Waarskynlikheidsteorie is 'n spesiale tak van wiskunde, wat slegs deur studente van hoër onderwysinstellings bestudeer word. Hou jy van berekeninge en formules? Is jy nie bang vir die vooruitsigte van kennismaking met die normaalverspreiding, die entropie van die ensemble, die wiskundige verwagting en die variansie van 'n diskrete ewekansige veranderlike nie? Dan sal hierdie onderwerp vir jou van groot belang wees. Kom ons maak kennis met van die belangrikste basiese konsepte van hierdie afdeling van die wetenskap.
Onthou die basiese beginsels
Selfs as jy die eenvoudigste konsepte van waarskynlikheidsteorie onthou, moenie die eerste paragrawe van die artikel afskeep nie. Die feit is dat sonder 'n duidelike begrip van die basiese beginsels, jy nie in staat sal wees om te werk met die formules wat hieronder bespreek word nie.
So, daar is een of ander toevallige gebeurtenis, een of ander eksperiment. As gevolg van die aksies wat uitgevoer word, kan ons verskeie uitkomste kry - sommige van hulle is meer algemeen, ander minder algemeen. Die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis is die verhouding van die aantal werklik ontvange uitkomste van een tipe tot die totale aantal moontlikes. Slegs deur die klassieke definisie van hierdie konsep te ken, kan jy begin om die wiskundige verwagting en variansie van kontinue te bestudeerewekansige veranderlikes.
Rekenkundige gemiddelde
Selfs op skool, in wiskundelesse, het jy met die rekenkundige gemiddelde begin werk. Hierdie konsep word wyd gebruik in waarskynlikheidsteorie, en daarom kan dit nie geïgnoreer word nie. Die belangrikste ding vir ons op die oomblik is dat ons dit sal teëkom in die formules vir die wiskundige verwagting en variansie van 'n ewekansige veranderlike.
Ons het 'n reeks getalle en wil die rekenkundige gemiddelde vind. Al wat van ons vereis word, is om alles wat beskikbaar is op te som en te deel deur die aantal elemente in die ry. Laat ons getalle van 1 tot 9 hê. Die som van die elemente sal 45 wees, en ons sal hierdie waarde deur 9 deel. Antwoord: - 5.
Dispersion
Wetenskaplik gesproke is variansie die gemiddelde kwadraat van die afwykings van die verkrygde kenmerkwaardes van die rekenkundige gemiddelde. Een word aangedui met 'n Latynse hoofletter D. Wat is nodig om dit te bereken? Vir elke element van die ry, bereken ons die verskil tussen die beskikbare getal en die rekenkundige gemiddelde en kwadraat dit. Daar sal presies soveel waardes wees as wat daar uitkomste kan wees vir die geleentheid wat ons oorweeg. Vervolgens som ons alles wat ontvang is op en deel dit deur die aantal elemente in die ry. As ons vyf moontlike uitkomste het, deel dan deur vyf.
Dispersion het ook eienskappe wat jy moet onthou om dit toe te pas wanneer jy probleme oplos. Byvoorbeeld, as die ewekansige veranderlike met X keer verhoog word, neem die variansie toe met X keer die vierkant (d.i. XX). Dit is nooit minder as nul nie en is nie afhanklik vanskuif waardes met 'n gelyke waarde op of af. Ook, vir onafhanklike proewe, is die variansie van die som gelyk aan die som van die afwykings.
Nou moet ons beslis voorbeelde van die variansie van 'n diskrete ewekansige veranderlike en die wiskundige verwagting oorweeg.
Sê nou ons het 21 eksperimente uitgevoer en 7 verskillende uitkomste gekry. Ons het elkeen van hulle onderskeidelik 1, 2, 2, 3, 4, 4 en 5 keer waargeneem. Wat sal die afwyking wees?
Eers, kom ons bereken die rekenkundige gemiddelde: die som van die elemente is natuurlik 21. Deel dit deur 7, kry 3. Trek nou 3 af van elke getal in die oorspronklike ry, vier elke waarde en tel by die resultate saam. Dit blyk 12. Nou bly dit vir ons om die getal deur die aantal elemente te deel, en, dit wil voorkom, is dit al. Maar daar is 'n vangplek! Kom ons bespreek dit.
Afhanklikheid van die aantal eksperimente
Dit blyk dat wanneer die variansie bereken word, die noemer een van twee getalle kan wees: óf N óf N-1. Hier is N die aantal eksperimente wat uitgevoer is of die aantal elemente in die ry (wat, in werklikheid, dieselfde is). Waarvan hang dit af?
As die aantal toetse in honderde gemeet word, dan moet ons N in die noemer plaas. As in eenhede, dan N-1. Die wetenskaplikes het besluit om die grens redelik simbolies te trek: vandag loop dit langs die getal 30. As ons minder as 30 eksperimente uitgevoer het, sal ons die hoeveelheid deur N-1 deel, en indien meer, dan deur N.
Taak
Kom ons gaan terug na ons voorbeeld van die oplossing van die variansie- en verwagtingsprobleem. Ons'n tussengetal van 12 ontvang, wat deur N of N-1 gedeel moes word. Aangesien ons 21 eksperimente uitgevoer het, wat minder as 30 is, sal ons die tweede opsie kies. Die antwoord is dus: die variansie is 12 / 2=2.
verwagting
Kom ons gaan na die tweede konsep, wat ons in hierdie artikel moet oorweeg. Die wiskundige verwagting is die resultaat van die bytelling van alle moontlike uitkomste vermenigvuldig met die ooreenstemmende waarskynlikhede. Dit is belangrik om te verstaan dat die resulterende waarde, sowel as die resultaat van die berekening van die variansie, slegs een keer vir die hele taak verkry word, maak nie saak hoeveel uitkomste dit oorweeg nie.
