Wiskunde kom uit die Oudheid. Danksy haar het argitektuur, konstruksie en militêre wetenskap 'n nuwe rondte van ontwikkeling gegee, die prestasies wat met behulp van wiskunde behaal is, het gelei tot die beweging van vooruitgang. Tot vandag toe bly wiskunde die hoofwetenskap wat in alle ander takke aangetref word.
Om opgevoed te word, begin kinders van die eerste graad geleidelik in hierdie omgewing saamsmelt. Dit is baie belangrik om wiskunde te verstaan, aangesien dit in een of ander mate by elke mens deur sy lewe voorkom. Hierdie artikel sal een van die sleutelelemente ontleed - die vind en toepassing van afgeleides. Nie elke mens kan dink hoe wyd hierdie konsep gebruik word nie. Oorweeg meer as 10 toepassings van afgeleides in sekere velde of wetenskappe.
Toepassing van die afgeleide vir die bestudering van 'n funksie
Die afgeleide is so 'n limietdie verhouding van die verhoging van 'n funksie tot die verhoging van sy argument wanneer die eksponent van die argument na nul neig. Die afgeleide is 'n onontbeerlike ding in die studie van 'n funksie. Dit kan byvoorbeeld gebruik word om die toename en afname van laasgenoemde, ekstrema, konveksiteit en konkawiteit te bepaal. Differensiaalrekening is ingesluit in die verpligte kurrikulum vir 1ste en 2de jaar studente van wiskundige universiteite.
Omvang en funksienulle
Die eerste fase van enige studie van die grafiek begin met die uitvind van die domein van definisie, in meer seldsame gevalle - die waarde. Die definisiedomein word langs die abskis-as gestel, met ander woorde, dit is numeriese waardes op die OX-as. Dikwels is die omvang reeds gestel, maar as dit nie is nie, moet die waarde van die x-argument geëvalueer word. Gestel, as vir sommige waardes van die argument die funksie nie sin maak nie, dan is hierdie argument uitgesluit van die omvang.
Nulle van die funksie word op 'n eenvoudige manier gevind: die funksie f(x) moet gelykgestel word aan nul en die resulterende vergelyking moet opgelos word met betrekking tot een veranderlike x. Die verkry wortels van die vergelyking is die nulle van die funksie, dit wil sê, in hierdie x is die funksie 0.
Verhoog en verminder
Die gebruik van die afgeleide om funksies vir eentonigheid te bestudeer, kan vanuit twee posisies oorweeg word. 'N Montoniese funksie is 'n kategorie wat slegs positiewe waardes van die afgeleide het, of slegs negatiewe waardes. In eenvoudige woorde, die funksie neem net toe of verminder net oor die hele interval wat bestudeer word:
- Verhoog parameter. Funksief(x) sal toeneem as die afgeleide van f`(x) groter as nul is.
- Daalende parameter. Die funksie f(x) sal afneem as die afgeleide van f`(x) minder as nul is.
Tangent en Helling
Die toepassing van die afgeleide vir die bestudering van 'n funksie word ook bepaal deur die raaklyn (reguit lyn gerig teen 'n hoek) aan die grafiek van die funksie by 'n gegewe punt. Tangent by 'n punt (x0) - 'n lyn wat deur 'n punt gaan en behoort aan die funksie waarvan die koördinate (x0, f(x) is 0 )) en met helling f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - die vergelyking van die raaklyn aan die gegewe punt van die grafiek van die funksie.
Meetkundige betekenis van die afgeleide: die afgeleide van die funksie f(x) is gelyk aan die helling van die gevormde raaklyn aan die grafiek van hierdie funksie by 'n gegewe punt x. Die hoekkoëffisiënt is op sy beurt gelyk aan die raaklyn van die hellingshoek van die raaklyn aan die OX-as (abskis) in die positiewe rigting. Hierdie gevolg is fundamenteel tot die toepassing van die afgeleide op die grafiek van 'n funksie.
Ekstreme punte
Om 'n afgeleide op 'n studie toe te pas, behels die vind van hoë- en laagtepunte.
Om die minimum en maksimum punte te vind en te bepaal, moet jy:
- Vind die afgeleide van die funksie f(x).
- Stel die resulterende vergelyking op nul.
- Vind die wortels van die vergelyking.
- Vind hoë en laagtepunte.
Om uiterstes te vindkenmerke:
- Vind die minimum en maksimum punte deur die metode hierbo te gebruik.
- Vervang hierdie punte in die oorspronklike vergelyking en bereken ymax en ymin
Die maksimum punt van die funksie is die grootste waarde van die funksie f(x) op die interval, met ander woorde xmax.
Die minimum punt van die funksie is die kleinste waarde van die funksie f(x) op die interval, met ander woorde xnaam
Ekstreme punte is dieselfde as die maksimum en minimum punte, en die uiterste van die funksie (ymaks. en yminimum) - funksiewaardes wat ooreenstem met ekstremumpunte.
Konveksiteit en konkawiteit
Jy kan die konveksiteit en konkawiteit bepaal deur gebruik te maak van die afgeleide vir plot:
- 'n Funksie f(x) wat op die interval (a, b) ondersoek word, is konkaaf as die funksie onder al sy raaklyne binne hierdie interval geleë is.
- Die funksie f(x) wat op die interval (a, b) bestudeer is, is konveks as die funksie bo al sy raaklyne binne hierdie interval geleë is.
Die punt wat konveksiteit en konkawiteit skei, word die buigpunt van die funksie genoem.
