Waarskynlik, die konsep van 'n afgeleide is bekend aan elkeen van ons sedert skool. Studente sukkel gewoonlik om hierdie, ongetwyfeld, baie belangrike ding te verstaan. Dit word aktief in verskeie areas van mense se lewens gebruik, en baie ingenieursontwikkelings was presies gebaseer op wiskundige berekeninge wat verkry is met die afgeleide. Maar voordat ons verder gaan met die ontleding van wat afgeleides van getalle is, hoe om dit te bereken en waar dit vir ons nuttig is, kom ons duik in die geskiedenis.
Geskiedenis
Die konsep van die afgeleide, wat die basis van wiskundige analise is, is ontdek (dit sal beter wees om te sê "uitgevind", want dit het nie in die natuur as sodanig bestaan nie) deur Isaac Newton, wat ons almal ken van die ontdekking van die wet van universele gravitasie. Dit was hy wat hierdie konsep die eerste keer in fisika toegepas het om die aard van die spoed en versnelling van liggame te verbind. En baie wetenskaplikes prys Newton steeds vir hierdie wonderlike uitvinding, want in werklikheid het hy die basis van differensiaal- en integraalrekening uitgevind, in werklikheid die basis van 'n hele gebied van wiskunde genaamd "calculus". As op daardie tydstip die Nobelprys, sou Newton dit met 'n hoë waarskynlikheid verskeie kere ontvang het.
Nie sonder ander groot geeste nie. Behalwe Newtonsulke vooraanstaande wiskundige genieë soos Leonhard Euler, Louis Lagrange en Gottfried Leibniz het aan die ontwikkeling van die afgeleide en integraal gewerk. Dit is te danke aan hulle dat ons die teorie van differensiaalrekening ontvang het in die vorm waarin dit tot vandag toe bestaan. Terloops, dit was Leibniz wat die meetkundige betekenis van die afgeleide ontdek het, wat blykbaar niks meer as die raaklyn van die helling van die raaklyn aan die grafiek van die funksie was nie.
Wat is afgeleides van getalle? Kom ons herhaal 'n bietjie wat ons by die skool deurgemaak het.
Wat is 'n afgeleide?
Hierdie konsep kan op verskeie verskillende maniere gedefinieer word. Die eenvoudigste verduideliking is dat die afgeleide die tempo van verandering van die funksie is. Stel jou 'n grafiek voor van een of ander funksie y van x. As dit nie reguit is nie, het dit 'n paar kurwes in die grafiek, periodes van toename en afname. As ons 'n oneindig klein interval van hierdie grafiek neem, sal dit 'n reguitlynsegment wees. Dus, die verhouding van die grootte van hierdie oneindig klein segment langs die y-koördinaat tot die grootte langs die x-koördinaat sal die afgeleide van hierdie funksie by 'n gegewe punt wees. As ons die funksie as 'n geheel beskou, en nie op 'n spesifieke punt nie, dan sal ons 'n afgeleide funksie kry, dit wil sê, 'n sekere afhanklikheid van y van x.
Benewens, benewens die fisiese betekenis van die afgeleide as die tempo van verandering van 'n funksie, is daar ook 'n meetkundige betekenis. Ons sal nou oor hom praat.
Meetkundige sin
Die afgeleides van getalle self verteenwoordig 'n sekere getal wat, sonder behoorlike begrip, nie dra niegeen punt. Dit blyk dat die afgeleide nie net die tempo van groei of afname van die funksie toon nie, maar ook die raaklyn van die helling van die raaklyn aan die grafiek van die funksie by 'n gegewe punt. Nie 'n baie duidelike definisie nie. Kom ons ontleed dit in meer detail. Kom ons sê ons het 'n grafiek van 'n funksie (vir interessantheid, kom ons neem 'n kromme). Dit het 'n oneindige aantal punte, maar daar is areas waar slegs een enkele punt 'n maksimum of minimum het. Deur enige so 'n punt is dit moontlik om 'n lyn te trek wat loodreg op die grafiek van die funksie by daardie punt sal wees. So 'n lyn sal 'n raaklyn genoem word. Kom ons sê ons het dit spandeer tot by die kruising met die OX-as. Dus, die hoek wat tussen die raaklyn en die OX-as verkry word, sal deur die afgeleide bepaal word. Meer presies, die raaklyn van hierdie hoek sal gelyk daaraan wees.
Kom ons praat bietjie oor spesiale gevalle en ontleed afgeleides van getalle.
Spesiale gevalle
Soos ons reeds gesê het, is afgeleides van getalle die waardes van die afgeleide op 'n spesifieke punt. Kom ons neem byvoorbeeld die funksie y=x2. Die afgeleide x is 'n getal, en in die algemene geval 'n funksie gelyk aan 2x. As ons die afgeleide moet bereken, sê, by die punt x0=1, dan kry ons y'(1)=21=2. Alles is baie eenvoudig. 'n Interessante geval is die afgeleide van 'n komplekse getal. Ons gaan nie in 'n gedetailleerde verduideliking van wat 'n komplekse getal is nie. Kom ons sê net dat dit 'n getal is wat die sogenaamde denkbeeldige eenheid bevat - 'n getal waarvan die vierkant -1 is. Die berekening van so 'n afgeleide is slegs moontlik indien die volgendevoorwaardes:
1) Daar moet eerste-orde parsiële afgeleides van die reële en denkbeeldige dele met betrekking tot Y en X wees.
2) Die Cauchy-Riemann-voorwaardes wat verband hou met die gelykheid van gedeeltelike afgeleides wat in die eerste paragraaf beskryf word, word nagekom.
Nog 'n interessante geval, hoewel nie so ingewikkeld soos die vorige een nie, is die afgeleide van 'n negatiewe getal. Trouens, enige negatiewe getal kan voorgestel word as 'n positiewe getal vermenigvuldig met -1. Wel, die afgeleide van die konstante en die funksie is gelyk aan die konstante vermenigvuldig met die afgeleide van die funksie.
Dit sal interessant wees om te leer oor die rol van die afgeleide in die alledaagse lewe, en dit is wat ons nou sal bespreek.
Aansoek
Waarskynlik betrap elkeen van ons ten minste een keer in sy lewe dat hy dink dat wiskunde waarskynlik nie vir hom nuttig sal wees nie. En so 'n ingewikkelde ding soos 'n afgeleide het waarskynlik geen toepassing nie. Trouens, wiskunde is 'n fundamentele wetenskap, en al die vrugte daarvan word hoofsaaklik ontwikkel deur fisika, chemie, sterrekunde en selfs ekonomie. Die afgeleide was die begin van wiskundige analise, wat ons die vermoë gegee het om gevolgtrekkings uit die grafieke van funksies te maak, en ons het geleer om die natuurwette te interpreteer en dit tot ons voordeel te verander danksy dit.
Gevolgtrekking
Natuurlik het almal dalk nie 'n afgeleide in die werklike lewe nodig nie. Maar wiskunde ontwikkel logika, wat beslis nodig sal wees. Dit is nie verniet dat wiskunde die koningin van die wetenskappe genoem word nie: dit vorm die basis om ander kennisgebiede te verstaan.
