'n Driehoek is 'n veelhoek met drie sye (drie hoeke). Meestal word die sye met klein letters aangedui, wat ooreenstem met die hoofletters wat teenoorgestelde hoekpunte aandui. In hierdie artikel gaan ons kennis maak met die tipes van hierdie meetkundige vorms, 'n stelling wat bepaal wat die som van die hoeke van 'n driehoek is.
Aansigte volgens hoeke
Die volgende tipes veelhoeke met drie hoekpunte word onderskei:
- skerp-hoek, waarin alle hoeke skerp is;
- reghoekig, met een regte hoek, terwyl die sye wat dit vorm bene genoem word, en die sy wat teenoor die regte hoek geplaas is, word die skuinssy genoem;
- stomp wanneer een hoek stomp is;
- gelykbenige, waarin twee sye gelyk is, en hulle word sywaarts genoem, en die derde is die basis van die driehoek;
- gelyksydig, met al drie gelyke sye.
Properties
Hulle beklemtoon die hoofeienskappe wat kenmerkend is van elke tipe driehoek:
- oorkant die groter kant is daar altyd 'n groter hoek, en omgekeerd;
- teenoorstaande sye van gelyke grootte is gelyke hoeke, en omgekeerd;
- enige driehoek het twee skerp hoeke;
- 'n buitehoek is groter as enige binnehoek wat nie aangrensend daaraan is nie;
- die som van enige twee hoeke is altyd minder as 180 grade;
- buitenste hoek is gelyk aan die som van die ander twee hoeke wat nie daarmee sny nie.
Driehoeksom van hoeke-stelling
Die stelling stel dat as jy al die hoeke van 'n gegewe meetkundige figuur, wat op die Euklidiese vlak geleë is, bymekaartel, hulle som 180 grade sal wees. Kom ons probeer om hierdie stelling te bewys.
Kom ons het 'n arbitrêre driehoek met hoekpunte van KMN.
Trek deur die hoekpunt M 'n reguitlyn parallel met die reguitlyn KN (hierdie lyn word ook die Euklidiese reguitlyn genoem). Ons merk punt A daarop op so 'n manier dat punte K en A aan verskillende kante van die reguitlyn MN geleë is. Ons kry gelyke hoeke AMN en KNM, wat, soos internes, dwars lê en gevorm word deur die sekant MN saam met reguit lyne KH en MA, wat ewewydig is. Hieruit volg dit dat die som van die hoeke van die driehoek geleë by die hoekpunte M en H gelyk is aan die grootte van die hoek KMA. Al drie hoeke vorm die som, wat gelyk is aan die som van die hoeke KMA en MKN. Aangesien hierdie hoeke binne eensydig is t.o.vparallelle reguit lyne KN en MA met 'n sekant KM, hul som is 180 grade. Stelling bewys.
Gevolg
Die volgende uitvloeisel volg uit die stelling wat hierbo bewys is: enige driehoek het twee skerphoeke. Om dit te bewys, kom ons neem aan dat 'n gegewe meetkundige figuur net een skerp hoek het. Daar kan ook aanvaar word dat nie een van die hoeke skerp is nie. In hierdie geval moet daar ten minste twee hoeke wees wat gelyk is aan of groter as 90 grade. Maar dan sal die som van die hoeke groter as 180 grade wees. Maar dit kan nie wees nie, want volgens die stelling is die som van die hoeke van 'n driehoek 180 ° - nie meer en nie minder nie. Dit is wat bewys moes word.
Eksterne hoekeiendom
Wat is die som van die hoeke van 'n driehoek wat ekstern is? Hierdie vraag kan op een van twee maniere beantwoord word. Die eerste is dat dit nodig is om die som van die hoeke te vind, wat een by elke hoekpunt geneem word, dit wil sê drie hoeke. Die tweede impliseer dat jy die som van al ses hoeke by die hoekpunte moet vind. Kom ons gaan eers met die eerste opsie. Dus, die driehoek bevat ses eksterne hoeke - twee by elke hoekpunt.
Elke paar het gelyke hoeke omdat hulle vertikaal is:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Dit is boonop bekend dat die eksterne hoek van 'n driehoek gelyk is aan die som van twee interne hoeke wat nie daarmee sny nie. Daarom
∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Hieruit blyk dit dat die som van eksternehoeke, wat een by elke hoekpunt geneem word, sal gelyk wees aan:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Gegewe dat die som van die hoeke 180 grade is, kan daar geargumenteer word dat ∟A + ∟B + ∟C=180°. En dit beteken dat ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. As die tweede opsie gebruik word, sal die som van die ses hoeke onderskeidelik twee keer so groot wees. Dit wil sê, die som van die eksterne hoeke van die driehoek sal wees:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Regte driehoek
Wat is die som van die skerphoeke van 'n reghoekige driehoek? Die antwoord op hierdie vraag volg weereens uit die stelling, wat sê dat die hoeke in 'n driehoek 180 grade optel. En ons stelling (eienskap) klink so: in 'n reghoekige driehoek tel skerp hoeke op tot 90 grade. Kom ons bewys die waarheid daarvan.
