Afstand tussen parallelle lyne. Afstand tussen parallelle vlakke

INHOUDSOPGAWE:

Afstand tussen parallelle lyne. Afstand tussen parallelle vlakke
Afstand tussen parallelle lyne. Afstand tussen parallelle vlakke
Anonim

Lyn en vlak is die twee belangrikste geometriese elemente wat gebruik kan word om verskillende vorms in 2D- en 3D-ruimte te konstrueer. Oorweeg hoe om die afstand tussen parallelle lyne en parallelle vlakke te vind.

Wiskundetaak reguitlyn

Uit die skoolmeetkundekursus is dit bekend dat in 'n tweedimensionele reghoekige koördinaatstelsel 'n lyn in die volgende vorm gespesifiseer kan word:

y=kx + b.

Waar k en b getalle (parameters) is. Die geskrewe vorm van die voorstelling van 'n lyn in 'n vlak is 'n vlak wat parallel is aan die z-as in driedimensionele ruimte. In die lig hiervan sal ons in hierdie artikel, vir die wiskundige toewysing van 'n reguit lyn, 'n meer gerieflike en universele vorm gebruik - 'n vektor een.

Veronderstel dat ons lyn parallel is met een of ander vektor u¯(a, b, c) en gaan deur die punt P(x0, y0, z0). In hierdie geval, in vektorvorm, sal sy vergelyking soos volg voorgestel word:

(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).

Hier is λ enige getal. As ons die koördinate eksplisiet voorstel deur die geskrewe uitdrukking uit te brei, sal ons 'n parametriese vorm kry om 'n reguit lyn te skryf.

Dit is gerieflik om met 'n vektorvergelyking te werk wanneer verskeie probleme opgelos word waarin dit nodig is om die afstand tussen parallelle lyne te bepaal.

Lyne en die afstand tussen hulle

Parallelle lyne in 'n vliegtuig
Parallelle lyne in 'n vliegtuig

Dit maak sin om slegs oor die afstand tussen lyne te praat wanneer hulle parallel is (in die driedimensionele geval is daar ook 'n nie-nul afstand tussen skewe lyne). As die lyne sny, is dit duidelik dat hulle op nul afstand van mekaar is.

Die afstand tussen parallelle lyne is die lengte van die loodlyn wat hulle verbind. Om hierdie aanwyser te bepaal, is dit genoeg om 'n arbitrêre punt op een van die lyne te kies en 'n loodlyn daarvan na 'n ander te laat val.

Kom ons beskryf kortliks die prosedure om die verlangde afstand te vind. Gestel ons ken die vektorvergelykings van twee lyne, wat in die volgende algemene vorm aangebied word:

(x, y, z)=P + λu¯;

(x, y, z)=Q + βv¯.

Konstrueer 'n parallelogram op hierdie lyne sodat een van die sye PQ is, en die ander, byvoorbeeld, u. Dit is duidelik dat die hoogte van hierdie figuur, getrek vanaf die punt P, die lengte van die vereiste loodlyn is. Om dit te vind, kan jy die volgende eenvoudig toepasformule:

d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.

Aangesien die afstand tussen reguitlyne die lengte is van die loodregte segment tussen hulle, is dit volgens die geskrewe uitdrukking genoeg om die modulus van die vektorproduk van PQ¯ en u¯ te vind en die resultaat te deel deur die lengte van die vektor u¯.

'n Voorbeeld van 'n taak om die afstand tussen reguit lyne te bepaal

Afstand tussen parallelle lyne
Afstand tussen parallelle lyne

Twee reguitlyne word gegee deur die volgende vektorvergelykings:

(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);

(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).

Uit die geskrewe uitdrukkings is dit duidelik dat ons twee parallelle lyne het. Inderdaad, as ons die koördinate van die rigtingvektor van die eerste lyn met -1 vermenigvuldig, kry ons die koördinate van die rigtingvektor van die tweede lyn, wat hul parallelisme aandui.

Die afstand tussen reguit lyne sal bereken word deur die formule wat in die vorige paragraaf van die artikel geskryf is, te gebruik. Ons het:

P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);

u¯=(-2, 1, 3).

Dan kry ons:

|u¯|=√14cm;

d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.

Let daarop dat in plaas van punte P en Q, absoluut enige punte wat aan hierdie lyne behoort gebruik kan word om die probleem op te los. In hierdie geval sal ons dieselfde afstand d kry.

Stel 'n vlak in meetkunde

Vlak, punt en normaal
Vlak, punt en normaal

Die vraag oor die afstand tussen die lyne is hierbo breedvoerig bespreek. Kom ons wys nou hoe om die afstand tussen parallelle vlakke te vind.

