Te oordeel aan die gewildheid van die versoek "Fermat se stelling - 'n kort bewys", is hierdie wiskundige probleem werklik vir baie van belang. Hierdie stelling is die eerste keer in 1637 deur Pierre de Fermat op die rand van 'n kopie van Rekenkunde gestel, waar hy beweer het dat hy 'n oplossing het wat te groot was om op die rand te pas.
Die eerste suksesvolle bewys is in 1995 gepubliseer – dit was die volledige bewys van Fermat se Stelling deur Andrew Wiles. Dit is beskryf as "verstommende vordering" en het daartoe gelei dat Wiles die Abel-prys in 2016 ontvang het. Alhoewel dit relatief kort beskryf is, het die bewys van Fermat se stelling ook baie van die modulariteitstelling bewys en nuwe benaderings tot talle ander probleme en effektiewe metodes vir die opheffing van modulariteit oopgemaak. Hierdie prestasies het wiskunde 100 jaar in die toekoms bevorder. Die bewys van Fermat se klein stelling vandag is nieis iets buitengewoon.
Die onopgeloste probleem het die ontwikkeling van algebraïese get alteorie in die 19de eeu gestimuleer en die soeke na 'n bewys van die modulariteitstelling in die 20ste eeu. Dit is een van die mees noemenswaardige stellings in die geskiedenis van wiskunde, en tot die volledige verdelingsbewys van Fermat se Laaste Stelling was dit in die Guinness Book of Records as "die moeilikste wiskundige probleem", waarvan een van die kenmerke is dat dit het die grootste aantal onsuksesvolle bewyse.
Historiese agtergrond
Pythagoreese vergelyking x2 + y2=z2 het 'n oneindige aantal positiewe heelgetaloplossings vir x, y en z. Hierdie oplossings staan bekend as Pythagorese drie-eenheid. Omstreeks 1637 het Fermat aan die rand van die boek geskryf dat die meer algemene vergelyking a + b =cgeen oplossings in natuurlike getalle as n 'n heelgetal groter as 2 is. Alhoewel Fermat self beweer het dat hy 'n oplossing vir sy probleem het, het hy geen besonderhede oor die bewys daarvan gelaat nie. Die elementêre bewys van Fermat se stelling, wat deur die skepper daarvan geëis is, was eerder sy grootpraterige uitvinding. Die boek van die groot Franse wiskundige is 30 jaar na sy dood ontdek. Hierdie vergelyking, wat Fermat se Laaste Stelling genoem word, het drie en 'n half eeue lank onopgelos in wiskunde gebly.
Die stelling het uiteindelik een van die mees noemenswaardige onopgeloste probleme in wiskunde geword. Pogings om dit te bewys het 'n beduidende ontwikkeling van get alteorie veroorsaak, en met die gedeeltetyd het Fermat se laaste stelling bekend geword as 'n onopgeloste probleem in wiskunde.
'n Kort geskiedenis van bewyse
As n=4, soos deur Fermat self bewys, is dit voldoende om die stelling vir indekse n wat priemgetalle is, te bewys. Oor die volgende twee eeue (1637-1839) is die vermoede slegs vir die priemgetalle 3, 5 en 7 bewys, hoewel Sophie Germain 'n benadering opgedateer en bewys het wat op die hele klas priemgetalle van toepassing was. In die middel van die 19de eeu het Ernst Kummer dit uitgebrei en die stelling vir alle reëlmatige priemgetalle bewys, waardeur onreëlmatige priemgetalle individueel ontleed is. Op grond van Kummer se werk en deur gebruik te maak van gesofistikeerde rekenaarnavorsing, kon ander wiskundiges die oplossing van die stelling uitbrei, met die doel om al die hoofeksponente tot vier miljoen te dek, maar die bewyse vir alle eksponente was steeds nie beskikbaar nie (wat beteken dat wiskundiges gewoonlik beskou as die oplossing van die stelling as onmoontlik, uiters moeilik of onbereikbaar met huidige kennis).
Die werk van Shimura en Taniyama
In 1955 het Japannese wiskundiges Goro Shimura en Yutaka Taniyama vermoed dat daar 'n verband was tussen elliptiese krommes en modulêre vorms, twee baie verskillende vertakkings van wiskunde. Dit was destyds bekend as die Taniyama-Shimura-Weyl vermoede en (uiteindelik) as die modulariteitstelling, en het op sy eie bestaan, met geen oënskynlike verband met Fermat se laaste stelling nie. Dit self is algemeen beskou as 'n belangrike wiskundige stelling, maar dit is (soos Fermat se stelling) as onmoontlik beskou om te bewys. DaaropTerselfdertyd is die bewys van Fermat se Laaste Stelling (deur komplekse wiskundige formules te verdeel en toe te pas) slegs 'n halwe eeu later uitgevoer.
