Wiskundige probleme word in baie wetenskappe gebruik. Dit sluit nie net fisika, chemie, ingenieurswese en ekonomie in nie, maar ook medisyne, ekologie en ander dissiplines. Een belangrike konsep om te bemeester om oplossings vir belangrike dilemmas te vind, is die afgeleide van 'n funksie. Die fisiese betekenis daarvan is glad nie so moeilik om te verklaar as wat dit in die wese van die saak vir die oningewydes mag lyk nie. Dit is genoeg om net geskikte voorbeelde hiervan in die werklike lewe en gewone alledaagse situasies te vind. Trouens, enige motoris hanteer 'n soortgelyke taak elke dag wanneer hy na die spoedmeter kyk en die spoed van sy motor op 'n bepaalde oomblik van 'n vasgestelde tyd bepaal. Dit is immers in hierdie parameter wat die essensie van die fisiese betekenis van die afgeleide lê.
Hoe om spoed te vind
Bepaal die spoed van 'n persoon op die pad, met die kennis van die afstand afgelê en reistyd, kan enige graad vyfde maklik. Om dit te doen, is die eerste van die gegewe waardes gedeel deur die tweede. Maarnie elke jong wiskundige weet dat hy tans die verhouding van inkremente van 'n funksie en 'n argument vind nie. Inderdaad, as ons die beweging in die vorm van 'n grafiek voorstel, wat die pad langs die y-as stip, en die tyd langs die abskis, sal dit presies so wees.
Die spoed van 'n voetganger of enige ander voorwerp wat ons op 'n groot gedeelte van die paadjie bepaal, kan egter heel moontlik verander, aangesien die beweging as uniform beskou word. Daar is baie vorme van beweging in fisika. Dit kan nie net met 'n konstante versnelling uitgevoer word nie, maar vertraag en verhoog op 'n arbitrêre manier. Daar moet kennis geneem word dat in hierdie geval die lyn wat die beweging beskryf nie meer 'n reguit lyn sal wees nie. Grafies kan dit die mees komplekse konfigurasies aanneem. Maar vir enige van die punte op die grafiek kan ons altyd 'n raaklyn teken wat deur 'n lineêre funksie voorgestel word.
Om die parameter van verplasingsverandering na gelang van tyd te verduidelik, is dit nodig om die gemete segmente te verkort. Wanneer hulle oneindig klein word, sal die berekende spoed oombliklik wees. Hierdie ervaring help ons om die afgeleide te definieer. Die fisiese betekenis daarvan volg ook logies uit sulke redenasies.
In terme van meetkunde
Dit is bekend dat hoe groter die spoed van die liggaam, hoe steiler die grafiek van die afhanklikheid van verplasing op tyd, en dus die hellingshoek van die raaklyn aan die grafiek op 'n sekere punt. 'n Aanwyser van sulke veranderinge kan die raaklyn van die hoek tussen die x-as en die raaklyn wees. Dit bepaal net die waarde van die afgeleide en word bereken deur die verhouding van lengtesteenoor die aangrensende been in 'n reghoekige driehoek wat gevorm word deur 'n loodlyn wat van 'n punt na die x-as gedaal het.
Dit is die meetkundige betekenis van die eerste afgeleide. Die fisiese een word geopenbaar in die feit dat die waarde van die teenoorgestelde been in ons geval die afstand is wat afgelê is, en die aangrensende een is die tyd. Hul verhouding is spoed. En weer kom ons tot die gevolgtrekking dat die oombliklike spoed, bepaal wanneer beide gapings geneig is tot oneindig klein, die essensie van die konsep van die afgeleide is, wat die fisiese betekenis daarvan aandui. Die tweede afgeleide in hierdie voorbeeld sal die versnelling van die liggaam wees, wat weer die tempo van verandering in spoed demonstreer.
Voorbeelde van die vind van afgeleides in fisika
Die afgeleide is 'n aanduiding van die tempo van verandering van enige funksie, selfs wanneer ons nie van beweging in die letterlike sin van die woord praat nie. Om dit duidelik te demonstreer, kom ons neem 'n paar konkrete voorbeelde. Gestel die stroomsterkte, afhangend van tyd, verander volgens die volgende wet: I=0, 4t2. Dit is nodig om die waarde van die tempo waarteen hierdie parameter verander aan die einde van die 8ste sekonde van die proses te vind. Let daarop dat die verlangde waarde self, soos uit die vergelyking beoordeel kan word, voortdurend toeneem.
