Geskrewe vierhoek in 'n sirkel. Vierhoek ABCD is in 'n sirkel ingeskryf

2024 Outeur: Angel Austin | [email protected]. Laas verander: 2024-01-02 17:39

Met die verdeling van wiskunde in algebra en meetkunde, word die opvoedkundige materiaal moeiliker. Nuwe figure en hul spesiale gevalle verskyn. Om die materiaal goed te verstaan, is dit nodig om die konsepte, eienskappe van voorwerpe en verwante stellings te bestudeer.

Algemene konsepte

'n Vierhoek beteken 'n meetkundige figuur. Dit bestaan uit 4 punte. Boonop is 3 van hulle nie op dieselfde reguit lyn geleë nie. Daar is segmente wat die gespesifiseerde punte in serie verbind.

Alle vierhoeke wat in die skoolmeetkundekursus bestudeer is, word in die volgende diagram getoon. Gevolgtrekking: enige voorwerp van die voorgestelde figuur het die eienskappe van die vorige figuur.

'n Vierhoek kan van die volgende tipes wees:

Parallelogram. Die parallelisme van sy teenoorstaande sye word deur die ooreenstemmende stellings bewys.
Trapeze. 'n Vierhoek met parallelle basisse. Die ander twee partye is nie.
Reghoek. 'n Figuur wat al 4 hoeke het=90º.
Rombus. 'n Figuur met alle sye gelyk.
Vierkantig. Kombineer die eienskappe van die laaste twee figure. Dit het alle sye gelyk en alle hoeke is reg.

Die hoofdefinisie van hierdie onderwerp is 'n vierhoek wat in 'n sirkel ingeskryf is. Dit bestaan uit die volgende. Dit is 'n figuur waarom 'n sirkel beskryf word. Dit moet deur alle hoekpunte gaan. Die binnehoeke van 'n vierhoek wat in 'n sirkel ingeskryf is, tel 360º op.

Nie elke vierhoek kan ingeskryf word nie. Dit is te wyte aan die feit dat die loodregte middellyne van die 4 sye nie op een punt mag sny nie. Dit sal dit onmoontlik maak om die middelpunt van 'n sirkel te vind wat 'n 4-gon omskryf.

Spesiale gevalle

Daar is uitsonderings op elke reël. So, in hierdie onderwerp is daar ook spesiale gevalle:

'n Parallellogram, as sodanig, kan nie in 'n sirkel ingeskryf word nie. Net sy spesiale geval. Dit is 'n reghoek.
As alle hoekpunte van 'n ruit op die omskrywende lyn is, dan is dit 'n vierkant.
Alle hoekpunte van die trapesium is op die grens van die sirkel. In hierdie geval praat hulle van 'n gelykbenige figuur.

Eienskappe van 'n ingeskrewe vierhoek in 'n sirkel

Voordat jy eenvoudige en komplekse probleme oor 'n gegewe onderwerp oplos, moet jy jou kennis verifieer. Sonder om die opvoedkundige materiaal te bestudeer, is dit onmoontlik om 'n enkele voorbeeld op te los.

Stelling 1

Die som van die teenoorstaande hoeke van 'n vierhoek wat in 'n sirkel ingeskryf is, is 180º.

eienskappe van 'n ingeskrewe vierhoek in 'n sirkel

Bewys

Gegee: vierhoek ABCD is in 'n sirkel ingeskryf. Die middelpunt daarvan is punt O. Ons moet bewys dat _<A + _<C=180º en _< B + _<D=180º.

Moet die voorgestelde syfers oorweeg.

_{<A is ingeskryf in 'n sirkel gesentreer by punt O. Dit word gemeet deur ½ BCD (halwe boog).}

_{<C is in dieselfde sirkel ingeskryf. Dit word gemeet deur ½ BAD (halfboog).}
BAD en BCD vorm 'n hele sirkel, d.w.s. hul grootte is 360º.

_<A + _{<C is gelyk aan die helfte van die som van die halwe boë wat voorgestel word.}

Vandaar _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

hoeke van 'n vierhoek wat in 'n sirkel ingeskryf is

Op 'n soortgelyke manier, die bewys vir _<B en _{<D. Daar is egter 'n tweede oplossing vir die probleem.}

Dit is bekend dat die som van die binnehoeke van 'n vierhoek 360º is.

Omdat _<A + _<C=180º. Gevolglik _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Stelling 2

(Dit word dikwels inverse genoem) As in 'n vierhoek _<A + _<C=180º en _{<B +} <_{D=180º (as hulle teenoorstaande is), dan kan 'n sirkel om so 'n figuur beskryf word.}

Bewys

Die som van teenoorstaande hoeke van vierhoek ABCD gelyk aan 180º word gegee. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Ons moet bewys dat 'n sirkel om ABCD omskryf kan word.}

Uit die meetkundekursus is dit bekend dat 'n sirkel deur 3 punte van 'n vierhoek getrek kan word. Byvoorbeeld, jy kan punte A, B, C gebruik. Waar sal punt D geleë wees? Daar is 3 raaiskote:

Sy beland binne die sirkel. In hierdie geval raak D nie aan die lyn nie.
Buite die sirkel. Sy stap ver verby die omlyn.
Dit blyk op 'n sirkel.