In 1984 het Gerhard Frey 'n ooglopende verband tussen hierdie twee voorheen onverwante en onopgeloste probleme opgemerk. 'n Volledige bevestiging dat die twee stellings nou verwant was, is in 1986 gepubliseer deur Ken Ribet, wat gebaseer is op 'n gedeeltelike bewys deur Jean-Pierre Serra, wat alles behalwe een deel bewys het, bekend as die "epsilon-hipotese". Eenvoudig gestel, hierdie werke van Frey, Serra en Ribe het getoon dat as die modulariteitstelling bewys kon word, ten minste vir 'n semistable klas elliptiese krommes, die bewys van Fermat se laaste stelling ook vroeër of later ontdek sou word. Enige oplossing wat Fermat se laaste stelling kan weerspreek, kan ook gebruik word om die modulariteitstelling te weerspreek. As die modulariteitstelling dus waar blyk te wees, dan kan daar per definisie nie 'n oplossing wees wat Fermat se laaste stelling weerspreek nie, wat beteken dat dit binnekort bewys moes gewees het.
Alhoewel albei stellings moeilike probleme in wiskunde was, wat as onoplosbaar beskou word, was die werk van die twee Japannese die eerste voorstel van hoe Fermat se laaste stelling uitgebrei en bewys kon word vir alle getalle, nie net sommige nie. Belangrik vir die navorsers wat die onderwerp van studie gekies het, was die feit dat, in teenstelling met Fermat se laaste stelling, die modulariteitstelling die belangrikste aktiewe gebied van navorsing was, waarvoorbewyse is ontwikkel, en nie net historiese vreemdheid nie, dus kon die tyd wat aan haar werk spandeer word vanuit 'n professionele oogpunt geregverdig word. Die algemene konsensus was egter dat die oplossing van die Taniyama-Shimura vermoede onvanpas geblyk het.
Plaas se laaste stelling: Wiles se bewys
Nadat hy verneem het dat Ribet Frey se teorie korrek bewys het, het die Engelse wiskundige Andrew Wiles, wat sedert kinderjare in Fermat se Laaste Stelling belanggestel het en ondervinding het om met elliptiese krommes en aangrensende domeine te werk, besluit om die Taniyama-Shimura te probeer bewys. Vermoede as 'n manier om Fermat se Laaste Stelling te bewys. In 1993, ses jaar nadat hy sy doelwit aangekondig het, terwyl hy in die geheim gewerk het aan die probleem om die stelling op te los, het Wiles daarin geslaag om 'n verwante vermoede te bewys, wat hom weer sou help om Fermat se laaste stelling te bewys. Wiles se dokument was groot in grootte en omvang.
'n Fout is tydens portuurbeoordeling in een deel van sy oorspronklike referaat ontdek en het nog 'n jaar se samewerking met Richard Taylor vereis om die stelling gesamentlik op te los. As gevolg hiervan het Wiles se finale bewys van Fermat se Laaste Stelling nie lank laat kom nie. In 1995 is dit op 'n baie kleiner skaal as Wiles se vorige wiskundige werk gepubliseer, wat illustreer dat hy nie verkeerd was in sy vorige gevolgtrekkings oor die moontlikheid om die stelling te bewys nie. Wiles se prestasie is wyd in die populêre pers gepubliseer en in boeke en televisieprogramme gewild gemaak. Die oorblywende dele van die Taniyama-Shimura-Weil vermoede, wat nou bewys is enbekend as die modulariteitstelling, is daarna bewys deur ander wiskundiges wat tussen 1996 en 2001 op Wiles se werk voortgebou het. Vir sy prestasie is Wiles vereer en het talle toekennings ontvang, insluitend die 2016 Abel-prys.
Wiles se bewys van Fermat se laaste stelling is 'n spesiale geval van die oplossing van die modulariteitstelling vir elliptiese krommes. Dit is egter die bekendste geval van so 'n grootskaalse wiskundige bewerking. Saam met die oplossing van Ribe se stelling het die Britse wiskundige ook 'n bewys van Fermat se laaste stelling gekry. Fermat se Laaste Stelling en Modulariteitstelling is byna universeel deur moderne wiskundiges as onbewysbaar beskou, maar Andrew Wiles kon aan die wetenskaplike wêreld bewys dat selfs kenners verkeerd kan wees.
Wyles het die eerste keer sy ontdekking aangekondig op Woensdag 23 Junie 1993 by 'n Cambridge-lesing getiteld "Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations". In September 1993 is egter gevind dat sy berekeninge 'n fout bevat. 'n Jaar later, op 19 September 1994, in wat hy sou noem "die belangrikste oomblik van sy werkslewe," het Wiles afgekom op 'n openbaring wat hom in staat gestel het om die oplossing vir die probleem reg te stel tot die punt waar dit die wiskundige bevrediging kon bevredig. gemeenskap.
