'n Belangrike konsep in wiskunde is 'n funksie. Met sy hulp kan jy baie prosesse wat in die natuur voorkom visualiseer, die verhouding tussen sekere hoeveelhede weerspieël deur formules, tabelle en beelde op 'n grafiek te gebruik. 'n Voorbeeld is die afhanklikheid van die druk van 'n vloeistoflaag op 'n liggaam op die diepte van onderdompeling, versnelling - op die werking van 'n sekere krag op 'n voorwerp, temperatuurverhoging - van die oorgedrade energie, en baie ander prosesse. Die studie van 'n funksie behels die konstruksie van 'n grafiek, die verheldering van sy eienskappe, die omvang en waardes, intervalle van toename en afname. 'n Belangrike punt in hierdie proses is om die ekstremumpunte te vind. Oor hoe om dit reg te doen, en die gesprek sal voortgaan.
Oor die konsep self op 'n spesifieke voorbeeld
In geneeskunde kan die teken van 'n funksiegrafiek vertel van die vordering van 'n siekte in 'n pasiënt se liggaam, wat sy toestand visueel weerspieël. Kom ons neem aan dat die tyd in dae langs die OX-as geplot word, en die temperatuur van die menslike liggaam langs die OY-as. Die figuur wys duidelik hoe hierdie aanwyser skerp styg, endan val dit. Dit is ook maklik om enkelvoudige punte op te let wat die oomblikke weerspieël wanneer die funksie, wat voorheen toegeneem het, begin afneem, en omgekeerd. Dit is die uiterste punte, dit wil sê die kritieke waardes (maksimum en minimum) in hierdie geval van die pasiënt se temperatuur, waarna veranderinge in sy toestand plaasvind.
Kantelhoek
Dit is maklik om uit die figuur te bepaal hoe die afgeleide van 'n funksie verander. As die reguit lyne van die grafiek met verloop van tyd styg, dan is dit positief. En hoe steiler hulle is, hoe groter is die waarde van die afgeleide, soos die hellingshoek toeneem. Gedurende periodes van afname neem hierdie waarde negatiewe waardes aan, draai na nul by ekstremumpunte, en die grafiek van die afgeleide in laasgenoemde geval word parallel aan die OX-as getrek.
Enige ander proses moet op dieselfde manier hanteer word. Maar die beste ding van hierdie konsep kan die beweging van verskeie liggame vertel, duidelik getoon op die grafieke.
Beweging
Gestel 'n voorwerp beweeg in 'n reguit lyn en kry eweredig spoed. Gedurende hierdie tydperk verteenwoordig die verandering in die koördinate van die liggaam grafies 'n sekere kromme, wat 'n wiskundige 'n tak van 'n parabool sou noem. Terselfdertyd neem die funksie voortdurend toe, aangesien die koördinaataanwysers vinniger en vinniger met elke sekonde verander. Die spoedgrafiek toon die gedrag van die afgeleide, waarvan die waarde ook toeneem. Dit beteken dat die beweging geen kritieke punte het nie.
Dit sou onbepaald voortgegaan het. Maar as die liggaam skielik besluit om stadiger te ry, stop en begin in 'n ander beweegrigting? In hierdie geval sal die koördinaataanwysers begin afneem. En die funksie sal die kritieke waarde deurlaat en van stygend na afneem verander.
In hierdie voorbeeld kan jy weer verstaan dat die ekstremumpunte op die funksiegrafiek verskyn op die oomblikke wanneer dit ophou om eentonig te wees.
Fisiese betekenis van die afgeleide
Vroeër beskryf het duidelik getoon dat die afgeleide in wese die tempo van verandering van die funksie is. Hierdie verfyning bevat die fisiese betekenis daarvan. Uiterste punte is kritieke areas op die grafiek. Dit is moontlik om hulle uit te vind en op te spoor deur die waarde van die afgeleide te bereken, wat gelyk aan nul blyk te wees.
Daar is nog 'n teken, wat 'n voldoende toestand is vir 'n ekstremum. Die afgeleide in sulke verbuigingsplekke verander sy teken: van "+" na "-" in die gebied van maksimum en van "-" na "+" in die gebied van minimum.