Om dit op te los, moet jy die eerste afgeleide vind, waarvan die fisiese betekenis vroeër oorweeg is. Hier is dI / dt=0.8t. Vervolgens vind ons dit by t \u003d 8, ons kry dat die tempo waarteen die huidige sterkte verander 6,4 A / c is. Hier word dit beskoustroom word onderskeidelik in ampère en tyd in sekondes gemeet.
Alles verander
Die sigbare omringende wêreld, wat uit materie bestaan, ondergaan voortdurend veranderinge en is in beweging van verskeie prosesse wat daarin plaasvind. 'n Verskeidenheid parameters kan gebruik word om dit te beskryf. As hulle deur afhanklikheid verenig word, word hulle wiskundig geskryf as 'n funksie wat hul veranderinge duidelik toon. En waar daar beweging is (in watter vorm dit ook al uitgedruk word), bestaan daar ook 'n afgeleide waarvan die fisiese betekenis ons op die oomblik oorweeg.
By hierdie geleentheid, die volgende voorbeeld. Gestel die liggaamstemperatuur verander volgens die wet T=0, 2 t 2. Jy moet die tempo van sy verhitting aan die einde van die 10de sekonde vind. Die probleem word opgelos op 'n manier soortgelyk aan dié wat in die vorige geval beskryf is. Dit wil sê, ons vind die afgeleide en vervang die waarde vir t \u003d 10 daarin, ons kry T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Dit beteken dat die finale antwoord 4 grade per sekonde is, dit wil sê die verhittingsproses en die temperatuurverandering, gemeet in grade, vind presies met so 'n spoed plaas.
Oplos praktiese probleme
Natuurlik, in die werklike lewe is alles baie meer ingewikkeld as in teoretiese probleme. In die praktyk word die waarde van hoeveelhede gewoonlik tydens die eksperiment bepaal. In hierdie geval word instrumente gebruik wat lesings gee tydens metings met 'n sekere fout. Daarom, in berekeninge, moet 'n mens te doen kry met benaderde waardes van die parameters en toevlug tot afronding van ongerieflike getalle,asook ander vereenvoudigings. Nadat dit in ag geneem is, gaan ons weer oor na probleme oor die fisiese betekenis van die afgeleide, aangesien dit slegs 'n soort wiskundige model is van die mees komplekse prosesse wat in die natuur voorkom.
Vulkaanuitbarsting
Kom ons verbeel ons dat 'n vulkaan uitbars. Hoe gevaarlik kan hy wees? Om hierdie vraag te beantwoord, moet baie faktore oorweeg word. Ons sal probeer om een van hulle te akkommodeer.
Van die mond van die "vurige monster" word klippe vertikaal opwaarts gegooi, met 'n aanvanklike spoed vanaf die oomblik dat hulle uitkom na die buitekant van 120 m/s. Dit is nodig om te bereken wat hulle die maksimum hoogte kan bereik.
Om die verlangde waarde te vind, sal ons 'n vergelyking saamstel vir die afhanklikheid van die hoogte H, gemeet in meter, van ander waardes. Dit sluit aanvanklike spoed en tyd in. Die versnellingswaarde word as bekend beskou en ongeveer gelyk aan 10 m/s2.
Gedeeltelike afgeleide
Kom ons kyk nou na die fisiese betekenis van die afgeleide van 'n funksie vanuit 'n effens ander hoek, want die vergelyking self kan nie een nie, maar verskeie veranderlikes bevat. Byvoorbeeld, in die vorige probleem is die afhanklikheid van die hoogte van die klippe wat uit die opening van die vulkaan uitgestoot is nie net bepaal deur die verandering in tydkenmerke nie, maar ook deur die waarde van die aanvanklike snelheid. Laasgenoemde is as 'n konstante, vaste waarde beskou. Maar in ander take met heeltemal ander toestande, kan alles anders wees. Indien die hoeveelhede waarop die kompleksfunksie, verskeie, berekeninge word volgens die formules hieronder gemaak.
