Die vermoë om met numeriese uitdrukkings te werk wat 'n vierkantswortel bevat, is nodig vir die suksesvolle oplossing van 'n aantal probleme van die OGE en die USE. In hierdie eksamens is 'n basiese begrip van wat wortelonttrekking is en hoe dit in die praktyk gedoen word gewoonlik voldoende.
Definisie
Die n-de wortel van 'n getal X is 'n getal x waarvoor die gelykheid waar is: xn =X.
Om die waarde van 'n uitdrukking met 'n wortel te vind, beteken om x gegewe X en n te vind.
Die vierkantswortel of, wat dieselfde is, die tweede wortel van X - die getal x waarvoor die gelykheid bevredig is: x2 =X.
Benaming: ∛Х. Hier is 3 die graad van die wortel, X is die worteluitdrukking. Die teken '√' word dikwels 'n radikaal genoem.
As die getal bokant die wortel nie die graad aandui nie, dan is die verstek die graad van 2.
In 'n skoolkursus vir ewe grade word negatiewe wortels en radikale uitdrukkings gewoonlik nie in ag geneem nie. Daar is byvoorbeeld geen√-2, en vir die uitdrukking √4, is die korrekte antwoord 2, ten spyte van die feit dat (-2)2 ook gelyk is aan 4.
Rasionaliteit en irrasionaliteit van wortels
Die eenvoudigste moontlike taak met 'n wortel is om die waarde van 'n uitdrukking te vind of dit vir rasionaliteit te toets.
Bereken byvoorbeeld die waardes √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5 omdat 52 =25;
- ∛8=2 omdat 23 =8;
- ∛ - 125=-5 sedert (-5)3 =-125.
Die antwoorde in die gegewe voorbeelde is rasionale getalle.
Wanneer daar met uitdrukkings gewerk word wat nie letterlike konstantes en veranderlikes bevat nie, word dit aanbeveel om altyd so 'n kontrole uit te voer deur gebruik te maak van die omgekeerde werking van verhoog tot 'n natuurlike krag. Om die getal x tot die n-de mag te vind is gelykstaande aan die berekening van die produk van n faktore van x.
Daar is baie uitdrukkings met 'n wortel waarvan die waarde irrasioneel is, dit wil sê, geskryf as 'n oneindige nie-periodieke breuk.
Per definisie is rasionale dié wat as 'n gewone breuk uitgedruk kan word, en irrasionale is alle ander reële getalle.
Dit sluit in √24, √0, 1, √101.
As die probleemboek sê: vind die waarde van die uitdrukking met 'n wortel van 2, 3, 5, 6, 7, ens., dit wil sê van daardie natuurlike getalle wat nie in die tabel van vierkante vervat is nie, dan is die korrekte antwoord √ 2 mag teenwoordig wees (tensy anders vermeld).
assessering
In probleme met'n oop antwoord, as dit onmoontlik is om die waarde van 'n uitdrukking met 'n wortel te vind en dit as 'n rasionale getal te skryf, moet die resultaat as 'n radikaal gelaat word.
Sommige opdragte vereis dalk evaluering. Vergelyk byvoorbeeld 6 en √37. Die oplossing vereis om beide getalle te kwadraat en die resultate te vergelyk. Van twee getalle is die een waarvan die vierkant groter is groter. Hierdie reël werk vir alle positiewe getalle:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- beteken √37 > 6.
Op dieselfde manier word probleme opgelos waarin verskeie getalle in stygende of dalende volgorde gerangskik moet word.
Voorbeeld: Rangskik 5, √6, √48, √√64 in stygende volgorde.
Na kwadratering het ons: 25, 6, 48, √64. Mens kan al die getalle weer kwadraat om hulle met √64 te vergelyk, maar dit is gelyk aan die rasionale getal 8. 6 < 8 < 25 < 48, so die oplossing is: 48.
Vereenvoudig die uitdrukking
Dit gebeur dat dit onmoontlik is om die waarde van 'n uitdrukking met 'n wortel te vind, dus moet dit vereenvoudig word. Die volgende formule help hiermee:
√ab=√a√b.
Die wortel van die produk van twee getalle is gelyk aan die produk van hul wortels. Hierdie bewerking sal ook die vermoë vereis om 'n getal te faktoriseer.
In die aanvanklike stadium, om die werk te bespoedig, word dit aanbeveel om 'n tabel van priemgetalle en vierkante byderhand te hê. Hierdie tafels met gereeldegebruik in die toekoms sal onthou word.
Byvoorbeeld, √242 is 'n irrasionale getal, jy kan dit so omskakel:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Gewoonlik word die resultaat geskryf as 11√2 (lees: elf wortels uit twee).
As dit moeilik is om dadelik te sien in watter twee faktore 'n getal ontbind moet word sodat 'n natuurlike wortel uit een van hulle onttrek kan word, kan jy die volle ontbinding in priemfaktore gebruik. As dieselfde priemgetal twee keer in die uitbreiding voorkom, word dit uit die wortelteken gehaal. Wanneer daar baie faktore is, kan jy die wortel in verskeie stappe onttrek.
Voorbeeld: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Die getal 2 kom 2 keer in die uitbreiding voor (in werklikheid meer as twee keer, maar ons stel steeds belang in die eerste twee gevalle in die uitbreiding).
Ons haal dit onder die wortelteken uit:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Herhaal dieselfde handeling:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).
In die oorblywende radikale uitdrukking kom 2 en 3 een keer voor, dus bly dit oor om die faktor 5 uit te haal:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
en voer rekenkundige bewerkings uit:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
So, ons kry √2400=20√6.
As die taak nie uitdruklik sê: "vind die waarde van die uitdrukking met 'n vierkantswortel", dan is die keuse,in watter vorm om die antwoord te laat (of die wortel onder die radikale onttrek moet word) bly by die student en kan afhang van die probleem wat opgelos word.
Aan die begin word hoë vereistes gestel aan die ontwerp van take, die berekening, insluitend mondeling of skriftelik, sonder die gebruik van tegniese middele.
Slegs na 'n goeie bemeestering van die reëls om met irrasionele numeriese uitdrukkings te werk, maak dit sin om aan te beweeg na moeiliker letterlike uitdrukkings en om irrasionele vergelykings op te los en die reeks moontlike waardes van die uitdrukking onder die radikaal.
Studente kry hierdie tipe probleem by die Unified State-eksamen in wiskunde, sowel as in die eerste jaar van gespesialiseerde universiteite wanneer hulle wiskundige analise en verwante dissiplines bestudeer.