Beweging onder die invloed van swaartekrag
Kom ons stel ons 'n ander situasie voor. Die kinders, wat bal gespeel het, het dit so gegooi dat dit skuins na die horison begin beweeg het. Op die aanvanklike oomblik was die spoed van hierdie voorwerp die grootste, maar onder die invloed van swaartekrag het dit begin afneem, en met elke sekonde met dieselfde waarde, gelykstaande aan ongeveer 9,8 m/s2. Dit is die waarde van die versnelling wat plaasvind onder die invloed van die aarde se swaartekrag tydens vrye val. Op die maan sou dit ongeveer ses keer kleiner wees.
Die grafiek wat die beweging van die liggaam beskryf, is 'n parabool met takke,afwaarts. Hoe om ekstremumpunte te vind? In hierdie geval is dit die hoekpunt van die funksie, waar die spoed van die liggaam (bal) 'n nulwaarde aanneem. Die afgeleide van die funksie word nul. In hierdie geval verander die rigting, en dus die waarde van die spoed, na die teenoorgestelde. Die liggaam vlieg met elke sekonde vinniger en vinniger af, en versnel met dieselfde hoeveelheid - 9,8 m/s2.
Tweede afgeleide
In die vorige geval word die grafiek van die snelheidsmodulus as 'n reguit lyn geteken. Hierdie lyn word eers afwaarts gerig, aangesien die waarde van hierdie hoeveelheid voortdurend afneem. Nadat u op een van die tydstip nul bereik het, begin die aanwysers van hierdie waarde toeneem, en die rigting van die grafiese voorstelling van die spoedmodule verander dramaties. Die lyn wys nou op.
Velocity, synde die tydafgeleide van die koördinaat, het ook 'n kritieke punt. In hierdie streek begin die funksie, wat aanvanklik afneem, toeneem. Dit is die plek van die ekstremumpunt van die afgeleide van die funksie. In hierdie geval word die helling van die raaklyn nul. En versnelling, synde die tweede afgeleide van die koördinaat met betrekking tot tyd, verander teken van "-" na "+". En die beweging van eenvormig stadig word eenvormig versnel.
versnellingsgrafiek
Oorweeg nou vier prente. Elkeen van hulle vertoon 'n grafiek van die verandering oor tyd van so 'n fisiese hoeveelheid soos versnelling. In die geval van "A" bly die waarde daarvan positief en konstant. Dit beteken dat die spoed van die liggaam, soos sy koördinaat, voortdurend toeneem. As 'nstel jou voor dat die voorwerp vir 'n oneindige lang tyd op hierdie manier sal beweeg, sal die funksie wat die afhanklikheid van die koördinaat op tyd weerspieël voortdurend toeneem. Dit volg hieruit dat dit geen kritieke streke het nie. Daar is ook geen ekstremumpunte op die grafiek van die afgeleide nie, dit wil sê lineêr veranderende spoed.
Dieselfde geld vir geval "B" met 'n positiewe en voortdurend toenemende versnelling. Dit is waar, die plotte vir koördinate en spoed sal hier ietwat meer ingewikkeld wees.
Wanneer versnelling na nul neig
As jy na die prentjie "B" kyk, kan jy 'n heeltemal ander prentjie sien wat die beweging van die liggaam kenmerk. Sy spoed sal grafies uitgebeeld word as 'n parabool met takke wat na onder wys. As ons voortgaan met die lyn wat die verandering in versnelling beskryf totdat dit met die OX-as sny, en verder, dan kan ons ons voorstel dat tot by hierdie kritieke waarde, waar die versnelling gelyk aan nul blyk te wees, die spoed van die voorwerp sal toeneem al hoe stadiger. Die uiterste punt van die afgeleide van die koördinaatfunksie sal net aan die bokant van die parabool wees, waarna die liggaam die aard van die beweging radikaal sal verander en in die ander rigting begin beweeg.