Die fisiese betekenis van die gereelde afgeleide moet soos in die gewone geval bepaal word. Dit is die tempo waarteen die funksie op 'n sekere punt verander soos die parameter van die veranderlike toeneem. Dit word so bereken dat alle ander komponente as konstantes geneem word, slegs een word as 'n veranderlike beskou. Dan gebeur alles volgens die gewone reëls.
Onmisbare adviseur oor baie kwessies
Om die fisiese betekenis van die afgeleide te verstaan, is dit nie moeilik om voorbeelde te gee van die oplossing van ingewikkelde en komplekse probleme, waarin die antwoord met sulke kennis gevind kan word nie. As ons 'n funksie het wat die brandstofverbruik beskryf na gelang van die spoed van die motor, kan ons bereken teen watter parameters van laasgenoemde die petrolverbruik die minste sal wees.
In medisyne kan jy voorspel hoe die menslike liggaam sal reageer op 'n medisyne wat deur 'n dokter voorgeskryf word. Die gebruik van die geneesmiddel beïnvloed 'n verskeidenheid fisiologiese parameters. Dit sluit veranderinge in bloeddruk, hartklop, liggaamstemperatuur en meer in. Almal van hulle hang af van die dosis van die dwelm wat geneem word. Hierdie berekeninge help om die verloop van behandeling te voorspel, beide in gunstige manifestasies en in ongewenste ongelukke wat veranderinge in die pasiënt se liggaam noodlottig kan beïnvloed.
Dit is ongetwyfeld belangrik om die fisiese betekenis van die afgeleide in tegnies te verstaankwessies, veral in elektriese ingenieurswese, elektronika, ontwerp en konstruksie.
Remafstand
Kom ons kyk na die volgende probleem. Met 'n konstante spoed moes die motor, wat die brug nader, 10 sekondes voor die ingang stadiger ry, aangesien die bestuurder 'n padteken opgemerk het wat beweging teen 'n spoed van meer as 36 km/h verbied. Het die bestuurder die reëls oortree as die remafstand beskryf kan word deur die formule S=26t - t2?
Om die eerste afgeleide te bereken, vind ons die formule vir die spoed, ons kry v=28 – 2t. Vervang dan die waarde t=10 in die gespesifiseerde uitdrukking.
Aangesien hierdie waarde in sekondes uitgedruk is, is die spoed 8 m/s, wat 28,8 km/h beteken. Dit maak dit moontlik om te verstaan dat die bestuurder betyds begin ry het en nie die verkeersreëls oortree het nie, en dus die limiet wat op die spoedteken aangedui is.
Dit bewys die belangrikheid van die fisiese betekenis van die afgeleide. 'n Voorbeeld van die oplossing van hierdie probleem demonstreer die wydte van die gebruik van hierdie konsep in verskeie sfere van die lewe. Insluitend in alledaagse situasies.
Afgeleide in ekonomie
Tot en met die 19de eeu het ekonome meestal op gemiddeldes gewerk, of dit nou arbeidsproduktiwiteit of die prys van uitset was. Maar van 'n sekere punt af het beperkende waardes meer nodig geword om effektiewe voorspellings in hierdie gebied te maak. Dit sluit in marginale nut, inkomste of koste. Om dit te verstaan, het stukrag gegee aan die skepping van 'n heeltemal nuwe instrument in ekonomiese navorsing,wat vir meer as honderd jaar bestaan en ontwikkel.
Om sulke berekeninge te maak, waar konsepte soos minimum en maksimum oorheers, is dit eenvoudig nodig om die meetkundige en fisiese betekenis van die afgeleide te verstaan. Onder die skeppers van die teoretiese basis van hierdie dissiplines kan 'n mens sulke prominente Engelse en Oostenrykse ekonome soos US Jevons, K. Menger en andere noem. Natuurlik is beperkende waardes in ekonomiese berekeninge nie altyd gerieflik om te gebruik nie. En, byvoorbeeld, kwartaallikse verslae pas nie noodwendig by die bestaande skema in nie, maar tog is die toepassing van so 'n teorie in baie gevalle nuttig en effektief.
