Om te verstaan wat die ekstremumpunte van 'n funksie is, is dit glad nie nodig om van die teenwoordigheid van die eerste en tweede afgeleides te weet en hul fisiese betekenis te verstaan nie. Eerstens moet jy die volgende verstaan:
- function extrema maksimeer of, omgekeerd, minimaliseer die waarde van die funksie in 'n arbitrêr klein woonbuurt;
- Daar behoort nie 'n funksieonderbreking by die uiterste punt te wees nie.
En nou dieselfde, net in gewone taal. Kyk na die punt van 'n balpuntpen. As die pen vertikaal geplaas word, met die skrif op, dan sal die heel middel van die bal die uiterste punt wees - die hoogste punt. In hierdie geval praat ons oor die maksimum. Nou, as jy die pen met die skryfpunt na onder draai, dan sal daar reeds 'n minimum van die funksie in die middel van die bal wees. Met behulp van die figuur wat hier gegee word, kan jy die gelyste manipulasies vir 'n skryfbehoeftepotlood voorstel. Dus, die ekstrema van 'n funksie is altyd kritieke punte: sy maksimums of minima. Die aangrensende gedeelte van die grafiek kan arbitrêr skerp of glad wees, maar dit moet aan beide kante bestaan, net in hierdie geval is die punt 'n ekstremum. As die grafiek slegs aan die een kant teenwoordig is, sal hierdie punt nie 'n ekstremum wees nie, selfs al is dit aan die een kantuiterste voorwaardes nagekom word. Kom ons bestudeer nou die uiterstes van die funksie vanuit 'n wetenskaplike oogpunt. Om 'n punt as 'n ekstremum te beskou, is dit nodig en voldoende dat:
- die eerste afgeleide was gelyk aan nul of het nie op die punt bestaan nie;
- die eerste afgeleide het sy teken op hierdie stadium verander.
Die voorwaarde word ietwat anders geïnterpreteer vanuit die oogpunt van hoër-orde afgeleides: vir 'n funksie wat op 'n punt differensieerbaar is, is dit voldoende dat daar 'n onewe-orde afgeleide is wat nie gelyk is aan nul nie, terwyl alle laer-orde afgeleides moet bestaan en gelyk aan nul wees. Dit is die eenvoudigste interpretasie van stellings uit handboeke van hoër wiskunde. Maar vir die mees gewone mense is dit die moeite werd om hierdie punt met 'n voorbeeld te verduidelik. Die basis is 'n gewone parabool. Maak dadelik 'n bespreking, by die nulpunt het dit 'n minimum. Net 'n bietjie wiskunde:
- eerste afgeleide (X2)|=2X, vir nulpunt 2X=0;
- tweede afgeleide (2X)|=2, vir nulpunt 2=2.
Dit is 'n eenvoudige illustrasie van die toestande wat die ekstremums van die funksie bepaal vir beide eerste-orde afgeleides en vir hoër-orde afgeleides. Ons kan hierby voeg dat die tweede afgeleide net dieselfde afgeleide is van 'n onewe orde, ongelyk aan nul, wat 'n bietjie hoër bespreek is. Wanneer dit kom by uiterstes van 'n funksie van twee veranderlikes, moet die voorwaardes vir beide argumente nagekom word. Wanneerveralgemening plaasvind, dan word gedeeltelike afgeleides gebruik. Dit wil sê, dit is nodig vir die teenwoordigheid van 'n ekstremum op 'n punt dat beide eerste-orde afgeleides gelyk is aan nul, of ten minste een van hulle bestaan nie. Vir die genoegsaamheid van die teenwoordigheid van 'n ekstremum word 'n uitdrukking ondersoek, wat die verskil is tussen die produk van tweede-orde afgeleides en die kwadraat van die gemengde tweede-orde afgeleide van die funksie. As hierdie uitdrukking groter as nul is, dan is daar 'n ekstremum, en as daar nul is, dan bly die vraag oop, en bykomende navorsing is nodig.
