Die wet van behoud van momentum en hoekmomentum: 'n voorbeeld van die oplossing van die probleem

2024 Outeur: Angel Austin | [email protected]. Laas verander: 2024-01-02 17:39

Wanneer jy probleme in fisika oor die beweging van voorwerpe moet oplos, blyk dit dikwels nuttig te wees om die wet van behoud van momentum toe te pas. Wat is die momentum vir die liniêre en sirkelvormige beweging van die liggaam, en wat is die essensie van die wet van behoud van hierdie waarde, word in die artikel bespreek.

Die konsep van lineêre momentum

Historiese data toon dat hierdie waarde vir die eerste keer in sy wetenskaplike werke deur Galileo Galilei aan die begin van die 17de eeu oorweeg is. Vervolgens kon Isaac Newton die konsep van momentum ('n meer korrekte naam vir momentum) harmonieus in die klassieke teorie van die beweging van voorwerpe in die ruimte integreer.

Dui die momentum aan as p¯, dan sal die formule vir sy berekening geskryf word as:

p¯=mv¯.

Hier is m die massa, v¯ is die spoed (vektorwaarde) van die beweging. Hierdie gelykheid toon dat die hoeveelheid beweging die snelheidskenmerk van 'n voorwerp is, waar die massa die rol van 'n vermenigvuldigingsfaktor speel. Aantal bewegingsis 'n vektorhoeveelheid wat in dieselfde rigting as die snelheid wys.

Intuïtief, hoe groter die spoed van beweging en die massa van die liggaam, hoe moeiliker is dit om dit te stop, dit wil sê, hoe groter is die kinetiese energie wat dit het.

Die hoeveelheid beweging en die verandering daarvan

Jy kan raai dat jy 'n mate van krag moet toepas om die p¯-waarde van die liggaam te verander. Laat die krag F¯ gedurende die tydinterval Δt inwerk, dan laat Newton se wet ons toe om die gelykheid te skryf:

F¯Δt=ma¯Δt; daarom F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.

Die waarde gelyk aan die produk van die tydinterval Δt en die krag F¯ word die impuls van hierdie krag genoem. Aangesien dit gelyk is aan die verandering in momentum, word laasgenoemde dikwels bloot momentum genoem, wat daarop dui dat een of ander eksterne krag F¯ dit geskep het.

Dus, die rede vir die verandering in die momentum is die momentum van die eksterne krag. Die waarde van Δp¯ kan beide lei tot 'n toename in die waarde van p¯ as die hoek tussen F¯ en p¯ skerp is, en tot 'n afname in die modulus van p¯ as hierdie hoek stomp is. Die eenvoudigste gevalle is die versnelling van die liggaam (die hoek tussen F¯ en p¯ is nul) en sy vertraging (die hoek tussen die vektore F¯ en p¯ is 180o).

Wanneer momentum behoue bly: wet

As die liggaamstelsel nie is nieeksterne kragte werk, en alle prosesse daarin word slegs deur die meganiese interaksie van sy komponente beperk, dan bly elke komponent van die momentum vir 'n arbitrêre lang tyd onveranderd. Dit is die wet van behoud van momentum van liggame, wat wiskundig soos volg geskryf is:

p¯=∑_ip_{i¯=konst or}

∑_ip_ix=konst; ∑_ip_iy=konst; ∑_ip_iz=konst.

Die subskripsie i is 'n heelgetal wat die voorwerp van die stelsel opsom, en die indekse x, y, z beskryf die momentumkomponente vir elk van die koördinaat-asse in die Cartesiese reghoekige stelsel.

In die praktyk is dit dikwels nodig om eendimensionele probleme vir die botsing van liggame op te los, wanneer die aanvanklike toestande bekend is, en dit is nodig om die toestand van die stelsel na die impak te bepaal. In hierdie geval word momentum altyd bewaar, wat nie oor kinetiese energie gesê kan word nie. Laasgenoemde voor en na die impak sal slegs in 'n enkele geval onveranderd wees: wanneer daar 'n absoluut elastiese interaksie is. Vir hierdie geval van botsing van twee liggame wat met snelhede v₁ en v_{2 beweeg, saldie momentumbewaringsformule die vorm aanneem:}

m₁ v₁ + m₂ v ₂=m₁ u₁ + m₂ u 2_.