In laasgenoemde geval, "G", kan die aard van die beweging nie presies bepaal word nie. Hier weet ons net dat daar geen versnelling is vir 'n sekere tydperk wat oorweeg word nie. Dit beteken dat die voorwerp in plek kan bly of die beweging vind plaas teen 'n konstante spoed.
Koördineeropteltaak
Kom ons gaan aan na take wat dikwels in die studie van algebra op skool gevind word en aangebied word virvoorbereiding vir die eksamen. Die figuur hieronder toon die grafiek van die funksie. Dit word vereis om die som van ekstremumpunte te bereken.
Kom ons doen dit vir die y-as deur die koördinate van kritieke streke te bepaal waar 'n verandering in die kenmerke van die funksie waargeneem word. Eenvoudig gestel, ons vind die waardes langs die x-as vir die buigpunte, en gaan dan voort om die resulterende terme by te voeg. Volgens die grafiek is dit duidelik dat hulle die volgende waardes neem: -8; -7; -5; -3; -2; een; 3. Dit tel -21 op, wat die antwoord is.
Optimale oplossing
Dit is nie nodig om te verduidelik hoe belangrik die keuse van die optimale oplossing in die uitvoering van praktiese take kan wees nie. Daar is immers baie maniere om die doel te bereik, en die beste uitweg is as 'n reël net een. Dit is uiters noodsaaklik, byvoorbeeld wanneer skepe, ruimtetuie en vliegtuie, argitektoniese strukture ontwerp word om die optimale vorm van hierdie mensgemaakte voorwerpe te vind.
Die spoed van voertuie hang grootliks af van die bekwame minimalisering van die weerstand wat hulle ervaar wanneer hulle deur water en lug beweeg, van oorladings wat ontstaan onder die invloed van gravitasiekragte en baie ander aanwysers. 'n Skip op see benodig eienskappe soos stabiliteit tydens 'n storm; vir 'n rivierskip is 'n minimum diepgang belangrik. Wanneer die optimale ontwerp bereken word, kan die ekstremumpunte op die grafiek visueel 'n idee gee van die beste oplossing vir 'n komplekse probleem. Take van hierdie soort is dikwelsword opgelos in die ekonomie, in ekonomiese gebiede, in baie ander lewensituasies.
Uit antieke geskiedenis
Ekstreme probleme het selfs die antieke wyses beset. Griekse wetenskaplikes het die raaisel van gebiede en volumes suksesvol deur wiskundige berekeninge ontrafel. Hulle was die eerstes om te verstaan dat op 'n vlak van verskeie figure met dieselfde omtrek die sirkel altyd die grootste oppervlakte het. Net so is 'n bal toegerus met die maksimum volume tussen ander voorwerpe in die ruimte met dieselfde oppervlakte. Sulke bekende persoonlikhede soos Archimedes, Euclid, Aristoteles, Apollonius het hulle daaraan gewy om sulke probleme op te los. Heron het baie goed daarin geslaag om uiterste punte te vind, wat na berekeninge vernuftige toestelle gebou het. Dit sluit in outomatiese masjiene wat deur middel van stoom, pompe en turbines beweeg wat op dieselfde beginsel werk.
Konstruksie van Kartago
Daar is 'n legende waarvan die plot gebaseer is op die oplossing van een van die uiterste probleme. Die resultaat van die besigheidsbenadering wat deur die Fenisiese prinses gedemonstreer is, wat na die wyses om hulp gewend het, was die bou van Kartago. Die grondstuk vir hierdie antieke en beroemde stad is aan Dido (dit was die naam van die heerser) deur die leier van een van die Afrika-stamme aangebied. Die area van die toekenning het vir hom aanvanklik nie baie groot gelyk nie, aangesien dit volgens die kontrak met 'n beesvel bedek moes word. Maar die prinses het haar soldate beveel om dit in dun repies te sny en 'n gordel daarvan te maak. Dit blyk so lank te wees dat dit die terrein bedek het,waar die hele stad inpas.
