Die bestudering van funksies en hul grafieke is 'n onderwerp waaraan spesiale aandag gegee word binne die raamwerk van die hoërskoolkurrikulum. Sommige basiese beginsels van wiskundige analise - differensiasie - is ingesluit in die profielvlak van die eksamen in wiskunde. Sommige skoolkinders het probleme met hierdie onderwerp, aangesien hulle die grafieke van die funksie en die afgeleide verwar, en ook die algoritmes vergeet. Hierdie artikel sal die hooftipes take dek en hoe om dit op te los.
Wat is die funksiewaarde?
'n Wiskundefunksie is 'n spesiale vergelyking. Dit vestig 'n verband tussen getalle. Die funksie hang af van die waarde van die argument.
Die waarde van die funksie word volgens die gegewe formule bereken. Om dit te doen, vervang enige argument wat ooreenstem met die reeks geldige waardes in hierdie formule in die plek van x en voer die nodige wiskundige bewerkings uit. Wat?
Hoe kan jy die kleinste waarde van 'n funksie vind,gebruik 'n grafiekfunksie?
Grafiese voorstelling van die afhanklikheid van 'n funksie van 'n argument word 'n funksiegrafiek genoem. Dit is gebou op 'n vlak met 'n sekere eenheidsegment, waar die waarde van 'n veranderlike of argument langs die horisontale abskis-as geplot word, en die ooreenstemmende funksiewaarde langs die vertikale ordinaat-as.
Hoe groter die waarde van die argument, hoe meer regs lê dit op die grafiek. En hoe groter die waarde van die funksie self, hoe hoër is die punt.
Wat sê dit? Die kleinste waarde van die funksie sal die punt wees wat die laagste op die grafiek lê. Om dit op 'n grafieksegment te vind, benodig jy:
1) Soek en merk die punte van hierdie segment.
2) Bepaal visueel watter punt op hierdie segment die laagste lê.
3) Skryf in reaksie die numeriese waarde daarvan neer, wat bepaal kan word deur 'n punt op die y-as te projekteer.
Ekstreme punte op die afgeleide grafiek. Waar om te kyk?
Wanneer probleme opgelos word, word soms 'n grafiek egter nie van 'n funksie gegee nie, maar van sy afgeleide. Om te verhoed dat jy per ongeluk 'n dom fout maak, is dit beter om die voorwaardes noukeurig deur te lees, aangesien dit afhang van waar jy uiterstepunte moet soek.
Dus, die afgeleide is die oombliklike toenamesnelheid van die funksie. Volgens die meetkundige definisie stem die afgeleide ooreen met die helling van die raaklyn, wat direk na die gegewe punt getrek word.
Dit is bekend dat by die uiterste punte die raaklyn ewewydig aan die Os-as is. Dit beteken dat sy helling 0. is
Hieruit kan ons aflei dat by die uiterste punte die afgeleide op die x-as lê of verdwyn. Maar daarby, op hierdie punte, verander die funksie sy rigting. Dit wil sê, na 'n tydperk van toename, begin dit afneem, en die afgeleide verander dienooreenkomstig van positief na negatief. Of andersom.
As die afgeleide negatief van positief word, is dit die maksimum punt. As van negatief word dit positief - die minimum punt.
Belangrik: as jy 'n minimum- of maksimumpunt in die taak moet spesifiseer, moet jy in reaksie die ooreenstemmende waarde langs die abskis-as skryf. Maar as jy die waarde van die funksie moet vind, moet jy eers die ooreenstemmende waarde van die argument in die funksie vervang en dit bereken.
Hoe om ekstremumpunte te vind deur afgeleide te gebruik?
Die oorwoë voorbeelde verwys hoofsaaklik na die taak nommer 7 van die eksamen, wat behels om met 'n grafiek van 'n afgeleide of 'n teenafgeleide te werk. Maar taak 12 van die GEBRUIK - om die kleinste waarde van 'n funksie op 'n segment (soms die grootste) te vind - word sonder enige tekeninge uitgevoer en vereis basiese vaardighede in wiskundige analise.
Om dit uit te voer, moet jy ekstremumpunte kan vind deur die afgeleide te gebruik. Die algoritme om hulle te vind is soos volg:
- Vind die afgeleide van 'n funksie.
- Stel dit op nul.
- Vind die wortels van die vergelyking.
- Kyk of die punte wat verkry is ekstremum- of buigpunte is.
Om dit te doen, teken 'n diagram en aandie resulterende intervalle bepaal die tekens van die afgeleide deur die getalle wat aan die segmente behoort te vervang in die afgeleide. As jy, wanneer jy die vergelyking oplos, wortels van dubbele veelheid gekry het, is dit buigpunte.
