Een van die figure wat voorkom wanneer meetkundige probleme in die ruimte opgelos word, is 'n keël. Dit, anders as veelvlakke, behoort tot die klas van rotasiefigure. Kom ons kyk in die artikel wat daarmee in meetkunde bedoel word, en verken die kenmerke van verskeie dele van die keël.
kegel in meetkunde
Veronderstel dat daar 'n kromme op die vliegtuig is. Dit kan 'n parabool, 'n sirkel, 'n ellips, ensovoorts wees. Neem 'n punt wat nie aan die gespesifiseerde vlak behoort nie, en verbind al die punte van die kromme daaraan. Die resulterende oppervlak word 'n keël of bloot 'n keël genoem.
As die oorspronklike kromme gesluit is, kan die koniese oppervlak met materie gevul word. Die figuur wat op hierdie manier verkry word, is 'n driedimensionele liggaam. Dit word ook 'n keël genoem. Verskeie papierkeëls word hieronder getoon.
Die koniese oppervlak word in die alledaagse lewe aangetref. Byvoorbeeld, 'n roomyshorinkie of 'n gestreepte verkeerskegel het hierdie vorm, wat ontwerp is om die aandag van bestuurders envoetgangers.
Tipe keëls
Soos jy dalk kan raai, verskil die syfers wat oorweeg word van mekaar deur die tipe kromme waarop hulle gevorm is. Daar is byvoorbeeld 'n ronde keël of 'n elliptiese een. Hierdie kromme word die basis van die figuur genoem. Die vorm van die basis is egter nie die enigste kenmerk wat die klassifikasie van keëls toelaat nie.
Die tweede belangrike eienskap is die posisie van die hoogte relatief tot die basis. Die hoogte van 'n keël is 'n reguitlynsegment wat van die bokant van die figuur na die vlak van die basis verlaag word en loodreg op hierdie vlak is. As die hoogte die basis in die geometriese middelpunt sny (byvoorbeeld in die middel van die sirkel), dan sal die keël reguit wees, as die loodregte segment na enige ander punt van die basis of daarbuite val, dan sal die figuur wees skuins.
Verder in die artikel sal ons slegs 'n ronde reguit keël beskou as 'n helder verteenwoordiger van die oorwoë klas figure.
Meetkundige name van keëlelemente
Daar is hierbo gesê dat die keël 'n basis het. Dit word begrens deur 'n sirkel, wat die gids van die keël genoem word. Die segmente wat die gids verbind met 'n punt wat nie in die vlak van die basis lê nie, word opwekkers genoem. Die stel van alle punte van die kragopwekkers word die koniese of laterale oppervlak van die figuur genoem. Vir 'n ronde regterkegel het alle kragopwekkers dieselfde lengte.
Die punt waar die kragopwekkers mekaar sny, word die bokant van die figuur genoem. Anders as veelvlakke, het 'n keël 'n enkele hoekpunt en nrrand.
'n Reguit lyn wat deur die bokant van die figuur en die middelpunt van die sirkel gaan, word die as genoem. Die as bevat die hoogte van 'n reguit keël, so dit vorm 'n regte hoek met die vlak van die basis. Hierdie inligting is belangrik wanneer die oppervlakte van die aksiale snit van die keël bereken word.
Round reguit keël - rotasie figuur
Die beskou keël is 'n redelik simmetriese figuur, wat verkry kan word as gevolg van die rotasie van die driehoek. Gestel ons het 'n driehoek met 'n regte hoek. Om 'n keël te kry, is dit genoeg om hierdie driehoek om een van die bene te draai soos in die figuur hieronder getoon.
Daar kan gesien word dat die rotasie-as die as van die keël is. Een van die bene sal gelyk wees aan die hoogte van die figuur, en die tweede been sal die radius van die basis word. Die skuinssy van 'n driehoek as gevolg van rotasie sal 'n koniese oppervlak beskryf. Dit sal die generatrix van die keël wees.
Hierdie metode om 'n ronde reguit keël te verkry, is gerieflik om te gebruik om die wiskundige verwantskap tussen die lineêre parameters van die figuur te bestudeer: die hoogte h, die radius van die ronde basis r en die gids g. Die ooreenstemmende formule volg uit die eienskappe van 'n reghoekige driehoek. Dit word hieronder gelys:
g2=h2+ r2.
Aangesien ons een vergelyking en drie veranderlikes het, beteken dit dat jy enige twee hoeveelhede moet ken om die parameters van 'n ronde keël uniek te stel.
Snedes van 'n keël deur 'n vlak wat nie die hoekpunt van die figuur bevat nie
Die vraag oor die bou van dele van 'n figuur is nietriviale. Die feit is dat die vorm van die gedeelte van die keël by die oppervlak afhang van die relatiewe posisie van die figuur en die sekant.
Veronderstel dat ons die keël met 'n vliegtuig sny. Wat sal die resultaat van hierdie meetkundige bewerking wees? Seksievormopsies word in die figuur hieronder getoon.
Die pienk gedeelte is 'n sirkel. Dit word gevorm as gevolg van die kruising van die figuur met 'n vlak wat parallel aan die basis van die keël is. Dit is snitte loodreg op die as van die figuur. Die figuur wat bo die snyvlak gevorm word, is 'n keël soortgelyk aan die oorspronklike een, maar met 'n kleiner sirkel aan die basis.