Daar moet aanvaar word dat D binne die sirkel is. Die plek van die aangeduide hoekpunt word ingeneem deur D´. Dit blyk vierhoek ABCD´.

Die resultaat is:_<B + _<D´=2d.

As ons voortgaan AD´ tot by die kruising met die bestaande sirkel gesentreer by punt E en E en C verbind, kry ons 'n ingeskrewe vierhoek ABCE. Uit die eerste stelling volg die gelykheid:

Volgens die wette van meetkunde is die uitdrukking nie geldig nie, want _<D´ is die buitenste hoek van driehoek CD´E. Gevolglik moet dit meer as _{<E wees. Hieruit kan ons aflei dat D óf op die sirkel óf buite dit moet wees.}

Net so kan die derde aanname verkeerd bewys word wanneer D´´ verby die grens van die beskryfde figuur gaan.

Uit twee hipoteses volg die enigste korrekte een. Toppunt D is op die sirkellyn geleë. Met ander woorde, D val saam met E. Dit volg dat alle punte van die vierhoek op die beskryfde lyn geleë is.

Van hierdietwee stellings, die gevolge volg:

Enige reghoek kan in 'n sirkel ingeskryf word. Daar is nog 'n gevolg. 'n Sirkel kan om enige reghoek omskryf word

Trapesium met gelyke heupe kan in 'n sirkel ingeskryf word. Met ander woorde, dit klink so: 'n sirkel kan beskryf word om 'n trapesium met gelyke rande

Verskeie voorbeelde

Probleem 1. Vierhoek ABCD is in 'n sirkel ingeskryf. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Moet _{<ABD vind. Antwoord moet in grade geskryf word.}

Besluit. Aanvanklik lyk dit dalk moeilik om die antwoord te vind.

1. Jy moet die eienskappe van hierdie onderwerp onthou. Naamlik: die som van teenoorgestelde hoeke=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

In meetkunde is dit beter om by die beginsel te hou: vind alles wat jy kan. Later nuttig.

2. Volgende stap: gebruik die driehoeksomstelling.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 35º – 75º=70º}

_<ABD en _{<ACD is ingeskryf. Volgens voorwaarde maak hulle staat op een boog. Gevolglik het hulle gelyke waardes:}

_<ABD=_<ACD=70º

Antwoord: _<ABD=70º.

Probleem 2. BCDE is 'n ingeskrewe vierhoek in 'n sirkel. _<B=69º, _<C=84º. Die middel van die sirkel is punt E. Vind - _<E.

Besluit.

Need to find _{<E deur Stelling 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Antwoord: _{< E=96º.}

Probleem 3. Gegee 'n vierhoek wat in 'n sirkel ingeskryf is. Die data word in die figuur getoon. Dit is nodig om onbekende waardes x, y, z te vind.

Oplossing:

z=180º – 93º=87º (volgens Stelling 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (volgens Stelling 1)

Antwoord: z=87º, x=82º, y=98º.

Probleem 4. Daar is 'n vierhoek wat in 'n sirkel ingeskryf is. Die waardes word in die figuur getoon. Vind x, y.

Oplossing:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Antwoord: x=100º, y=109º.

Probleme vir onafhanklike oplossing

Voorbeeld 1. Gegee 'n sirkel. Die middelpunt daarvan is punt O. AC en BD is deursnee. _<ACB=38º. Moet _{<AOD vind. Antwoord moet in grade gegee word.}

Voorbeeld 2. Gegee 'n vierhoek ABCD en 'n sirkel rondom dit omskryf. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Soek _{<CAD. Skryf jou antwoord in grade.}

Voorbeeld 3. Gegee 'n sirkel en 'n ingeskrewe vierhoek ABCD. Sy twee hoeke is 82º en58º. Jy moet die grootste van die oorblywende hoeke vind en die antwoord in grade neerskryf.

Voorbeeld 4. Vierhoek ABCD word gegee. Hoeke A, B, C word gegee in die verhouding 1:2:3. Dit is nodig om die hoek D te vind as die gespesifiseerde vierhoek in 'n sirkel ingeskryf kan word. Antwoord moet in grade gegee word.

Voorbeeld 5. Vierhoek ABCD word gegee. Sy sye vorm boë van die omskrewe sirkel. Graadwaardes AB, BC, CD en AD, onderskeidelik, is: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Jy moet _{<Van die gegewe vierhoek vind en die antwoord in grade neerskryf.}