Berekening van volumes van ruimtelike figure is een van die belangrike take van stereometrie. In hierdie artikel sal ons die kwessie van die bepaling van die volume van so 'n veelvlak as 'n piramide oorweeg, en ook die formule gee vir die volume van 'n gereelde seskantige piramide.
hexagonale piramide
Kom ons kyk eers wat die figuur is, wat in die artikel bespreek sal word.
Kom ons het 'n arbitrêre seshoek waarvan die sye nie noodwendig gelyk aan mekaar is nie. Veronderstel ook dat ons 'n punt in die ruimte gekies het wat nie in die vlak van die seshoek is nie. Deur al die hoeke van laasgenoemde met die geselekteerde punt te verbind, kry ons 'n piramide. Twee verskillende piramides met 'n seskantige basis word in die figuur hieronder getoon.
Daar kan gesien word dat die figuur benewens die seshoek ook uit ses driehoeke bestaan, waarvan die verbindingspunt die hoekpunt genoem word. Die verskil tussen die afgebeelde piramides is dat die hoogte h van die regterkant van hulle nie die seskantige basis in sy geometriese middelpunt sny nie, en die hoogte van die linkerfiguur valreg in daardie sentrum. Danksy hierdie maatstaf is die linkerpiramide reguit genoem, en die regter - skuins.
Aangesien die basis van die linkerfiguur in die figuur gevorm word deur 'n seshoek met gelyke sye en hoeke, word dit korrek genoem. Verder in die artikel sal ons net oor hierdie piramide praat.
Volume van die seskantige piramide
Om die volume van 'n arbitrêre piramide te bereken, is die volgende formule geldig:
V=1/3hSo
Hier is h die lengte van die figuur se hoogte, So is die oppervlakte van sy basis. Kom ons gebruik hierdie uitdrukking om die volume van 'n gereelde seskantige piramide te bepaal.
Aangesien die syfer onder oorweging op 'n gelyksydige seshoek gebaseer is, kan jy die volgende algemene uitdrukking vir 'n n-hoek gebruik om sy oppervlakte te bereken:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Hier is n 'n heelgetal gelyk aan die aantal sye (hoeke) van die veelhoek, a is die lengte van sy sy, die kotangensfunksie word bereken deur die toepaslike tabelle te gebruik.
Deur die uitdrukking vir n=6 toe te pas, kry ons:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
Nou bly dit om hierdie uitdrukking in die algemene formule vir die volume V te vervang:
V6=S6h=√3/2ha2
Dus, om die volume van die piramide wat oorweeg word te bereken, is dit nodig om sy twee lineêre parameters te ken: die lengte van die sy van die basis en die hoogte van die figuur.
Voorbeeld van probleemoplossing
Kom ons wys hoe die verkrygde uitdrukking vir V6 gebruik kan word om die volgende probleem op te los.
Dit is bekend dat die volume van 'n gereelde seskantige piramide 100 cm is3. Dit is nodig om die sy van die basis en die hoogte van die figuur te bepaal, as dit bekend is dat hulle aan mekaar verwant is deur die volgende gelykheid:
a=2u
Aangesien slegs a en h by die formule vir volume ingesluit is, kan enige van hierdie parameters daarin vervang word, uitgedruk in terme van die ander. Byvoorbeeld, vervang a, ons kry:
V6=√3/2h(2h)2=>
h=∛(V6/(2√3))
Om die waarde van die hoogte van 'n figuur te vind, moet jy die wortel van die derde graad uit die volume neem, wat ooreenstem met die lengtedimensie. Ons vervang die volumewaarde V6van die piramide van die probleemstelling, ons kry die hoogte:
h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm
Aangesien die kant van die basis, in ooreenstemming met die toestand van die probleem, twee keer die waarde wat gevind is, kry ons die waarde daarvoor:
a=2h=23, 0676=6, 1352cm
Die volume van 'n seskantige piramide kan nie net deur die hoogte van die figuur en die waarde van die sy van sy basis gevind word nie. Dit is genoeg om twee verskillende lineêre parameters van die piramide te ken om dit te bereken, byvoorbeeld die apotema en die lengte van die syrand.