Werkbeskrywing
Bewys van Fermat se Stelling deur Andrew Wiles gebruik baie metodes uit algebraïese meetkunde en get alteorie en het baie gevolge in hierdieareas van wiskunde. Hy gebruik ook die standaardkonstruksies van moderne algebraïese meetkunde, soos die kategorie van skemas en die Iwasawa-teorie, asook ander metodes van die 20ste eeu wat nie vir Pierre de Fermat beskikbaar was nie.
Die twee artikels wat die bewyse bevat, is 129 bladsye lank en is oor die verloop van sewe jaar geskryf. John Coates het hierdie ontdekking beskryf as een van die grootste prestasies van get alteorie, en John Conway het dit die belangrikste wiskundige prestasie van die 20ste eeu genoem. Wiles het, om Fermat se laaste stelling te bewys deur die modulariteitstelling vir die spesiale geval van semistable elliptiese krommes te bewys, kragtige metodes ontwikkel om modulariteit op te hef en nuwe benaderings tot talle ander probleme oop te maak. Vir die oplossing van Fermat se laaste stelling is hy tot ridder geslaan en het ander toekennings ontvang. Toe dit bekend word dat Wiles die Abel-prys gewen het, het die Noorse Akademie vir Wetenskappe sy prestasie beskryf as "'n verruklike en elementêre bewys van Fermat se laaste stelling."
Hoe dit was
Een van die mense wat Wiles se oorspronklike manuskrip met die oplossing van die stelling hersien het, was Nick Katz. In die loop van sy resensie het hy die Brit 'n aantal ophelderende vrae gevra wat Wiles laat erken het dat sy werk duidelik 'n leemte bevat. In een kritieke deel van die bewys is 'n fout gemaak wat 'n skatting vir die volgorde van 'n spesifieke groep gegee het: die Euler-stelsel wat gebruik is om die Kolyvagin- en Flach-metode uit te brei, was onvolledig. Die fout het egter nie sy werk nutteloos gemaak nie – elke stuk van Wiles se werk was op sigself baie betekenisvol en innoverend, soos baieontwikkelings en metodes wat hy in die loop van sy werk geskep het en wat slegs een deel van die manuskrip geraak het. Hierdie oorspronklike werk, wat in 1993 gepubliseer is, het egter nie werklik 'n bewys van Fermat se Laaste Stelling gehad nie.
Wyles het byna 'n jaar daaraan bestee om 'n oplossing vir die stelling te herontdek, eers alleen en toe in samewerking met sy voormalige student Richard Taylor, maar dit het gelyk of alles tevergeefs was. Teen die einde van 1993 het gerugte die ronde gedoen dat Wiles se bewys in die toets misluk het, maar hoe ernstig daardie mislukking was, was nie bekend nie. Wiskundiges het druk op Wiles begin uitoefen om die besonderhede van sy werk bekend te maak, of dit gedoen is of nie, sodat die breër gemeenskap van wiskundiges kon verken en gebruik wat hy ook al kon bereik. In plaas daarvan om sy fout vinnig reg te stel, het Wiles net bykomende moeilike aspekte in die bewys van Fermat se Laaste Stelling ontdek, en uiteindelik besef hoe moeilik dit was.
Wyles verklaar dat hy op die oggend van 19 September 1994 op die punt was om moed op te gee en op te gee, en hy was byna gelate om te misluk. Hy was gereed om sy onvoltooide werk te publiseer sodat ander daarop kon voortbou en uitvind waar hy verkeerd was. Die Engelse wiskundige het besluit om homself 'n laaste kans te gee en die stelling vir oulaas ontleed om die hoofredes te probeer verstaan waarom sy benadering nie werk nie, toe hy skielik besef dat die Kolyvagin-Flac-benadering nie sal werk totdat hysal ook Iwasawa se teorie by die bewysproses insluit, wat dit laat werk.
Op 6 Oktober het Wiles drie kollegas (insluitend F altins) gevra om sy nuwe werk te hersien, en op 24 Oktober 1994 het hy twee manuskripte ingedien - "Modulêre elliptiese kurwes en Fermat se laaste stelling" en "Teoretiese eienskappe van die ring of some Hecke algebras", die tweede waarvan Wiles saam met Taylor geskryf het en bewys het dat daar aan sekere voorwaardes voldoen is om die gekorrigeerde stap in die hoofartikel te regverdig.
