Meetkunde is 'n tak van wiskunde wat strukture in die ruimte en die verhouding tussen hulle bestudeer. Op sy beurt bestaan dit ook uit afdelings, en een daarvan is stereometrie. Dit maak voorsiening vir die studie van die eienskappe van volumetriese figure wat in die ruimte geleë is: 'n kubus, 'n piramide, 'n bal, 'n keël, 'n silinder, ens.
'n Kegel is 'n liggaam in die Euklidiese ruimte wat 'n koniese oppervlak en 'n vlak begrens waarop die punte van sy kragopwekkers lê. Die vorming daarvan vind plaas in die proses van rotasie van 'n reghoekige driehoek om enige van sy bene, daarom behoort dit tot die omwentelingsliggame.
kegelkomponente
Die volgende tipes keëls word onderskei: skuins (of skuins) en reguit. Skuins is die een wie se as die middelpunt van sy basis sny, nie teen 'n regte hoek nie. Om hierdie rede val die hoogte in so 'n keël nie saam met die as nie, aangesien dit 'n segment is wat van die bokant van die liggaam na sy vlak laat sak word.basis by 90°.
Daardie keël, waarvan die as loodreg op sy basis is, word 'n reguit keël genoem. Die as en hoogte in so 'n geometriese liggaam val saam as gevolg van die feit dat die hoekpunt daarin geleë is bo die middel van die basisdeursnee.
Die keël bestaan uit die volgende elemente:
- Die sirkel wat sy basis is.
- Syte.
- 'n Punt wat nie in die vlak van die basis lê nie, genoem die bokant van die keël.
- Segmente wat die punte van die sirkel van die basis van die meetkundige liggaam en sy bokant verbind.
Al hierdie segmente is generatrices van die keël. Hulle is skuins na die basis van die geometriese liggaam, en in die geval van 'n regterkegel is hul projeksies gelyk, aangesien die hoekpunt ewe ver van die punte van die basissirkel is. Ons kan dus tot die gevolgtrekking kom dat in 'n gereelde (reguit) keël, die opwekkers gelyk is, dit wil sê, hulle het dieselfde lengte en vorm dieselfde hoeke met die as (of hoogte) en basis.
Aangesien in 'n skuins (of skuins) omwentelingsliggaam die hoekpunt verplaas word relatief tot die middel van die basisvlak, het die opwekkers in so 'n liggaam verskillende lengtes en projeksies, aangesien elkeen van hulle op 'n ander afstand is vanaf enige twee punte van die basissirkel. Daarbenewens sal die hoeke tussen hulle en die hoogte van die keël ook verskil.
Die lengte van die kragopwekkers in 'n regterkegel
Soos vroeër geskryf, is die hoogte in 'n reguit geometriese omwentelingsliggaam loodreg op die vlak van die basis. Dus, die generatrix, hoogte en radius van die basis skep 'n reghoekige driehoek in die keël.
Dit wil sê, deur die radius van die basis en die hoogte te ken, deur die formule van die Pythagoras-stelling te gebruik, kan jy die lengte van die generatrix bereken, wat gelyk sal wees aan die som van die vierkante van die basisradius en hoogte:
l2 =r2+ h2 of l=√r 2 + h2
waar l 'n generatrix is;
r – radius;
h – hoogte.
Generatief in 'n skuins keël
Gegrond op die feit dat in 'n skuins of skuins keël die kragopwekkers nie ewe lank is nie, sal dit nie moontlik wees om hulle sonder bykomende konstruksies en berekeninge te bereken nie.
In die eerste plek moet jy die hoogte, die lengte van die as en die radius van die basis ken.
Om hierdie data te hê, kan jy die deel van die radius wat tussen die as en die hoogte lê, bereken deur die formule van die Pythagoras-stelling te gebruik:
r1=√k2 - h2
waar r1 die deel van die radius tussen die as en die hoogte is;
k – aslengte;
h – hoogte.
As gevolg van die byvoeging van die radius (r) en sy deel wat tussen die as en die hoogte lê (r1), kan jy die volle kant van die regterkant uitvind driehoek gevorm deur die generatrix van die keël, sy hoogte en deursnee deel:
R=r + r1
waar R die been van die driehoek is wat gevorm word deur die hoogte, generatrix en deel van die deursnee van die basis;
r – basis radius;
r1 – deel van die radius tussen die as en die hoogte.
Deur dieselfde formule van die Pythagoras-stelling te gebruik, kan jy die lengte van die generatrix van die keël vind:
l=√h2+ R2
of, sonder om R afsonderlik te bereken, kombineer die twee formules in een:
l=√h2 + (r + r1)2.
Ondanks of dit 'n reguit of skuins keël is en watter soort invoerdata, kom alle metodes om die lengte van die generatrix te vind altyd neer op een resultaat - die gebruik van die Pythagoras-stelling.
kegelgedeelte
Aksiale snit van 'n keël is 'n vlak wat langs sy as of hoogte beweeg. In 'n regte keël is so 'n gedeelte 'n gelykbenige driehoek, waarin die hoogte van die driehoek die hoogte van die liggaam is, sy sye die kragopwekkers en die basis die deursnee van die basis is. In 'n gelyksydige geometriese liggaam is die aksiale snit 'n gelyksydige driehoek, aangesien in hierdie keël die deursnee van die basis en die opwekkers gelyk is.
