In die wiskundige beskrywing van rotasiebeweging is dit belangrik om die traagheidsmoment van die sisteem om die as te ken. In die algemene geval behels die prosedure om hierdie hoeveelheid te vind die implementering van die integrasieproses. Die sogenaamde Steiner-stelling maak dit makliker om te bereken. Kom ons oorweeg dit in meer besonderhede in die artikel.
Wat is traagheidsmoment?
Voordat die formulering van Steiner se stelling gegee word, is dit nodig om met die konsep van die traagheidsmoment te handel. Gestel daar is een of ander liggaam van 'n sekere massa en arbitrêre vorm. Hierdie liggaam kan óf 'n materiële punt óf enige tweedimensionele of driedimensionele voorwerp (staaf, silinder, bal, ens.) wees. As die betrokke voorwerp 'n sirkelbeweging om een of ander as maak met konstante hoekversnelling α, dan kan die volgende vergelyking geskryf word:
M=Iα
Hier verteenwoordig die waarde M die totale moment van kragte, wat versnelling α aan die hele stelsel gee. Die koëffisiënt van proporsionaliteit tussen hulle - I, word genoemtraagheidsmoment. Hierdie fisiese hoeveelheid word bereken deur die volgende algemene formule te gebruik:
I=∫m (r2dm)
Hier is r die afstand tussen die element met massa dm en die rotasie-as. Hierdie uitdrukking beteken dat dit nodig is om die som van die produkte van die kwadraatafstande r2 en die elementêre massa dm te vind. Dit wil sê, die traagheidsmoment is nie 'n suiwer eienskap van die liggaam nie, wat dit van lineêre traagheid onderskei. Dit hang af van die verspreiding van massa deur die voorwerp wat roteer, sowel as van die afstand na die as en van die oriëntasie van die liggaam relatief tot dit. Byvoorbeeld, 'n staaf sal 'n ander I hê as dit om die massamiddelpunt en om die punt gedraai word.
Traagheidsmoment en Steiner se stelling
Die beroemde Switserse wiskundige, Jakob Steiner, het die stelling oor parallelle asse en die traagheidsmoment, wat nou sy naam dra, bewys. Hierdie stelling postuleer dat die traagheidsmoment vir absoluut enige rigiede liggaam van arbitrêre geometrie relatief tot een of ander rotasie-as gelyk is aan die som van die traagheidsmoment om die as wat die massamiddelpunt van die liggaam sny en parallel is met die eerste, en die produk van die liggaamsmassa keer die kwadraat van die afstand tussen hierdie asse. Wiskundig word hierdie formulering soos volg geskryf:
IZ=IO + ml2
IZ en IO - traagheidsmomente om die Z-as en die O-as parallel daaraan, wat verbygaan deur die massamiddelpunt van die liggaam, l - afstand tussen lyne Z en O.
Die stelling laat toe om, met die wete van die waarde van IO, te berekenenige ander oomblik IZ om 'n as wat parallel met O is.
Bewys van die stelling
Die Steiner-stellingformule kan maklik deur jouself verkry word. Om dit te doen, oorweeg 'n arbitrêre liggaam op die xy-vlak. Laat die oorsprong van koördinate deur die massamiddelpunt van hierdie liggaam gaan. Kom ons bereken die traagheidsmoment IO wat deur die oorsprong loodreg op die xy-vlak gaan. Aangesien die afstand na enige punt van die liggaam uitgedruk word deur die formule r=√ (x2 + y2), dan kry ons die integraal:
IO=∫m (r2dm)=∫ m ((x2+y2) dm)
Kom ons beweeg nou die as parallel langs die x-as met 'n afstand l, byvoorbeeld, in die positiewe rigting, dan sal die berekening vir die nuwe as van die traagheidsmoment so lyk:
IZ=∫m(((x+l)2+y 2)dm)
Brei die volle vierkant tussen hakies uit en deel die integrande, ons kry:
IZ=∫m ((x2+l 2+2xl+y2)dm)=∫m ((x2) +y2)dm) + 2l∫m (xdm) + l 2∫mdm
Die eerste van hierdie terme is die waarde IO, die derde term, na integrasie, gee die term l2m, en hier is die tweede term nul. Die nulstelling van die gespesifiseerde integraal is te wyte aan die feit dat dit geneem is uit die produk van x en massa-elemente dm, wat ingemiddeld gee nul, aangesien die massamiddelpunt by die oorsprong is. As gevolg hiervan word die formule van die Steiner-stelling verkry.
Die beskoude geval op die vliegtuig kan veralgemeen word na 'n driedimensionele liggaam.
Kontroleer die Steiner-formule op die voorbeeld van 'n staaf
Kom ons gee 'n eenvoudige voorbeeld om te demonstreer hoe om die stelling hierbo te gebruik.
Dit is bekend dat vir 'n staaf met lengte L en massa m, die traagheidsmoment IO(die as gaan deur die massamiddelpunt) gelyk is aan m L2 /12, en die oomblik IZ(die as gaan deur die punt van die staaf) is gelyk aan mL 2/3. Kom ons kontroleer hierdie data deur Steiner se stelling te gebruik. Aangesien die afstand tussen die twee asse L/2 is, kry ons die oomblik IZ:
IZ=IO+ m(L/2)2=mL2/12 + mL2/4=4mL2 /12=mL2/3
Dit wil sê, ons het die Steiner-formule nagegaan en dieselfde waarde vir IZ gekry as in die bron.
Soortgelyke berekeninge kan vir ander liggame (silinder, bal, skyf) uitgevoer word, terwyl die nodige traagheidsmomente verkry word, en sonder om integrasie uit te voer.
traagheidsmoment en loodregte asse
Die oorwoë stelling het betrekking op parallelle asse. Vir volledigheid van inligting is dit ook nuttig om 'n stelling vir loodregte asse te gee. Dit word soos volg geformuleer: vir 'n plat voorwerp van arbitrêre vorm sal die traagheidsmoment om 'n as loodreg daarop gelyk wees aan die som van twee traagheidsmomente ongeveer twee onderling loodreg en liggendein die vlak van die asse-voorwerp, met al drie asse wat deur dieselfde punt gaan. Wiskundig word dit soos volg geskryf:
Iz=Ix + Iy
Hier is z, x, y drie onderling loodregte rotasie-asse.
Die wesenlike verskil tussen hierdie stelling en Steiner se stelling is dat dit slegs van toepassing is op plat (tweedimensionele) soliede voorwerpe. Nietemin, in die praktyk word dit wyd gebruik, deur die liggaam verstandelik in aparte lae te sny, en dan die verkrygde traagheidsmomente by te voeg.