Hierdie twee referate is hersien en uiteindelik gepubliseer as 'n volteksuitgawe in die Mei 1995 Annals of Mathematics. Andrew se nuwe berekeninge is wyd ontleed en uiteindelik deur die wetenskaplike gemeenskap aanvaar. In hierdie vraestelle is die modulariteitstelling vir semistable elliptiese krommes vasgestel - die laaste stap om Fermat se Laaste Stelling te bewys, 358 jaar nadat dit geskep is.
Geskiedenis van die Groot Probleem
Die oplossing van hierdie stelling word al vir baie eeue as die grootste probleem in wiskunde beskou. In 1816 en in 1850 het die Franse Akademie vir Wetenskappe 'n prys aangebied vir 'n algemene bewys van Fermat se Laaste Stelling. In 1857 het die Akademie 3 000 frank en 'n goue medalje aan Kummer toegeken vir sy navorsing oor ideale getalle, hoewel hy nie vir die prys aansoek gedoen het nie. Nog 'n prys is in 1883 deur die Brusselse Akademie aan hom aangebied.
Wolfskell-prys
In 1908 het die Duitse nyweraar en amateurwiskundige Paul Wolfskel 100 000 goue punte bemaak ('n groot bedrag vir daardie tyd)Akademie vir Wetenskappe van Göttingen, sodat hierdie geld 'n prys word vir die volledige bewys van Fermat se laaste stelling. Op 27 Junie 1908 het die Akademie nege toekenningsreëls gepubliseer. Hierdie reëls het onder meer vereis dat die bewys in 'n eweknie-geëvalueerde tydskrif gepubliseer moet word. Die prys sou slegs twee jaar ná publikasie toegeken word. Die kompetisie sou op 13 September 2007 verstryk – sowat’n eeu nadat dit begin het. Op 27 Junie 1997 het Wiles Wolfschel se prysgeld ontvang en toe nog $50 000. In Maart 2016 het hy €600 000 van die Noorweegse regering ontvang as deel van die Abelprys vir "'n ongelooflike bewys van Fermat se laaste stelling met die hulp van die modulariteitsvooruitsig vir semistable elliptiese krommes, wat 'n nuwe era in get alteorie oopmaak." Dit was die wêreldtriomf van die nederige Engelsman.
Voor Wiles se bewys is Fermat se stelling, soos vroeër genoem, vir eeue as absoluut onoplosbaar beskou. Duisende verkeerde getuienis op verskillende tye is aan die Wolfskell-komitee voorgelê, wat ongeveer 10 voet (3 meter) se korrespondensie beloop het. Slegs in die eerste jaar van die bestaan van die prys (1907-1908) is 621 aansoeke ingedien wat daarop aanspraak maak dat hulle die stelling opgelos het, hoewel hul getal teen die 1970's afgeneem het tot ongeveer 3-4 aansoeke per maand. Volgens F. Schlichting, Wolfschel se resensent, was die meeste van die bewyse gebaseer op elementêre metodes wat in skole onderrig word en is dit dikwels voorgehou as “mense met tegniese agtergronde maar onsuksesvolle loopbane”. Volgens die historikus van wiskunde Howard Aves, die laasteFermat se stelling het 'n soort rekord opgestel - dit is die stelling met die grootste aantal verkeerde bewyse.
Plaas se louere het na die Japannese gegaan
Soos vroeër genoem, het Japannese wiskundiges Goro Shimura en Yutaka Taniyama omstreeks 1955 'n moontlike verband tussen twee oënskynlik heeltemal verskillende vertakkings van wiskunde ontdek - elliptiese krommes en modulêre vorms. Die gevolglike modulariteitstelling (toe bekend as die Taniyama-Shimura vermoede) stel dat elke elliptiese kromme modulêr is, wat beteken dat dit met 'n unieke modulêre vorm geassosieer kan word.
Die teorie is aanvanklik as onwaarskynlik of hoogs spekulatief afgemaak, maar is ernstiger opgeneem toe get alteoretikus André Weil bewyse gevind het om die Japannese gevolgtrekkings te ondersteun. As gevolg hiervan is daar dikwels na die hipotese verwys as die Taniyama-Shimura-Weil-hipotese. Sy het deel geword van die Langlands-program, wat 'n lys van belangrike hipoteses is wat in die toekoms bewys moet word.
Selfs na ernstige ondersoek, is die vermoede deur moderne wiskundiges erken as uiters moeilik, of dalk ontoeganklik vir bewys. Nou wag hierdie spesifieke stelling vir sy Andrew Wiles, wat die hele wêreld met sy oplossing kan verras.
Fermat se Stelling: Perelman se bewys
Ondanks die gewilde mite het die Russiese wiskundige Grigory Perelman, ondanks al sy genialiteit, niks met Fermat se stelling te doen nie. Wat egter geensins afbreuk daaraan doen nie.talle bydraes tot die wetenskaplike gemeenskap.
