Een van die algemene probleme in stereometrie is die take om reguit lyne en vlakke te kruis en die hoeke tussen hulle te bereken. Kom ons kyk in hierdie artikel in meer besonderhede na die sogenaamde koördinaatmetode en die hoeke tussen die lyn en die vlak.
Lyn en vlak in meetkunde
Voordat jy die koördinaatmetode en die hoek tussen 'n lyn en 'n vlak oorweeg, moet jy kennis maak met die genoemde meetkundige voorwerpe.
'n Lyn is so 'n versameling punte in die ruimte of op 'n vlak, wat elkeen verkry kan word deur die vorige een lineêr na 'n sekere vektor oor te dra. In wat volg, dui ons hierdie vektor aan met die simbool u¯. As hierdie vektor vermenigvuldig word met enige getal wat nie gelyk is aan nul nie, dan kry ons 'n vektor parallel aan u¯. 'n Lyn is 'n lineêre oneindige voorwerp.
'n Vliegtuig is ook 'n versameling punte wat op so 'n manier geleë is dat as jy arbitrêre vektore daaruit opmaak, dan sal almal loodreg op een of ander vektor n¯ wees. Laasgenoemde word normaal of bloot normaal genoem.'n Vlak, anders as 'n reguit lyn, is 'n tweedimensionele oneindige voorwerp.
Koördineermetode om meetkundeprobleme op te los
Gegrond op die naam van die metode self, kan ons aflei dat ons praat van 'n metode om probleme op te los, wat gebaseer is op die prestasie van analitiese opeenvolgende berekeninge. Met ander woorde, die koördinaatmetode laat jou toe om meetkundige probleme op te los deur gebruik te maak van universele algebra-gereedskap, waarvan die hoofvergelykings is.
Daar moet op gelet word dat die metode wat oorweeg word aan die begin van moderne meetkunde en algebra verskyn het. 'n Groot bydrae tot die ontwikkeling daarvan is gemaak deur Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton en Leibniz in die 17de-18de eeue.
Die kern van die metode is om die afstande, hoeke, oppervlaktes en volumes van meetkundige elemente te bereken, gebaseer op die koördinate van bekende punte. Let daarop dat die vorm van die finale vergelykings wat verkry word, afhang van die koördinaatstelsel. Meestal word die reghoekige Cartesiese stelsel in probleme gebruik, aangesien dit die gerieflikste is om mee te werk.
Lynvergelyking
Oorweging van die koördinaatmetode en die hoeke tussen die lyn en die vlak, kom ons begin met die opstel van die vergelyking van die lyn. Daar is verskeie maniere om lyne in algebraïese vorm voor te stel. Hier beskou ons slegs die vektorvergelyking, aangesien dit maklik in enige ander vorm daaruit verkry kan word en maklik is om mee te werk.
Veronderstel dat daar twee punte is: P en Q. Dit is bekend dat 'n lyn daardeur getrek kan word, en ditsal die enigste wees. Die ooreenstemmende wiskundige voorstelling van die element lyk soos volg:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Waar PQ¯ 'n vektor is waarvan die koördinate soos volg verkry word:
PQ¯=Q - P.
Die simbool λ dui 'n parameter aan wat absoluut enige getal kan neem.
In die geskrewe uitdrukking kan jy die rigting van die vektor verander, en ook die koördinate Q vervang in plaas van die punt P. Al hierdie transformasies sal nie lei tot 'n verandering in die geometriese ligging van die lyn nie.
Let daarop dat wanneer probleme opgelos word, dit soms vereis word om die geskrewe vektorvergelyking in 'n eksplisiete (parametriese) vorm voor te stel.
Stel 'n vliegtuig in die ruimte
Sowel as vir 'n reguit lyn, is daar ook verskeie vorme van wiskundige vergelykings vir 'n vlak. Onder hulle let ons op die vektor, die vergelyking in segmente en die algemene vorm. In hierdie artikel sal ons veral aandag gee aan die laaste vorm.
'n Algemene vergelyking vir 'n arbitrêre vlak kan soos volg geskryf word:
Ax + By + Cz + D=0.
Latynse hoofletters is sekere syfers wat 'n vlak definieer.
Die gerief van hierdie notasie is dat dit eksplisiet 'n vektor loodreg op die vlak bevat. Dit is gelyk aan:
n¯=(A, B, C).
Om hierdie vektor te ken maak dit moontlik om, deur kortliks na die vergelyking van die vlak te kyk, die ligging van laasgenoemde in die koördinaatstelsel voor te stel.
Onderlinge reëling inspasie van lyn en vlak
In die volgende paragraaf van die artikel gaan ons oor na die oorweging van die koördinaatmetode en die hoek tussen die lyn en die vlak. Hier sal ons die vraag beantwoord hoe die geometriese elemente in die ruimte geleë kan wees. Daar is drie maniere:
- Die reguit lyn sny die vliegtuig. Deur die koördinaatmetode te gebruik, kan jy bereken by watter enkele punt die lyn en die vlak sny.
- Die vlak van 'n reguit lyn is parallel. In hierdie geval het die stelsel van vergelykings van meetkundige elemente geen oplossing nie. Om parallelisme te bewys, word die eienskap van die skalaarproduk van die rigtingvektor van die reguitlyn en die normaal van die vlak gewoonlik gebruik.
- Die vliegtuig bevat 'n lyn. Deur die stelsel van vergelykings in hierdie geval op te los, sal ons tot die gevolgtrekking kom dat vir enige waarde van die parameter λ, die korrekte gelykheid verkry word.
In die tweede en derde gevalle is die hoek tussen die gespesifiseerde meetkundige voorwerpe gelyk aan nul. In die eerste geval lê dit tussen 0 en 90o.
Berekening van hoeke tussen lyne en vlakke
Kom ons gaan nou direk na die onderwerp van die artikel. Enige snypunt van 'n lyn en 'n vlak vind teen een of ander hoek plaas. Hierdie hoek word gevorm deur die reguit lyn self en die projeksie daarvan op die vlak. 'n Projeksie kan verkry word as vanaf enige punt van 'n reguit lyn 'n loodlyn op die vlak laat sak word, en dan deur die verkrygde snypunt van die vlak en die loodlyn en die snypunt van die vlak en die oorspronklike lyn, teken 'n reguit lyn wat 'n projeksie sal wees.
Om die hoeke tussen lyne en vlakke te bereken is nie 'n moeilike taak nie. Om dit op te los, is dit genoeg om die vergelykings van die ooreenstemmende meetkundige voorwerpe te ken. Kom ons sê hierdie vergelykings lyk soos volg:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Die verlangde hoek word maklik gevind deur die eienskap van die produk van die skalêre vektore u¯ en n¯ te gebruik. Die finale formule lyk soos volg:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Hierdie formule sê dat die sinus van die hoek tussen 'n lyn en 'n vlak gelyk is aan die verhouding van die modulus van die skalêre produk van die gemerkte vektore tot die produk van hul lengtes. Om te verstaan hoekom sinus in plaas van cosinus verskyn het, kom ons blaai na die figuur hieronder.
Dit kan gesien word dat as ons die cosinusfunksie toepas, ons die hoek tussen die vektore u¯ en n¯ sal kry. Die verlangde hoek θ (α in die figuur) word soos volg verkry:
θ=90o- β.
Die sinus verskyn as gevolg van die toepassing van die reduksieformules.
Voorbeeldprobleem
Kom ons gaan oor na die praktiese gebruik van die verworwe kennis. Kom ons los 'n tipiese probleem op oor die hoek tussen 'n reguitlyn en 'n vlak. Die volgende koördinate van vier punte word gegee:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Dit is bekend dat deur punte PQM'n vliegtuig gaan daardeur, en 'n reguit lyn gaan deur MN. Deur die koördinaatmetode te gebruik, moet die hoek tussen die vlak en die lyn bereken word.
Eers, kom ons skryf die vergelykings van die reguit lyn en die vlak neer. Vir 'n reguit lyn is dit maklik om dit saam te stel:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Om die vergelyking van die vliegtuig te maak, vind ons eers die normaal daarvan. Die koördinate daarvan is gelyk aan die vektorproduk van twee vektore wat in die gegewe vlak lê. Ons het:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Kom ons vervang nou die koördinate van enige punt wat daarin lê in die vergelyking van die algemene vlak om die waarde van die vrye term D: te kry
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Die vlakvergelyking is:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Dit bly om die formule toe te pas vir die hoek wat gevorm word by die snypunt van 'n reguit lyn en 'n vlak om die antwoord op die probleem te kry. Ons het:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Deur hierdie probleem as voorbeeld te gebruik, het ons gewys hoe om die koördinaatmetode te gebruik om meetkundige probleme op te los.