Die groen gedeelte is 'n ellips. Dit word verkry as die snyvlak nie parallel aan die basis is nie, maar dit slegs die laterale oppervlak van die keël sny. 'n Figuur wat bo die vlak afgesny is, word 'n elliptiese skuins keël genoem.
Die blou en oranje afdelings is onderskeidelik parabolies en hiperbolies. Soos jy uit die figuur kan sien, word hulle verkry as die snyvlak gelyktydig die syoppervlak en die basis van die figuur sny.
Om die oppervlaktes van die gedeeltes van die keël wat oorweeg is, te bepaal, is dit nodig om die formules vir die ooreenstemmende figuur op die vlak te gebruik. Byvoorbeeld, vir 'n sirkel is dit die getal Pi vermenigvuldig met die kwadraat van die radius, en vir 'n ellips is dit die produk van Pi en die lengte van die mineur- en groot halfasse:
sirkel: S=pir2;
ellips: S=piab.
Seksies wat die bokant van die keël bevat
Oorweeg nou die opsies vir afdelings wat ontstaan as die snyvlak isgaan deur die bokant van die keël. Drie gevalle is moontlik:
- Die afdeling is 'n enkele punt. Byvoorbeeld, 'n vlak wat deur die hoekpunt en parallel met die basis gaan, gee net so 'n snit.
- Die gedeelte is 'n reguit lyn. Hierdie situasie vind plaas wanneer die vlak raaklyn aan 'n koniese oppervlak. Die reguit lyn van die snit sal in hierdie geval die generatrix van die keël wees.
- Aksiale seksie. Dit word gevorm wanneer die vliegtuig nie net die bokant van die figuur bevat nie, maar ook sy hele as. In hierdie geval sal die vlak loodreg op die ronde basis wees en sal die keël in twee gelyke dele verdeel.
Natuurlik is die oppervlaktes van die eerste twee tipes afdelings gelyk aan nul. Wat die deursnee-area van die keël vir die 3de tipe betref, word hierdie kwessie in meer besonderhede in die volgende paragraaf bespreek.
Axiale seksie
Daar is hierbo opgemerk dat die aksiale snit van 'n keël die figuur is wat gevorm word wanneer die keël deur 'n vlak wat deur sy as gaan, gesny word. Dit is maklik om te raai dat hierdie afdeling die figuur sal verteenwoordig wat in die figuur hieronder getoon word.
Dit is 'n gelykbenige driehoek. Die hoekpunt van die aksiale snit van die keël is die hoekpunt van hierdie driehoek, gevorm deur die kruising van identiese sye. Laasgenoemde is gelyk aan die lengte van die generatrix van die keël. Die basis van die driehoek is die deursnee van die basis van die keël.
Om die oppervlakte van die aksiale snit van 'n keël te bereken, word verminder tot die vind van die oppervlakte van die resulterende driehoek. As die radius van die basis r en die hoogte h van die keël aanvanklik bekend is, sal die area S van die gedeelte wat oorweeg word:
S=hr.
Ditdie uitdrukking is 'n gevolg van die toepassing van die standaardformule vir die oppervlakte van 'n driehoek (die helfte van die produk van die hoogte maal die basis).
Let daarop dat as die generatrix van 'n keël gelyk is aan die deursnee van sy ronde basis, dan is die aksiale snit van die keël 'n gelyksydige driehoek.
'n Driehoekige snit word gevorm wanneer die snyvlak loodreg op die basis van die keël is en deur sy as gaan. Enige ander vlak parallel met die genoemde een sal 'n hiperbool in snit gee. As die vlak egter die hoekpunt van die keël bevat en sy basis sny nie deur die deursnee nie, sal die resulterende snit ook 'n gelykbenige driehoek wees.
Die probleem om die lineêre parameters van die keël te bepaal
Kom ons wys hoe om die formule wat geskryf is vir die area van die aksiale snit te gebruik om 'n meetkundige probleem op te los.
Dit is bekend dat die area van die aksiale snit van die keël 100 cm is2. Die resulterende driehoek is gelyksydig. Wat is die hoogte van die keël en die radius van sy basis?
Aangesien die driehoek gelyksydig is, is sy hoogte h soos volg verwant aan die lengte van sy a:
h=√3/2a.
Gegee dat die sy van die driehoek twee keer die radius van die basis van die keël is, en deur hierdie uitdrukking in die formule vir die deursnee-oppervlakte te vervang, kry ons:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Dan is die hoogte van die keël:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Dit bly om die waarde van die area te vervang met die toestand van die probleemen kry die antwoord:
r=√(100/√3) ≈ 7.60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
In watter gebiede is dit belangrik om die parameters van die oorweegde afdelings te ken?
Die studie van verskeie tipes keëlsnitte is nie net van teoretiese belang nie, maar het ook praktiese toepassings.
Eers moet gelet word op die area van aerodinamika, waar dit met behulp van keëlsnitte moontlik is om ideale gladde vorms van soliede liggame te skep.
Tweedens, keëlsnitte is trajekte waarlangs ruimtevoorwerpe in gravitasievelde beweeg. Watter spesifieke tipe snit verteenwoordig die trajek van die beweging van die kosmiese liggame van die sisteem, word bepaal deur die verhouding van hul massas, absolute snelhede en afstande tussen hulle.