Deur die stellings toe te pas, bepaal watter punte minimum en watter maksimum is
Bereken die kleinste waarde van 'n funksie deur gebruik te maak van 'n afgeleide
Nadat ons egter al hierdie aksies uitgevoer het, sal ons die waardes van die minimum en maksimum punte langs die x-as vind. Maar hoe om die kleinste waarde van 'n funksie op 'n segment te vind?
Wat moet gedoen word om die getal te vind wat ooreenstem met die funksie op 'n spesifieke punt? Jy moet die waarde van die argument in hierdie formule vervang.
Punte van minimum en maksimum stem ooreen met die kleinste en grootste waarde van die funksie op die segment. Dus, om die waarde van die funksie te vind, moet jy die funksie bereken deur die verkrygde x-waardes te gebruik.
Belangrik! As die taak vereis dat jy 'n minimum of maksimum punt spesifiseer, dan moet jy in reaksie die ooreenstemmende waarde langs die x-as skryf. Maar as jy die waarde van die funksie moet vind, moet jy eers die ooreenstemmende waarde van die argument in die funksie vervang en die nodige wiskundige bewerkings uitvoer.
Wat moet ek doen as daar geen laagtepunte op hierdie segment is nie?
Maar hoe om die kleinste waarde van 'n funksie op 'n segment met geen ekstremumpunte te vind nie?
Dit beteken dat die funksie eentonig daarop afneem of toeneem. Dan moet jy die waarde van die uiterste punte van hierdie segment in die funksie vervang. Daar is twee maniere.
1) Berekenafgeleide en die intervalle waarop dit positief of negatief is, om te bepaal of die funksie afneem of toeneem op 'n gegewe segment.
In ooreenstemming met hulle, vervang 'n groter of mindere waarde van die argument in die funksie.
2) Vervang eenvoudig albei punte in die funksie en vergelyk die resulterende funksiewaardes.
In watter take is dit opsioneel om die afgeleide te vind
As 'n reël, in die GEBRUIK-opdragte, moet jy steeds die afgeleide vind. Daar is net 'n paar uitsonderings.
1) Parabool.
Die hoekpunt van die parabool word deur die formule gevind.
As 'n < 0, dan is die takke van die parabool afwaarts gerig. En sy hoogtepunt is die maksimum punt.
As 'n > 0, dan is die takke van die parabool opwaarts gerig, die hoekpunt is die minimum punt.
Nadat jy die hoekpunt van die parabool bereken het, moet jy die waarde daarvan in die funksie vervang en die ooreenstemmende waarde van die funksie bereken.
2) Funksie y=tg x. Of y=ctg x.
Hierdie funksies neem eentonig toe. Daarom, hoe groter die waarde van die argument, hoe groter is die waarde van die funksie self. Vervolgens sal ons kyk hoe om die grootste en kleinste waarde van 'n funksie op 'n segment met voorbeelde te vind.
Hooftipes take
Taak: die grootste of kleinste waarde van die funksie. Voorbeeld op die grafiek.
In die prentjie sien jy die grafiek van die afgeleide van die funksie f (x) op die interval [-6; 6]. Op watter punt van die segment [-3; 3] f(x) neem die kleinste waarde?
Dus, om mee te begin, moet jy die gespesifiseerde segment kies. Daarop neem die funksie een keer 'n nulwaarde en verander sy teken - dit is die uiterste punt. Aangesien die afgeleide van negatief positief word, beteken dit dat dit die minimum punt van die funksie is. Hierdie punt stem ooreen met die waarde van die argument 2.
Antwoord: 2.
Hou aan om na voorbeelde te kyk. Taak: vind die grootste en kleinste waarde van die funksie op die segment.
Vind die kleinste waarde van die funksie y=(x - 8) ex-7 op die interval [6; 8].
1. Neem die afgeleide van 'n komplekse funksie.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Stel die resulterende afgeleide gelyk aan nul en los die vergelyking op.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, of ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, geen wortels
3. Vervang die waarde van die uiterste punte in die funksie, sowel as die verkrygde wortels van die vergelyking.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Antwoord: -1.
Dus, in hierdie artikel is die hoofteorie oorweeg oor hoe om die kleinste waarde van 'n funksie op 'n segment te vind, wat nodig is vir die suksesvolle oplossing van GEBRUIK-take in gespesialiseerde wiskunde. Ook elemente van wiskundigeanalise word gebruik wanneer take uit deel C van die eksamen opgelos word, maar dit verteenwoordig natuurlik 'n ander vlak van kompleksiteit, en die algoritmes vir hul oplossings is moeilik om in die raamwerk van een materiaal te pas.