Kom ons kry 'n driehoek KMN, waarin ∟Н=90°. Dit is nodig om te bewys dat ∟K + ∟M=90°.
Dus, volgens die hoeksomstelling ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Ons toestand sê dat ∟Н=90°. So dit blyk, ∟K + ∟M + 90°=180°. Dit wil sê, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Dit is wat ons moes bewys.
Benewens die bogenoemde eienskappe van 'n reghoekige driehoek, kan jy die volgende byvoeg:
- hoeke wat teen die bene lê, is skerp;
- die skuinssy is meer driehoekig as enige van die bene;
- die som van die bene is groter as die skuinssy;
- been'n driehoek wat teenoor 'n hoek van 30 grade lê, is die helfte van die skuinssy, dit wil sê gelyk aan die helfte daarvan.
As nog 'n eienskap van hierdie meetkundige figuur, kan die Pythagoras-stelling onderskei word. Sy noem dat in 'n driehoek met 'n hoek van 90 grade (reghoekig), die som van die vierkante van die bene gelyk is aan die vierkant van die skuinssy.
Die som van die hoeke van 'n gelykbenige driehoek
Vroeër het ons gesê dat gelykbenig 'n veelhoek is met drie hoekpunte, wat twee gelyke sye bevat. Hierdie eienskap van 'n geometriese figuur is bekend: die hoeke by sy basis is gelyk. Kom ons bewys dit.
Neem die driehoek KMN, wat gelykbenig is, KN is sy basis.
Daar word van ons verwag om te bewys dat ∟К=∟Н. So, kom ons sê dat MA die middellyn van ons driehoek KMN is. Die MCA-driehoek, met inagneming van die eerste teken van gelykheid, is gelyk aan die MCA-driehoek. By voorwaarde word naamlik gegee dat KM=NM, MA 'n gemeenskaplike sy is, ∟1=∟2, aangesien MA 'n middellyn is. Deur die feit te gebruik dat hierdie twee driehoeke gelyk is, kan ons sê dat ∟K=∟Н. So die stelling is bewys.
Maar ons stel belang in wat die som is van die hoeke van 'n driehoek (gelykbenig). Aangesien dit in hierdie opsig nie sy eie eienaardighede het nie, sal ons begin by die stelling wat vroeër oorweeg is. Dit wil sê, ons kan sê dat ∟K + ∟M + ∟H=180°, of 2 x ∟K + ∟M=180° (aangesien ∟K=∟H). Ons sal nie hierdie eienskap bewys nie, aangesien die driehoeksomstelling self vroeër bewys is.
Behalwe soos bespreekeienskappe oor die hoeke van 'n driehoek, is daar ook sulke belangrike stellings:
- in 'n gelykbenige driehoek is die hoogte wat na die basis verlaag is beide die mediaan, die middellyn van die hoek wat tussen gelyke sye is, sowel as die simmetrie-as van sy basis;
- mediane (halslyne, hoogtes) wat na die kante van so 'n meetkundige figuur geteken word, is gelyk.
Gelyksydige driehoek
Dit word ook reg genoem, dit is die driehoek met alle sye gelyk. Daarom is die hoeke ook gelyk. Elkeen is 60 grade. Kom ons bewys hierdie eiendom.
Veronderstel dat ons 'n driehoek KMN het. Ons weet dat KM=NM=KN. En dit beteken dat volgens die eienskap van die hoeke wat by die basis in 'n gelykbenige driehoek geleë is, ∟К=∟М=∟Н. Aangesien, volgens die stelling, die som van die hoeke van 'n driehoek ∟К + ∟М + ∟Н=180° is, dan is 3 x ∟К=180° of ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ N=60°. Sodoende is die stelling bewys.
Soos jy kan sien uit bogenoemde bewys gebaseer op die stelling, is die som van die hoeke van 'n gelyksydige driehoek, soos die som van die hoeke van enige ander driehoek, 180 grade. Dit is nie nodig om hierdie stelling weer te bewys nie.
Daar is ook sulke eienskappe kenmerkend van 'n gelyksydige driehoek:
- mediaan, middellyn, hoogte in so 'n meetkundige figuur is dieselfde, en hul lengte word bereken as (a x √3): 2;
- as jy 'n sirkel om 'n gegewe veelhoek beskryf, dan sal sy radius weesis gelyk aan (a x √3): 3;
- as jy 'n sirkel in 'n gelyksydige driehoek inskryf, sal die radius daarvan ('n x √3) wees: 6;
- die oppervlakte van hierdie meetkundige figuur word bereken deur die formule: (a2 x √3): 4.
Rugtighoekige driehoek
Volgens die definisie van 'n stomp driehoek is een van sy hoeke tussen 90 en 180 grade. Maar aangesien die ander twee hoeke van hierdie meetkundige figuur skerp is, kan ons aflei dat hulle nie 90 grade oorskry nie. Daarom werk die driehoeksom van hoeke-stelling wanneer die som van hoeke in 'n stomp driehoek bereken word. Dit blyk dat ons veilig kan sê, gebaseer op die voorgenoemde stelling, dat die som van die hoeke van 'n stomp driehoek 180 grade is. Weereens, hierdie stelling hoef nie weer bewys te word nie.