Die verwagtingsformule is redelik eenvoudig: ons neem 'n uitkoms, vermenigvuldig dit met sy waarskynlikheid, tel dieselfde by vir die tweede, derde resultaat, ens. Alles wat met hierdie konsep verband hou, is maklik om te bereken. Byvoorbeeld, die som van wiskundige verwagtinge is gelyk aan die wiskundige verwagting van die som. Dieselfde geld vir die werk. Nie elke grootheid in waarskynlikheidsteorie laat toe dat sulke eenvoudige bewerkings uitgevoer word nie. Kom ons neem 'n taak en bereken die waarde van twee konsepte wat ons op een slag bestudeer het. Boonop is ons aandag deur teorie afgelei – dis tyd om te oefen.
Nog 'n voorbeeld
Ons het 50 proewe gedoen en 10 soorte uitkomste gekry - getalle van 0 tot 9 - wat in verskillende persentasies verskyn. Dit is onderskeidelik: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Onthou dat om die waarskynlikhede te kry, jy die persentasiewaardes met 100 moet deel. Dus kry ons 0,02; 0, 1, ens. Kom ons stel die variansie van 'n ewekansige voorwaarde en wiskundige verwagting voorbeeld van die oplossing van die probleem.
Bereken die rekenkundige gemiddelde deur die formule wat ons van laerskool onthou: 50/10=5.
Kom ons vertaal nou die waarskynlikhede in die aantal uitkomste "in stukkies" om dit makliker te maak om te tel. Ons kry 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 en 9. Trek die rekenkundige gemiddelde af van elke waarde wat verkry word, waarna ons elkeen van die resultate wat verkry word, vierkantig maak. Kyk hoe om dit te doen deur die eerste element as 'n voorbeeld te gebruik: 1 - 5=(-4). Verder: (-4)(-4)=16. Vir ander waardes, doen hierdie bewerkings self. As jy alles reg gedoen het, sal jy, nadat jy al die tussenresultate bygevoeg het, 90 kry.
Gaan voort om variansie en gemiddelde te bereken deur 90 deur N te deel. Hoekom kies ons N en nie N-1 nie? Dit is reg, want die aantal eksperimente wat uitgevoer is, oorskry 30. Dus: 90/10=9. Ons het die verspreiding gekry. As jy 'n ander nommer kry, moenie moed verloor nie. Heel waarskynlik het jy 'n banale fout in die berekeninge gemaak. Gaan dubbel na wat jy geskryf het, en alles sal sekerlik in plek val.
Laastens, laat ons die verwagtingsformule onthou. Ons sal nie al die berekeninge gee nie, ons sal slegs die antwoord skryf waarmee u kan kontroleer nadat u al die vereiste prosedures voltooi het. Die verwagting sal gelyk wees aan 5, 48. Ons onthou net hoe om bewerkings uit te voer, deur die voorbeeld van die eerste elemente te gebruik: 00, 02 + 10, 1… ensovoorts. Soos jy kan sien, vermenigvuldig ons eenvoudig die waarde van die uitkoms met sy waarskynlikheid.
Afwyking
Nog 'n konsep wat nou verband hou met variansie en verwagte waarde isstandaard afwyking. Dit word aangedui met óf die Latynse letters sd, óf met die Griekse kleinletter "sigma". Hierdie konsep wys hoe waardes gemiddeld van die sentrale kenmerk afwyk. Om die waarde daarvan te vind, moet jy die vierkantswortel van die variansie bereken.
As jy 'n grafiek van 'n normaalverspreiding bou en die waarde van die standaardafwyking direk daarop wil sien, kan dit in verskeie fases gedoen word. Neem die helfte van die prent links of regs van die modus (sentrale waarde), teken 'n loodreg op die horisontale as sodat die oppervlaktes van die resulterende figure gelyk is. Die waarde van die segment tussen die middel van die verspreiding en die gevolglike projeksie op die horisontale as sal die standaardafwyking wees.
Sagteware
Soos jy kan sien uit die beskrywings van die formules en die voorbeelde wat aangebied word, is die berekening van die variansie en wiskundige verwagting nie die maklikste prosedure vanuit 'n rekenkundige oogpunt nie. Om nie tyd te mors nie, maak dit sin om die program wat in hoër onderwys gebruik word te gebruik - dit word "R" genoem. Dit het funksies wat jou toelaat om waardes vir baie konsepte uit statistiek en waarskynlikheidsteorie te bereken.
Jy definieer byvoorbeeld 'n vektor van waardes. Dit word soos volg gedoen: vektor <-c(1, 5, 2…). Nou, wanneer jy 'n paar waardes vir hierdie vektor moet bereken, skryf jy 'n funksie en gee dit as 'n argument. Om die variansie te vind, sal jy die var moet gebruik. 'n Voorbeeld van haargebruik: var (vektor). Dan druk jy net "enter" en kry die resultaat.
Ten slot
Variansie en wiskundige verwagting is die basiese konsepte van waarskynlikheidsteorie, waarsonder dit moeilik is om enigiets in die toekoms te bereken. In die hoofkursus van lesings by universiteite word hulle reeds in die eerste maande van die studie van die vak oorweeg. Dit is juis as gevolg van die gebrek aan begrip van hierdie eenvoudige konsepte en die onvermoë om dit te bereken dat baie studente dadelik begin agter raak in die program en later swak punte kry aan die einde van die sessie, wat hulle van beurse ontneem.
Oefen ten minste een week vir 'n halfuur per dag en los probleme op soortgelyk aan dié wat in hierdie artikel aangebied word. Dan sal jy op enige waarskynlikheidsteorie-toets met voorbeelde klaarkom sonder vreemde wenke en cheat sheets.
