In meetkunde word twee belangrike kenmerke gebruik om figure te bestudeer: die lengtes van die sye en die hoeke tussen hulle. In die geval van ruimtelike figure word dihedrale hoeke by hierdie kenmerke gevoeg. Kom ons kyk na wat dit is, en beskryf ook die metode om hierdie hoeke te bepaal deur die voorbeeld van 'n piramide te gebruik.
Die konsep van dihedrale hoek
Almal weet dat twee snylyne 'n hoek vorm met die hoekpunt by die punt van hulle sny. Hierdie hoek kan met 'n gradeboog gemeet word, of jy kan trigonometriese funksies gebruik om dit te bereken. Die hoek wat deur twee regte hoeke gevorm word, word lineêr genoem.
Stel jou nou voor dat daar in driedimensionele ruimte twee vlakke is wat in 'n reguit lyn sny. Hulle word in die prentjie gewys.
'n Tweevlakkige hoek is die hoek tussen twee vlakke wat mekaar sny. Net soos lineêr, word dit in grade of radiale gemeet. As na enige punt van die lyn waarlangs die vlakke sny, herstel twee loodregte,lê in hierdie vlakke, dan sal die hoek tussen hulle die gewenste tweevlak wees. Die maklikste manier om hierdie hoek te bepaal, is om die algemene vergelykings van vlakke te gebruik.
Die vergelyking van vlakke en die formule vir die hoek tussen hulle
Die vergelyking van enige vlak in die ruimte in algemene terme word soos volg geskryf:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Hier is x, y, z die koördinate van punte wat aan die vlak behoort, die koëffisiënte A, B, C, D is 'n paar bekende getalle. Die gerief van hierdie gelykheid vir die berekening van dihedrale hoeke is dat dit eksplisiet die koördinate van die rigtingvektor van die vlak bevat. Ons sal dit met n¯ aandui. Toe:
n¯=(A; B; C).
Die vektor n¯ is loodreg op die vlak. Die hoek tussen twee vlakke is gelyk aan die hoek tussen hul rigtingvektore n1¯ en n2¯. Dit is bekend uit wiskunde dat die hoek wat deur twee vektore gevorm word, uniek bepaal word uit hul skalêre produk. Dit laat jou toe om 'n formule te skryf vir die berekening van die dihedrale hoek tussen twee vlakke:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
As ons die koördinate van die vektore vervang, sal die formule eksplisiet geskryf word:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Die modulo-teken in die teller word gebruik om slegs 'n skerp hoek te definieer, aangesien 'n dihedrale hoek altyd kleiner as of gelyk aan 90 iso.
Piramide en sy hoeke
Piramide is 'n figuur wat deur een n-hoek en n driehoeke gevorm word. Hier is n 'n heelgetal gelyk aan die aantal sye van die veelhoek wat die basis van die piramide is. Hierdie ruimtelike figuur is 'n veelvlak of veelvlak, aangesien dit uit plat vlakke (sye) bestaan.
Die tweehoekige hoeke van 'n piramide-veelvlak kan van twee tipes wees:
- tussen basis en sy (driehoek);
- tussen twee kante.
As die piramide as gereeld beskou word, is dit maklik om die genoemde hoeke daarvoor te bepaal. Om dit te doen, deur die koördinate van drie bekende punte te gebruik, moet 'n mens 'n vergelyking van vlakke saamstel, en dan die formule wat in die paragraaf hierbo gegee word vir die hoek φ gebruik.
Hieronder gee ons 'n voorbeeld waarin ons wys hoe om tweehoekige hoeke by die basis van 'n vierhoekige reëlmatige piramide te vind.
'n Vierhoekige reëlmatige piramide en 'n hoek by sy basis
Veronderstel dat 'n gereelde piramide met 'n vierkantige basis gegee word. Die lengte van die sy van die vierkant is a, die hoogte van die figuur is h. Vind die hoek tussen die basis van die piramide en sy sy.
Kom ons plaas die oorsprong van die koördinaatstelsel in die middel van die vierkant. Dan die koördinate van die punteA, B, C, D wat in die prentjie gewys word, sal wees:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Oorweeg die vliegtuie ACB en ADB. Dit is duidelik dat die rigtingvektor n1¯ vir die ACB-vlak sal wees:
1¯=(0; 0; 1).
Om die rigtingvektor n2¯ van die ADB-vlak te bepaal, gaan soos volg voort: vind twee arbitrêre vektore wat daaraan behoort, byvoorbeeld AD¯ en AB¯, bereken dan hul vektorwerk. Die resultaat sal die koördinate n2¯ gee. Ons het:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Aangesien vermenigvuldiging en deling van 'n vektor deur 'n getal nie sy rigting verander nie, transformeer ons die resulterende n2¯, deur sy koördinate deur -a te deel, kry ons:
2¯=(h; 0; a/2).
Ons het vektorgidse n1¯ en n2¯ vir die ACB-basis- en ADB-syvlakke gedefinieer. Dit bly om die formule vir die hoek φ te gebruik:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Transformeer die resulterende uitdrukking en skryf dit so oor:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Ons het die formule vir die tweehoekige hoek by die basis vir 'n gereelde vierhoekige piramide verkry. As jy die hoogte van die figuur en die lengte van sy sy ken, kan jy die hoek φ bereken. Byvoorbeeld, vir die piramide van Cheops, waarvan die basis sy 230,4 meter is, en die aanvanklike hoogte 146,5 meter was, sal die hoek φ 51,8o wees.
Dit is ook moontlik om die tweehoekige hoek vir 'n vierhoekige reëlmatige piramide met behulp van die meetkundige metode te bepaal. Om dit te doen, is dit voldoende om 'n reghoekige driehoek te oorweeg wat gevorm word deur hoogte h, die helfte van die lengte van die basis a/2 en die apoteem van 'n gelykbenige driehoek.
