Gereelde seskantige piramide. Formules vir volume en oppervlakte. Oplossing van 'n meetkundige probleem

2024 Outeur: Angel Austin | [email protected]. Laas verander: 2024-01-02 17:39

Stereometrie, as 'n vertakking van meetkunde in die ruimte, bestudeer die eienskappe van prismas, silinders, keëls, balle, piramides en ander driedimensionele figure. Hierdie artikel word gewy aan 'n gedetailleerde oorsig van die kenmerke en eienskappe van 'n seskantige reëlmatige piramide.

Watter piramide sal bestudeer word

'n Gereelde seskantige piramide is 'n figuur in die ruimte, wat beperk word deur een gelyksydige en gelykhoekige seshoek, en ses identiese gelykbenige driehoeke. Hierdie driehoeke kan ook onder sekere omstandighede gelyksydig wees. Hierdie piramide word hieronder getoon.

Dieselfde figuur word hier getoon, net in een geval word dit met sy laterale gesig na die leser gedraai, en in die ander - met sy laterale rand.

'n Gereelde seskantige piramide het 7 vlakke, wat hierbo genoem is. Dit het ook 7 hoekpunte en 12 rande. In teenstelling met prismas, het alle piramides een spesiale hoekpunt, wat gevorm word deur die kruising van die lateraledriehoeke. Vir 'n gereelde piramide speel dit 'n belangrike rol, aangesien die loodlyn wat daarvan na die basis van die figuur verlaag word, die hoogte is. Verder sal die hoogte met die letter h aangedui word.

Die getoonde piramide word om twee redes korrek genoem:

• aan sy basis is 'n seshoek met gelyke sylengtes a en gelyke hoeke van 120o;
• Die hoogte van die piramide h sny die seshoek presies in sy middelpunt (die snypunt lê op dieselfde afstand van alle kante en vanaf alle hoekpunte van die seshoek).

Opervlakte

Eienskappe van 'n gereelde seskantige piramide sal oorweeg word vanuit die definisie van sy area. Om dit te doen, is dit eers nuttig om die figuur op 'n vliegtuig te ontvou. 'n Skematiese voorstelling daarvan word hieronder getoon.

Dit kan gesien word dat die oppervlakte van die sweep, en dus die hele oppervlak van die figuur wat oorweeg word, gelyk is aan die som van die oppervlaktes van ses identiese driehoeke en een seshoek.

Om die oppervlakte van 'n seshoek S_{6 te bepaal, gebruik die universele formule vir 'n gereelde n-hoek:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Waar a die lengte van die sy van die seshoek is.

Die oppervlakte van 'n driehoek S₃ van die sykant kan gevind word as jy die waarde van sy hoogte ken h_b:

S₃=1/2u_ba.

Omdat al sesdriehoeke gelyk aan mekaar is, dan kry ons 'n werksuitdrukking om die oppervlakte van 'n seskantige piramide met die korrekte basis te bepaal:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Piramid volume

Net soos die area, is die volume van 'n seskantige reëlmatige piramide sy belangrike eienskap. Hierdie volume word bereken deur die algemene formule vir alle piramides en keëls. Kom ons skryf dit neer:

V=1/3S_oh.

Hier is die simbool S_o die area van die seskantige basis, dit wil sê S_o=S _6.

Deur die uitdrukking hierbo vir S_{6 in die formule vir V te vervang, kom ons by die finale gelykheid vir die bepaling van die volume van 'n reëlmatige seskantige piramide:}

V=√3/2a2h.

'n Voorbeeld van 'n meetkundige probleem

In 'n gereelde seskantige piramide is die syrand twee keer die lengte van die basiskant. Met die wete dat laasgenoemde 7 cm is, is dit nodig om die oppervlakte en volume van hierdie figuur te bereken.

Soos jy dalk kan raai, behels die oplossing van hierdie probleem die gebruik van die uitdrukkings wat hierbo verkry is vir S en V. Dit sal nietemin nie moontlik wees om dit dadelik te gebruik nie, aangesien ons nie die apotem en die hoogte van 'n gereelde seskantige piramide. Kom ons bereken hulle.

Die apotem h_b kan bepaal word deur 'n reghoekige driehoek te oorweeg wat op sye b, a/2 en h_{b gebou is. Hier is b die lengte van die syrand. Deur die toestand van die probleem te gebruik, kry ons:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14) ²-7^{2/4)=13, 555 cm.}

Die hoogte h van die piramide kan op presies dieselfde manier as 'n apoteem bepaal word, maar nou moet ons 'n driehoek met sye h, b en a, binne die piramide, oorweeg. Die hoogte sal wees:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 cm.}

Dit kan gesien word dat die berekende hoogtewaarde minder is as dié vir die apoteem, wat waar is vir enige piramide.

Nou kan jy uitdrukkings vir volume en area gebruik:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48cm^3.

Dus, om enige kenmerk van 'n gereelde seskantige piramide ondubbelsinnig te bepaal, moet jy enige twee van sy lineêre parameters ken.