Almal verteenwoordig wat 'n vliegtuig is. Volgens die wiskundige definisie is die gespesifiseerde meetkundige element 'n versameling punte. Verder, as jy alle moontlike vektore saamstel deur hierdie punte te gebruik, sal almal loodreg op een enkele vektor wees. Laasgenoemde word gewoonlik die normaal tot die vliegtuig genoem.

Om die vergelyking van 'n vlak in driedimensionele ruimte te spesifiseer, word die algemene vorm van die vergelyking meestal gebruik. Dit lyk so:

Ax + By + Cz + D=0.

Waar Latynse hoofletters sommige syfers is. Dit is gerieflik om hierdie soort vlakvergelyking te gebruik omdat die koördinate van die normale vektor eksplisiet daarin gegee word. Hulle is A, B, C.

Dit is maklik om te sien dat twee vlakke ewewydig is slegs wanneer hul normale parallel is.

Hoe om die afstand tussen twee parallelle vlakke te vind?

Parallelle vliegtuie
Parallelle vliegtuie

Om die gespesifiseerde afstand te bepaal, moet jy duidelik verstaan wat op die spel is. Die afstand tussen vlakke wat parallel aan mekaar is, word verstaan as die lengte van die segment loodreg daarop. Die punte van hierdie segment behoort aan vliegtuie.

Die algoritme om sulke probleme op te los is eenvoudig. Om dit te doen, moet jy die koördinate vind van absoluut enige punt wat aan een van die twee vlakke behoort. Dan moet jy hierdie formule gebruik:

d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).

Aangesien die afstand 'n positiewe waarde is, is die modulusteken in die teller. Die geskrewe formule is universeel, aangesien dit jou toelaat om die afstand van die vliegtuig tot absoluut enige meetkundige element te bereken. Dit is genoeg om die koördinate van een punt van hierdie element te ken.

Volledigheidshalwe, let ons daarop dat indien die normale van twee vlakke nie parallel aan mekaar is nie, sulke vlakke sal sny. Die afstand tussen hulle sal dan nul wees.

Die probleem om die afstand tussen vliegtuie te bepaal

Parallelle en kruisende vlakke
Parallelle en kruisende vlakke

Dit is bekend dat twee vlakke deur die volgende uitdrukkings gegee word:

y/5 + x/(-3) + z/1=1;

-x + 3/5y + 3z – 2=0.

Dit is nodig om te bewys dat die vlakke parallel is, en ook om die afstand tussen hulle te bepaal.

Om die eerste deel van die probleem te beantwoord, moet jy die eerste vergelyking na 'n algemene vorm bring. Let daarop dat dit in die sogenaamde vorm van 'n vergelyking in segmente gegee word. Vermenigvuldig sy linker- en regterdele met 15 en skuif alle terme na een kant van die vergelyking, ons kry:

-5x + 3y + 15z – 15=0.

Kom ons skryf die koördinate van twee normale vektore van die vlakke uit:

1¯=(-5, 3, 15);

2¯=(-1, 3/5, 3).

Dit kan gesien word dat as n2¯ met 5 vermenigvuldig word, dan sal ons presies die koördinate kry n1¯. Dus, die oorweegse vliegtuie isparallel.

Om die afstand tussen parallelle vlakke te bereken, kies 'n arbitrêre punt van die eerste van hulle en gebruik die formule hierbo. Kom ons neem byvoorbeeld die punt (0, 0, 1) wat aan die eerste vlak behoort. Dan kry ons:

d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=

=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.

Gewenste afstand is 31 mm.

Afstand tussen vliegtuig en lyn

Parallelle vlak en lyn
Parallelle vlak en lyn

Die teoretiese kennis wat verskaf word, stel ons ook in staat om die probleem op te los om die afstand tussen 'n reguitlyn en 'n vlak te bepaal. Daar is reeds hierbo genoem dat die formule wat geld vir berekeninge tussen vlakke universeel is. Dit kan ook gebruik word om die probleem op te los. Om dit te doen, kies net enige punt wat aan die gegewe lyn behoort.

Die hoofprobleem in die bepaling van die afstand tussen die beskoude meetkundige elemente is die bewys van hul parallelisme (indien nie, dan d=0). Parallelisme is maklik om te bewys as jy die skalaarproduk van die normaal en die rigtingvektor vir die lyn bereken. As die elemente wat oorweeg word parallel is, sal hierdie produk gelyk aan nul wees.

Aanbeveel: