'n Vlak, saam met 'n punt en 'n reguit lyn, is 'n basiese geometriese element. Met die gebruik daarvan word baie figure in ruimtelike meetkunde gebou. In hierdie artikel sal ons die vraag oor hoe om 'n hoek tussen twee vlakke te vind in meer besonderhede oorweeg.
Konsep
Voordat jy oor die hoek tussen twee vlakke praat, moet jy goed verstaan van watter element in meetkunde ons praat. Kom ons verstaan die terminologie. 'n Vliegtuig is 'n eindelose versameling punte in die ruimte, wat verbind wat ons vektore kry. Laasgenoemde sal loodreg op een of ander vektor wees. Dit word algemeen die normaal tot die vliegtuig genoem.
Die figuur hierbo toon 'n vlak en twee normale vektore daarvoor. Dit kan gesien word dat beide vektore op dieselfde reguit lyn lê. Die hoek tussen hulle is 180o.
Equations
Die hoek tussen twee vlakke kan bepaal word as die wiskundige vergelyking van die geometriese element bekend is. Daar is verskeie tipes sulke vergelykings,wie se name hieronder gelys word:
- algemene tipe;
- vektor;
- in segmente.
Hierdie drie tipes is die gerieflikste om verskeie soorte probleme op te los, daarom word hulle die meeste gebruik.
'n Algemene tipe vergelyking lyk soos volg:
Ax + By + Cz + D=0.
Hier is x, y, z die koördinate van 'n arbitrêre punt wat aan die gegewe vlak behoort. Parameters A, B, C en D is getalle. Die gerief van hierdie notasie is geleë in die feit dat die getalle A, B, C die koördinate is van 'n vektor loodreg op die vlak.
Die vektorvorm van die vlak kan soos volg voorgestel word:
x, y, z)=(x0, y0, z0) + α(a1, b1, c1) + β(a 2, b2, c2).
Hier (a2, b2, c2) en (a) 1, b1, c1) - parameters van twee koördinaatvektore wat aan die oorweegse vlak behoort. Die punt (x0, y0, z0) lê ook in hierdie vlak. Parameters α en β kan onafhanklike en arbitrêre waardes neem.
Laastens word die vergelyking van die vlak in segmente in die volgende wiskundige vorm voorgestel:
x/p + y/q + z/l=1.
Hier is p, q, l spesifieke getalle (insluitend negatiewe). Hierdie soort vergelyking is nuttig wanneer dit nodig is om 'n vlak in 'n reghoekige koördinaatstelsel uit te beeld, aangesien die getalle p, q, l die snypunte met die x-, y- en z-asse toonvliegtuig.
Let daarop dat elke tipe vergelyking na enige ander omgeskakel kan word deur eenvoudige wiskundige bewerkings te gebruik.
Formule vir die hoek tussen twee vlakke
Oorweeg nou die volgende nuanse. In driedimensionele ruimte kan twee vlakke op slegs twee maniere geleë wees. Sny óf óf parallel. Tussen twee vlakke is die hoek wat tussen hul gidsvektore geleë is (normaal). Snijdende, 2 vektore vorm 2 hoeke (akut en stomp in die algemene geval). Die hoek tussen die vlakke word as skerp beskou. Beskou die vergelyking.
Die formule vir die hoek tussen twee vlakke is:
θ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|)).
Dit is maklik om te raai dat hierdie uitdrukking 'n direkte gevolg is van die skalêre produk van die normale vektore n1¯ en n2 ¯ vir die oorweegse vliegtuie. Die modulus van die puntproduk in die teller dui aan dat die hoek θ slegs waardes sal neem vanaf 0o tot 90o. Die produk van moduli van normaalvektore in die noemer beteken die produk van hul lengtes.
Let op, as (n1¯n2¯)=0, dan sny die vlakke teen 'n regte hoek.
Voorbeeldprobleem
Nadat ons uitgevind het wat die hoek tussen twee vlakke genoem word, sal ons die volgende probleem oplos. As 'n voorbeeld. Dit is dus nodig om die hoek tussen sulke vlakke te bereken:
2x - 3y + 4=0;
(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).
Om die probleem op te los, moet jy die rigtingvektore van die vlakke ken. Vir die eerste vlak is die normale vektor: n1¯=(2, -3, 0). Om die tweede vlaknormale vektor te vind, moet 'n mens die vektore na die parameters α en β vermenigvuldig. Die resultaat is 'n vektor: n2¯=(5, -3, 2).
Om die hoek θ te bepaal, gebruik ons die formule van die vorige paragraaf. Ons kry:
θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=
=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.
Die berekende hoek in radiale stem ooreen met 31.26o. Dus sny die vlakke van die toestand van die probleem teen 'n hoek van 31, 26o.