Hier kenmerk die snelhede u₁ en u_{2 die beweging van liggame na die impak. Let daarop dat dit in hierdie vorm van die bewaringswet nodig is om die teken van die snelhede in ag te neem: as hulle na mekaar gerig is, moet een geneem wordpositief en die ander negatief.}

Vir 'n volmaak onelastiese botsing (twee liggame hou aanmekaar na impak), het die wet van behoud van momentum die vorm:

m₁ v₁ + m₂ v ₂=(m₁+ m_2)u.

Oplossing van die probleem oor die wet van bewaring van p¯

Kom ons los die volgende probleem op: twee balle rol na mekaar toe. Die massas van die balle is dieselfde, en hul spoed is 5 m/s en 3 m/s. As ons aanvaar dat daar 'n absoluut elastiese botsing is, is dit nodig om die spoed van die balle daarna te vind.

Deur die momentumbewaringswet vir die eendimensionele geval te gebruik, en met inagneming dat die kinetiese energie na die impak behoue bly, skryf ons:

v_{1 -} v₂=u₁ + u _2;

v₁² + v₂^2=u12 ^{+ u}22^.

Hier het ons dadelik die massas van die balle verminder as gevolg van hul gelykheid, en ook die feit in ag geneem dat die liggame na mekaar toe beweeg.

Dit is makliker om voort te gaan om die stelsel op te los as jy bekende data vervang. Ons kry:

5 - 3 - u₂=u_1;

5²+ 3²=u₁²+ u₂^2.

Deur u_{1 in die tweede vergelyking te vervang, kry ons:}

2 - u₂=u_1;

34=(2 - u₂)²+u₂ 2^{=4 - 4u}2 _{+ 2u}22^{; vandaar,u}22^{- 2u}2 _{- 15=0.}

Ons het die klassieke kwadratiese vergelyking. Ons los dit op deur die diskriminant, ons kry:

D=4 - 4(-15)=64.

u_{2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.}

Ons het twee oplossings. As ons hulle in die eerste uitdrukking vervang en u₁ definieer, kry ons die volgende waarde: u₁=-3 m/s, u ₂=5 m/s; u₁=5 m/s, u_{2=-3 m/s. Die tweede getallepaar word gegee in die toestand van die probleem, dus stem dit nie ooreen met die werklike verspreiding van snelhede na die impak nie.}

Daarom bly net een oplossing oor: u₁=-3 m/s, u_{2=5 m/s. Hierdie eienaardige resultaat beteken dat in 'n sentrale elastiese botsing twee balle van gelyke massa eenvoudig hul snelhede verwissel.}

Momentum van momentum

Alles wat hierbo gesê is, verwys na die lineêre tipe beweging. Dit blyk egter dat soortgelyke hoeveelhede ook ingebring kan word in die geval van sirkelvormige verplasing van liggame om 'n sekere as. Die hoekmomentum, wat ook hoekmomentum genoem word, word bereken as die produk van die vektor wat die materiaalpunt verbind met die rotasie-as en die momentum van hierdie punt. Dit wil sê, die formule vind plaas:

L¯=r¯p¯, waar p¯=mv¯.

Momentum, soos p¯, is 'n vektor wat loodreg gerig is op die vlak wat gebou is op die vektore r¯ en p¯.

Die waarde van L¯ is 'n belangrike eienskap van 'n roterende stelsel, aangesien dit die energie bepaal wat daarin gestoor word.

Moment van momentum en bewaringswet

Die hoekmomentum word bewaar as geen eksterne kragte op die sisteem inwerk nie (gewoonlik sê hulle dat daar geen oomblik van kragte is nie). Die uitdrukking in die vorige paragraaf kan deur eenvoudige transformasies geskryf word in 'n vorm wat geriefliker is vir oefening:

L¯=Iω¯, waar I=mr2 die traagheidsmoment van die materiaalpunt is, ω¯ is die hoeksnelheid.

Die traagheidsmoment I, wat in die uitdrukking verskyn het, het presies dieselfde betekenis vir rotasie as die gewone massa vir lineêre beweging.

As daar enige interne herrangskikking van die stelsel is, waarin I verander, dan bly ω¯ ook nie konstant nie. Boonop vind die verandering in beide fisiese hoeveelhede plaas op so 'n manier dat die gelykheid hieronder geldig bly:

I₁ ω₁¯=I₂ ω _2¯.

Dit is die wet van behoud van hoekmomentum L¯. Die manifestasie daarvan is waargeneem deur elke persoon wat ten minste een keer ballet of figuurskaats bygewoon het, waar atlete pirouette met rotasie uitvoer.