In meetkunde, na 'n punt, is 'n reguit lyn miskien die eenvoudigste element. Dit word gebruik in die konstruksie van enige komplekse figure op die vliegtuig en in driedimensionele ruimte. In hierdie artikel sal ons die algemene vergelyking van 'n reguit lyn oorweeg en 'n paar probleme oplos deur dit te gebruik. Kom ons begin!
Reguitlyn in meetkunde
Almal weet dat vorms soos reghoek, driehoek, prisma, kubus ensovoorts gevorm word deur reguit lyne te sny. 'n Reguitlyn in meetkunde is 'n eendimensionele voorwerp wat verkry kan word deur 'n sekere punt oor te dra na 'n vektor wat dieselfde of teenoorgestelde rigting het. Om hierdie definisie beter te verstaan, stel jou voor dat daar 'n punt P in die ruimte is. Neem 'n arbitrêre vektor u¯ in hierdie spasie. Dan kan enige punt Q van die lyn verkry word as gevolg van die volgende wiskundige bewerkings:
Q=P + λu¯.
Hier is λ 'n arbitrêre getal wat positief of negatief kan wees. As gelykheidskryf hierbo in terme van koördinate, dan kry ons die volgende vergelyking van 'n reguit lyn:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Hierdie gelykheid word die vergelyking van 'n reguit lyn in vektorvorm genoem. En die vektor u¯ word 'n gids genoem.
Algemene vergelyking van 'n reguitlyn in 'n vlak
Elke student kan dit sonder enige moeite neerskryf. Maar meestal word die vergelyking so geskryf:
y=kx + b.
Waar k en b arbitrêre getalle is. Die nommer b word die gratis lid genoem. Die parameter k is gelyk aan die raaklyn van die hoek wat gevorm word deur die snyding van die reguitlyn met die x-as.
Bogenoemde vergelyking word uitgedruk met betrekking tot die veranderlike y. As ons dit in 'n meer algemene vorm aanbied, kry ons die volgende notasie:
Ax + By + C=0.
Dit is maklik om aan te toon dat hierdie vorm van die skryf van die algemene vergelyking van 'n reguit lyn op 'n vlak maklik omskep word in die vorige vorm. Om dit te doen, moet die linker- en regterdele deur die faktor B gedeel word en y uitgedruk word.
Die figuur hierbo toon 'n reguit lyn wat deur twee punte gaan.
'n lyn in 3D-ruimte
Kom ons gaan voort met ons studie. Ons het die vraag oorweeg hoe die vergelyking van 'n reguit lyn in 'n algemene vorm op 'n vlak gegee word. As ons die notasie wat in die vorige paragraaf van die artikel gegee is vir die ruimtelike geval toepas, wat sal ons kry? Alles is eenvoudig - nie meer 'n reguit lyn nie, maar 'n vliegtuig. Inderdaad, die volgende uitdrukking beskryf 'n vlak wat parallel aan die z-as is:
Ax + By + C=0.
As C=0, dan gaan so 'n vliegtuig verbydeur die z-as. Dit is 'n belangrike kenmerk.
Hoe om dan te wees met die algemene vergelyking van 'n reguit lyn in die ruimte? Om te verstaan hoe om dit te vra, moet jy iets onthou. Twee vlakke sny langs 'n sekere reguit lyn. Wat beteken dit? Slegs dat die algemene vergelyking die resultaat is van die oplossing van 'n stelsel van twee vergelykings vir vlakke. Kom ons skryf hierdie stelsel:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Hierdie stelsel is die algemene vergelyking van 'n reguit lyn in die ruimte. Let daarop dat die vlakke nie parallel aan mekaar moet wees nie, dit wil sê, hul normale vektore moet teen een of ander hoek relatief tot mekaar skuins wees. Andersins sal die stelsel geen oplossings hê nie.
Hierbo het ons die vektorvorm van die vergelyking vir 'n reguitlyn gegee. Dit is gerieflik om te gebruik wanneer hierdie stelsel opgelos word. Om dit te doen, moet jy eers die vektorproduk van die normale van hierdie vlakke vind. Die resultaat van hierdie bewerking sal 'n rigtingvektor van 'n reguitlyn wees. Dan moet enige punt wat aan die lyn behoort, bereken word. Om dit te doen, moet jy enige van die veranderlikes gelyk stel aan 'n sekere waarde, die twee oorblywende veranderlikes kan gevind word deur die verminderde stelsel op te los.
Hoe om 'n vektorvergelyking in 'n algemene een te vertaal? Nuanses
Dit is 'n werklike probleem wat kan ontstaan as jy die algemene vergelyking van 'n reguit lyn moet skryf deur die bekende koördinate van twee punte te gebruik. Kom ons wys hoe hierdie probleem opgelos word met 'n voorbeeld. Laat die koördinate van twee punte bekend wees:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Vergelyking in vektorvorm is redelik maklik om saam te stel. Die rigtingvektorkoördinate is:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Let op dat daar geen verskil is as ons die Q-koördinate van die koördinate van die punt P aftrek nie, die vektor sal net sy rigting na die teenoorgestelde verander. Nou moet jy enige punt neem en die vektorvergelyking neerskryf:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Om die algemene vergelyking van 'n reguit lyn te skryf, moet die parameter λ in beide gevalle uitgedruk word. En vergelyk dan die resultate. Ons het:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(j-j1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Dit bly net om die hakies oop te maak en al die terme van die vergelyking na die een kant van die vergelyking oor te dra om 'n algemene uitdrukking te verkry vir 'n reguit lyn wat deur twee bekende punte gaan.
In die geval van 'n driedimensionele probleem, word die oplossingsalgoritme bewaar, slegs die resultaat daarvan sal 'n stelsel van twee vergelykings vir vlakke wees.
Taak
Dit is nodig om 'n algemene vergelyking te maak'n reguit lyn wat die x-as sny by (-3, 0) en parallel aan die y-as is.
Kom ons begin die probleem oplos deur die vergelyking in vektorvorm te skryf. Aangesien die lyn parallel aan die y-as is, sal die rigtingvektor daarvoor die volgende wees:
u¯=(0, 1).
Dan sal die verlangde reël soos volg geskryf word:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Kom ons vertaal nou hierdie uitdrukking in 'n algemene vorm, hiervoor druk ons die parameter λ: uit
- x=-3;
- y=λ.
Dus, enige waarde van die veranderlike y behoort aan die lyn, maar slegs die enkele waarde van die veranderlike x stem daarmee ooreen. Daarom sal die algemene vergelyking die vorm aanneem:
x + 3=0.
Probleem met 'n reguit lyn in die spasie
Dit is bekend dat twee snyvlakke gegee word deur die volgende vergelykings:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Dit is nodig om die vektorvergelyking van die reguitlyn waarlangs hierdie vlakke sny, te vind. Kom ons begin.
Soos dit gesê is, is die algemene vergelyking van 'n reguit lyn in driedimensionele ruimte reeds gegee in die vorm van 'n stelsel van twee met drie onbekendes. Eerstens bepaal ons die rigtingvektor waarlangs die vlakke sny. Deur die vektorkoördinate van die normale met die vlakke te vermenigvuldig, kry ons:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Aangesien die vermenigvuldiging van 'n vektor met 'n negatiewe getal sy rigting omkeer, kan ons skryf:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Aanom 'n vektoruitdrukking vir 'n reguit lyn te vind, moet 'n mens, benewens die rigtingvektor, 'n punt van hierdie reguit lyn ken. Vind aangesien die koördinate daarvan moet voldoen aan die stelsel vergelykings in die toestand van die probleem, dan sal ons hulle vind. Byvoorbeeld, kom ons plaas x=0, dan kry ons:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Dus, die punt wat aan die verlangde reguit lyn behoort het die koördinate:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Dan kry ons die antwoord op hierdie probleem, die vektorvergelyking van die verlangde lyn sal soos volg lyk:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Die korrektheid van die oplossing kan maklik nagegaan word. Om dit te doen, moet jy 'n arbitrêre waarde van die parameter λ kies en die verkrygde koördinate van die punt van die reguit lyn vervang in beide vergelykings vir die vlakke, jy sal 'n identiteit in beide gevalle kry.
