Funksie en die bestudering van die kenmerke daarvan is een van die sleutelhoofstukke in moderne wiskunde. Die hoofkomponent van enige funksie is grafieke wat nie net sy eienskappe uitbeeld nie, maar ook die parameters van die afgeleide van hierdie funksie. Kom ons kyk na hierdie moeilike onderwerp. So, wat is die beste manier om die maksimum en minimum punte van 'n funksie te vind?
Funksie: Definisie
Enige veranderlike wat op een of ander manier van die waardes van 'n ander waarde afhang, kan 'n funksie genoem word. Byvoorbeeld, die funksie f(x2) is kwadraties en bepaal die waardes vir die hele versameling x. Kom ons sê dat x=9, dan sal die waarde van ons funksie gelyk wees aan 92=81.
Funksies kom in baie verskillende tipes voor: logies, vektor, logaritmies, trigonometries, numeries en ander. Sulke uitstaande geeste soos Lacroix, Lagrange, Leibniz en Bernoulli was besig met hul studie. Hulle geskrifte dien as 'n bolwerk in moderne maniere om funksies te bestudeer. Voordat jy die minimum punte vind, is dit baie belangrik om die betekenis van die funksie en sy afgeleide te verstaan.
Die afgeleide en sy rol
Alle funksies is inafhangende van hul veranderlike waardes, wat beteken dat hulle hul waarde te eniger tyd kan verander. Op die grafiek sal dit uitgebeeld word as 'n kromme wat óf daal óf styg langs die y-as (dit is die hele stel "y"-getalle langs die vertikaal van die grafiek). En so word definisie van 'n punt van 'n maksimum en 'n minimum van funksie net verbind met hierdie "ossillasies". Kom ons verduidelik wat hierdie verhouding is.
Die afgeleide van enige funksie word op 'n grafiek geteken om sy hoofkenmerke te bestudeer en te bereken hoe vinnig die funksie verander (dws verander sy waarde na gelang van die veranderlike "x"). Op die oomblik wanneer die funksie toeneem, sal die grafiek van sy afgeleide ook toeneem, maar op enige sekonde kan die funksie begin afneem, en dan sal die grafiek van die afgeleide afneem. Daardie punte waar die afgeleide van minus na plus gaan, word minimumpunte genoem. Om te weet hoe om die minimum punte te vind, moet jy die konsep van die afgeleide beter verstaan.
Hoe om die afgeleide te bereken?
Om die afgeleide van 'n funksie te definieer en te bereken, impliseer verskeie konsepte uit differensiaalrekening. Oor die algemeen kan die definisie van die afgeleide soos volg uitgedruk word: dit is die waarde wat die tempo van verandering van die funksie toon.
Wiskundige manier om dit vir baie studente te bepaal, lyk ingewikkeld, maar in werklikheid is alles baie eenvoudiger. Jy hoef net te volgstandaardplan om die afgeleide van enige funksie te vind. Die volgende beskryf hoe jy die minimum punt van 'n funksie kan vind sonder om die reëls van differensiasie toe te pas en sonder om die tabel van afgeleides te memoriseer.
- Jy kan die afgeleide van 'n funksie met 'n grafiek bereken. Om dit te doen, moet jy die funksie self uitbeeld, neem dan een punt daarop (punt A in Fig.) Trek 'n lyn vertikaal af na die abskis-as (punt x0), en teken by punt A 'n raaklyn aan funksiegrafika. Die abskis-as en die raaklyn vorm 'n hoek a. Om die waarde te bereken van hoe vinnig die funksie toeneem, moet jy die raaklyn van hierdie hoek a bereken.
- Dit blyk dat die raaklyn van die hoek tussen die raaklyn en die rigting van die x-as die afgeleide is van die funksie in 'n klein area met punt A. Hierdie metode word beskou as 'n meetkundige manier om die afgeleide te bepaal..
Metodes om 'n funksie na te vors
In die skoolkurrikulum van wiskunde is dit moontlik om die minimum punt van 'n funksie op twee maniere te vind. Ons het reeds die eerste metode met behulp van die grafiek ontleed, maar hoe om die numeriese waarde van die afgeleide te bepaal? Om dit te doen, sal jy verskeie formules moet leer wat die eienskappe van die afgeleide beskryf en help om veranderlikes soos "x" in getalle om te skakel. Die volgende metode is universeel, dus kan dit op byna alle soorte funksies (beide meetkundig en logaritmies) toegepas word.
- Dit is nodig om die funksie gelyk te stel aan die afgeleide funksie, en dan die uitdrukking te vereenvoudig deur die reëls te gebruikdifferensiasie.
- deel deur nul).
- Daarna moet jy die oorspronklike vorm van die funksie omskakel in 'n eenvoudige vergelyking, wat die hele uitdrukking gelykstel aan nul. Byvoorbeeld, as die funksie soos volg gelyk het: f(x)=2x3+38x, dan is die afgeleide daarvan volgens die reëls van differensiasie gelyk aan f'(x)=3x 2 +1. Dan transformeer ons hierdie uitdrukking in 'n vergelyking van die volgende vorm: 3x2+1=0.
- Nadat jy die vergelyking opgelos en die punte "x" gevind het, moet jy dit op die x-as teken en bepaal of die afgeleide in hierdie areas tussen die gemerkte punte positief of negatief is. Na die aanwysing sal dit duidelik word op watter punt die funksie begin afneem, dit wil sê, dit verander van teken van minus na die teenoorgestelde. Dit is op hierdie manier dat jy beide die minimum en maksimum punte kan vind.
Differensiasiereëls
Die mees basiese deel van die aanleer van 'n funksie en die afgeleide daarvan is om die reëls van differensiasie te ken. Slegs met hul hulp is dit moontlik om omslagtige uitdrukkings en groot komplekse funksies te transformeer. Kom ons maak kennis met hulle, daar is nogal baie van hulle, maar hulle is almal baie eenvoudig as gevolg van die gereelde eienskappe van beide krag en logaritmiese funksies.
- Die afgeleide van enige konstante is nul (f(x)=0). Dit wil sê, die afgeleide f(x)=x5+ x - 160 sal die volgende vorm aanneem: f' (x)=5x4+1.
- Die afgeleide van die som van twee terme: (f+w)'=f'w + fw'.
- Afgeleide van 'n logaritmiese funksie: (logad)'=d/ln ad. Hierdie formule is van toepassing op alle soorte logaritmes.
- Afgeleide van graad: (x)'=nxn-1. Byvoorbeeld, (9x2)'=92x=18x.
- Afgeleide van 'n sinusvormige funksie: (sin a)'=cos a. As die sin van hoek a 0.5 is, dan is die afgeleide daarvan √3/2.
Ekstreme punte
Ons het reeds uitgevind hoe om die minimum punte te vind, maar daar is die konsep van maksimum punte van 'n funksie. As die minimum daardie punte aandui waar die funksie van minus na plus gaan, dan is die maksimum punte daardie punte op die x-as waar die afgeleide van die funksie van plus na die teenoorgestelde verander - minus.
Jy kan die maksimum punte vind deur die metode hierbo beskryf, net daar moet in ag geneem word dat hulle daardie areas aandui waar die funksie begin afneem, dit wil sê, die afgeleide sal minder as nul wees.
In wiskunde is dit gebruiklik om beide konsepte te veralgemeen deur hulle te vervang met die frase "ekstremum punte". Wanneer die taak vra om hierdie punte te bepaal, beteken dit dat dit nodig is om die afgeleide van hierdie funksie te bereken en die minimum en maksimum punte te vind.