Die vlak van die aksiale snit in 'n reguit keël is die vlak van sy simmetrie. Die rede hiervoor is dat sy bokant bo die middel van sy basis is, dit wil sê die vlak van die aksiale snit verdeel die keël in twee identiese dele.
Aangesien die hoogte en as nie ooreenstem in 'n skuins vaste stof nie, mag die vlak van die aksiale seksie nie die hoogte insluit nie. As dit moontlik is om 'n stel aksiale snitte in so 'n keël te konstrueer, aangesien slegs een voorwaarde hiervoor nagekom moet word - dit moet slegs deur die as gaan, dan slegs een aksiale gedeelte van die vlak, wat sal behoort tot die hoogte van hierdie keël, kan geteken word, omdat die aantal toestande toeneem, en, soos bekend, kan twee lyne (saam) behoort aannet een vliegtuig.
Seksiegebied
Die aksiale snit van die keël wat vroeër genoem is, is 'n driehoek. Op grond hiervan kan die oppervlakte daarvan bereken word deur die formule vir die oppervlakte van 'n driehoek te gebruik:
S=1/2dh of S=1/22rh
waar S die deursnee-area is;
d – basisdeursnee;
r – radius;
h – hoogte.
In 'n skuins, of skuins keël, is die snit langs die as ook 'n driehoek, dus word die deursnee-area daarin op soortgelyke wyse bereken.
Volume
Aangesien 'n keël 'n driedimensionele figuur in driedimensionele ruimte is, kan ons die volume daarvan bereken. Die volume van 'n keël is 'n getal wat hierdie liggaam in 'n volume-eenheid kenmerk, dit wil sê in m3. Die berekening hang nie daarvan af of dit reguit of skuins (skuins) is nie, aangesien die formules vir hierdie twee tipes liggame nie verskil nie.
Soos vroeër gesê, vind die vorming van 'n regte keël plaas as gevolg van die rotasie van 'n reghoekige driehoek langs een van sy bene. 'n Skuins of skuins keël word anders gevorm, aangesien sy hoogte weggeskuif word van die middel van die basisvlak van die liggaam. Sulke verskille in struktuur beïnvloed egter nie die metode om die volume daarvan te bereken nie.
Volumeberekening
Die formule vir die volume van enige keël lyk soos volg:
V=1/3πhr2
waar V die volume van die keël is;
h – hoogte;
r – radius;
π - konstante gelyk aan 3, 14.
Om die volume van 'n keël te kan bereken, moet jy data hê oor die hoogte en radius van die basis van die liggaam.
Om die hoogte van 'n liggaam te bereken, moet jy die radius van die basis en die lengte van sy generatrix ken. Aangesien die radius, hoogte en generatriks in 'n reghoekige driehoek gekombineer word, kan die hoogte bereken word deur die formule van die Pythagoras-stelling te gebruik (a2+ b2=c 2 of in ons geval h2+ r2=l2 , waar l - generatrix). In hierdie geval sal die hoogte bereken word deur die vierkantswortel van die verskil tussen die vierkante van die skuinssy en die ander been te onttrek:
a=√c2- b2
Dit wil sê, die hoogte van die keël sal gelyk wees aan die waarde wat verkry word nadat die vierkantswortel uit die verskil tussen die vierkant van die lengte van die generatrix en die vierkant van die radius van die basis onttrek is:
h=√l2 - r2
Om die hoogte te bereken deur hierdie metode te gebruik en die radius van sy basis te ken, kan jy die volume van die keël bereken. In hierdie geval speel die generatrix 'n belangrike rol, aangesien dit as 'n hulpelement in die berekeninge dien.
Net so, as jy die hoogte van die liggaam en die lengte van sy generatrix ken, kan jy die radius van sy basis vind deur die vierkantswortel van die verskil tussen die vierkant van die generatrix en die vierkant van die hoogte te onttrek:
r=√l2 - h2
Bereken dan die volume van die keël deur dieselfde formule as hierbo te gebruik.
Gehelende keëlvolume
Aangesien die formule vir die volume van 'n keël dieselfde is vir alle tipes 'n omwentelingsliggaam, is die verskil in sy berekening die soektog na hoogte.
Om die hoogte van 'n skuins keël uit te vind, moet die invoerdata die lengte van die generatrix, die radius van die basis en die afstand tussen die middelpunt insluitbasis en die kruising van die hoogte van die liggaam met die vlak van sy basis. As jy dit weet, kan jy maklik daardie deel van die basisdeursnee bereken, wat die basis van 'n reghoekige driehoek sal wees (gevorm deur die hoogte, die generatrix en die vlak van die basis). Bereken dan, weer deur die Pythagoras-stelling, die hoogte van die keël, en dan die volume daarvan.