Die oorsprong van calculus
En laat ons nou van antieke tye na 'n latere era beweeg. Interessant genoeg is Kepler in die 17de eeu aangespoor om die grondslae van wiskundige analise te verstaan deur 'n ontmoeting met 'n wynverkoper. Die handelaar was so goed onderlê in sy beroep dat hy maklik die volume van die drankie in die vat kon bepaal deur bloot 'n ystertoerniket daarin te laat sak. Deur so 'n nuuskierigheid na te dink, het die beroemde wetenskaplike daarin geslaag om hierdie dilemma vir homself op te los. Dit blyk dat vaardige kuipers van daardie tye die kloutjie gekry het om vaartuie so te maak dat hulle op 'n sekere hoogte en radius van die omtrek van die hegringe 'n maksimum kapasiteit sou hê.
Dit was vir Kepler-rede vir verdere nadenke. Bochars het tot die optimale oplossing gekom deur 'n lang soektog, foute en nuwe pogings, wat hul ervaring van geslag tot geslag oorgedra het. Maar Kepler wou die proses bespoedig en leer hoe om dieselfde in 'n kort tyd te doen deur wiskundige berekeninge. Al sy ontwikkelings, opgetel deur kollegas, het verander in die nou bekende stellings van Fermat en Newton - Leibniz.
Maksimum area probleem
Kom ons verbeel ons dat ons 'n draad het met 'n lengte van 50 cm. Hoe om 'n reghoek daarvan te maak met die grootste area?
Om 'n besluit te begin, moet 'n mens uitgaan van eenvoudige en bekende waarhede. Dit is duidelik dat die omtrek van ons figuur 50 cm sal wees. Dit bestaan ook uit twee keer die lengtes van beide kante. Dit beteken dat, nadat een van hulle as "X" aangewys is, die ander een uitgedruk kan word as (25 - X).
Van hier af kom ons'n oppervlakte gelyk aan X (25 - X). Hierdie uitdrukking kan voorgestel word as 'n funksie wat baie waardes aanneem. Die oplossing van die probleem vereis dat jy die maksimum daarvan vind, wat beteken dat jy die uiterste punte moet uitvind.
Om dit te doen, vind ons die eerste afgeleide en stel dit gelyk aan nul. Die resultaat is 'n eenvoudige vergelyking: 25 - 2X=0.
Daaruit leer ons dat een van die sye X=12, 5.
Daarom, nog een: 25 – 12, 5=12, 5.
Dit blyk dat die oplossing vir die probleem 'n vierkant met 'n sy van 12,5 cm sal wees.
Hoe om die maksimum spoed te vind
Kom ons kyk na nog een voorbeeld. Stel jou voor dat daar 'n liggaam is wie se reglynige beweging beskryf word deur die vergelyking S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, waar die afstand gereis word in meter uitgedruk, en die tyd is in sekondes. Dit is nodig om die maksimum spoed te vind. Hoe om dit te doen? Afgelaai vind die spoed, dit wil sê die eerste afgeleide.
Ons kry die vergelyking: V=- 3t2 + 18t – 24. Nou, om die probleem op te los, moet ons weer die ekstremumpunte vind. Dit moet op dieselfde manier as in die vorige taak gedoen word. Vind die eerste afgeleide van die spoed en stel dit gelyk aan nul.
Ons kry: - 6t + 18=0. Dus t=3 s. Dit is die tyd wanneer die spoed van die liggaam 'n kritieke waarde aanneem. Ons vervang die verkryde data in die snelheidsvergelyking en kry: V=3 m/s.
Maar hoe om te verstaan dat dit presies die maksimum spoed is, want die kritieke punte van 'n funksie kan sy maksimum of minimum waardes wees? Om na te gaan, moet jy 'n tweede vindafgeleide van spoed. Dit word uitgedruk as die getal 6 met 'n minusteken. Dit beteken dat die gevind punt die maksimum is. En in die geval van 'n positiewe waarde van die tweede afgeleide, sal daar 'n minimum wees. So, die oplossing wat gevind is, blyk korrek te wees.
Die take wat as 'n voorbeeld gegee word, is slegs 'n deel van dié wat opgelos kan word deur die uiterstepunte van 'n funksie te kan vind. Trouens, daar is baie meer. En sulke kennis maak onbeperkte moontlikhede vir menslike beskawing oop.
