafunksie.
Illustrasie van waarskynlikheidstransformasie
Eerssimuleer homogene verspreidingsfunksies van ewekansige veranderlikes u1, u2,.,,, un op die interval [0, 1]. Ongeveer 10% van die getalle moet binne [0, 3, 0, 4] wees. Dit stem ooreen met 10% van simulasies op die interval [0, 28, 0, 38] vir 'n ewekansige veranderlike met die FX-verspreidingsfunksie getoon. Net so moet ongeveer 10% van die ewekansige getalle in die interval [0, 7, 0, 8] wees. Dit stem ooreen met 10% simulasies op die interval [0, 96, 1, 51] van die ewekansige veranderlike met die verspreidingsfunksie FX. Hierdie waardes op die x-as kan verkry word deur die inverse van FX te neem. As X 'n kontinue ewekansige veranderlike is met digtheid fX positief oral in sy domein, dan neem die verspreidingsfunksie streng toe. In hierdie geval het FX 'n omgekeerde FX-1-funksie bekend as die kwantielfunksie. FX (x) u slegs wanneer x FX-1 (u). Die waarskynlikheidstransformasie volg uit die ontleding van die ewekansige veranderlike U=FX (X).
FX het 'n reeks van 0 tot 1. Dit kan nie onder 0 of bo 1 wees nie. Vir waardes van u tussen 0 en 1. As U gesimuleer kan word, moet 'n ewekansige veranderlike met FX-verspreiding wees gesimuleer via 'n kwantielfunksie. Neem die afgeleide om te sien dat die digtheid u binne 1 varieer. Aangesien die ewekansige veranderlike U 'n konstante digtheid het oor die interval van sy moontlike waardes, word dit uniform genoem op die interval [0, 1]. Dit is gemodelleer in R met die runif-opdrag. Die identiteit word 'n probabilistiese transformasie genoem. Jy kan sien hoe dit werk in die veerpyltjiebord voorbeeld. X tussen 0 en 1, funksieverspreiding u=FX (x)=x2, en vandaar die kwantielfunksie x=FX-1 (u). Dit is moontlik om onafhanklike waarnemings van die afstand vanaf die middel van die pylpaneel te modelleer en sodoende eenvormige ewekansige veranderlikes U1, U2, te skep.,, Vn. Die verspreidingsfunksie en die empiriese funksie is gebaseer op 100 simulasies van die verspreiding van 'n veerpyltjiebord. Vir 'n eksponensiële ewekansige veranderlike, vermoedelik u=FX (x)=1 - exp (- x), en dus x=- 1 ln (1 - u). Soms bestaan logika uit ekwivalente stellings. In hierdie geval moet jy die twee dele van die argument aaneenskakel. Die kruising-identiteit is soortgelyk vir al 2 {S i i} S, in plaas van een of ander waarde. Die unie Ci is gelyk aan die staatsruimte S en elke paar is onderling uitsluitend. Aangesien Bi - in drie aksiomas verdeel word. Elke tjek is gebaseer op die ooreenstemmende waarskynlikheid P. Vir enige subset. Gebruik 'n identiteit om seker te maak die antwoord hang nie daarvan af of die interval-eindpunte ingesluit is nie.
Eksponensiële funksie en sy veranderlikes
Vir elke uitkoms in alle gebeurtenisse word die tweede eienskap van die kontinuïteit van waarskynlikhede uiteindelik gebruik, wat as aksiomaties beskou word. Die wet van verspreiding van die funksie van 'n ewekansige veranderlike hier wys dat elkeen sy eie oplossing en antwoord het.