Om buigpunte te vind:
- Vind kritieke punte van die tweede soort (tweede afgeleide).
- Infleksiepunte is daardie kritieke punte wat twee teenoorgestelde tekens skei.
- Bereken funksiewaardes by funksiebuigpunte.
Gedeeltelike afgeleides
Aansoekdaar is afgeleides van hierdie tipe in probleme waar meer as een onbekende veranderlike gebruik word. Dikwels word sulke afgeleides teëgekom wanneer 'n funksiegrafiek geplot word, om meer presies te wees, oppervlaktes in die ruimte, waar daar in plaas van twee asse drie, dus drie hoeveelhede is (twee veranderlikes en een konstante).
Die basiese reël wanneer parsiële afgeleides bereken word, is om een veranderlike te kies en die res as konstantes te hanteer. Daarom, wanneer die parsiële afgeleide bereken word, word die konstante asof 'n numeriese waarde (in baie tabelle van afgeleides word hulle aangedui as C=const). Die betekenis van so 'n afgeleide is die tempo van verandering van die funksie z=f(x, y) langs die OX- en OY-asse, dit wil sê, dit kenmerk die steilheid van die depressies en bulte van die gekonstrueerde oppervlak.
Afgeleide in fisika
Die gebruik van die afgeleide in fisika is wydverspreid en belangrik. Fisiese betekenis: die afgeleide van die pad met betrekking tot tyd is die spoed, en die versnelling is die afgeleide van die spoed met betrekking tot tyd. Vanuit die fisiese betekenis kan baie vertakkings na verskeie vertakkings van fisika getrek word, terwyl die betekenis van die afgeleide heeltemal bewaar word.
Met die hulp van die afgeleide word die volgende waardes gevind:
- Snelheid in kinematika, waar die afgeleide van die afstand afgelê word bereken. As die tweede afgeleide van die pad of die eerste afgeleide van die spoed gevind word, dan word die versnelling van die liggaam gevind. Daarbenewens is dit moontlik om die oombliklike snelheid van 'n materiaalpunt te vind, maar hiervoor is dit nodig om die inkrement ∆t en ∆r te ken.
- In elektrodinamika:berekening van die oombliklike sterkte van die wisselstroom, sowel as die EMK van elektromagnetiese induksie. Deur die afgeleide te bereken, kan jy die maksimum drywing vind. Die afgeleide van die hoeveelheid elektriese lading is die stroomsterkte in die geleier.
Afgeleide in chemie en biologie
Chemie: Die afgeleide word gebruik om die tempo van 'n chemiese reaksie te bepaal. Die chemiese betekenis van die afgeleide: funksie p=p(t), in hierdie geval is p die hoeveelheid van 'n stof wat in 'n chemiese reaksie in tyd t ingaan. ∆t - tydtoename, ∆p - stofhoeveelheidtoename. Die limiet van die verhouding van ∆p tot ∆t, waarteen ∆t neig na nul, word die tempo van 'n chemiese reaksie genoem. Die gemiddelde waarde van 'n chemiese reaksie is die verhouding ∆p/∆t. Wanneer die spoed bepaal word, is dit nodig om presies al die nodige parameters, toestande te ken, om die totale toestand van die stof en die vloeimedium te ken. Dit is 'n redelike groot aspek in chemie, wat wyd in verskeie industrieë en menslike aktiwiteite gebruik word.
Biologie: die konsep van 'n afgeleide word gebruik om die gemiddelde reproduksietempo te bereken. Biologiese betekenis: ons het 'n funksie y=x(t). ∆t - tydtoename. Dan, met behulp van sommige transformasies, verkry ons die funksie y`=P(t)=x`(t) - die lewensbelangrike aktiwiteit van die populasie van tyd t (gemiddelde reproduksietempo). Hierdie gebruik van die afgeleide stel jou in staat om statistieke te hou, die tempo van voortplanting na te spoor, ensovoorts.
Afgeleide in geografie en ekonomie
Die afgeleide laat geograwe toe om te besluittake soos die vind van populasie, die berekening van waardes in seismografie, die berekening van radioaktiwiteit van kerngeofisiese aanwysers, die berekening van interpolasie.
In ekonomie is 'n belangrike deel van berekeninge die differensiaalrekening en die berekening van die afgeleide. Eerstens stel dit ons in staat om die grense van die nodige ekonomiese waardes te bepaal. Byvoorbeeld, die hoogste en laagste arbeidsproduktiwiteit, koste, winste. Basies word hierdie waardes bereken vanaf funksiegrafieke, waar hulle ekstrema vind, die monotonisiteit van die funksie in die verlangde area bepaal.
Gevolgtrekking
Die rol van hierdie differensiaalrekening is, soos in die artikel aangedui, betrokke by verskeie wetenskaplike strukture. Die gebruik van afgeleide funksies is 'n belangrike element in die praktiese deel van wetenskap en produksie. Dit is nie verniet dat ons op hoërskool en universiteit geleer is om komplekse grafieke te bou, funksies te verken en aan te werk nie. Soos u kan sien, sonder afgeleides en differensiële berekeninge, sou dit onmoontlik wees om belangrike aanwysers en hoeveelhede te bereken. Die mensdom het geleer om verskeie prosesse te modelleer en te verken, om komplekse wiskundige probleme op te los. Inderdaad, wiskunde is die koningin van alle wetenskappe, want hierdie wetenskap lê ten grondslag van alle ander natuurlike en tegniese dissiplines.
