Om die afstand van 'n punt na 'n vlak of na 'n reguit lyn te ken, stel jou in staat om die volume en oppervlakte van figure in die ruimte te bereken. Die berekening van hierdie afstand in meetkunde word uitgevoer met behulp van die ooreenstemmende vergelykings vir die gespesifiseerde meetkundige voorwerpe. In die artikel sal ons wys watter formules gebruik kan word om dit te bepaal.
Lyn- en vlakvergelykings
Voordat ons formules gee om die afstand van 'n punt na 'n vlak en na 'n lyn te bepaal, kom ons wys watter vergelykings hierdie voorwerpe beskryf.
Om 'n punt te definieer, word 'n stel koördinate in die gegewe stelsel van koördinaat-asse gebruik. Hier sal ons slegs die Cartesiese reghoekige stelsel oorweeg waarin die asse dieselfde eenheidsvektore het en onderling loodreg is. Op 'n vliegtuig word 'n arbitrêre punt beskryf deur twee koördinate, in die ruimte - deur drie.
Verskillende tipes vergelykings word gebruik om 'n reguit lyn te definieer. In ooreenstemming met die onderwerp van die artikel, bied ons aanslegs twee van hulle, wat in tweedimensionele ruimte gebruik word om lyne te definieer.
Vektorvergelyking. Dit het die volgende notasie:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Die eerste term hier verteenwoordig die koördinate van 'n bekende punt wat op die lyn lê. Die tweede term is die rigtingvektorkoördinate vermenigvuldig met 'n arbitrêre getal λ.
Algemene vergelyking. Die notasie daarvan is soos volg:
Ax + By + C=0;
waar A, B, C 'n paar koëffisiënte is.
Die algemene vergelyking word meer dikwels gebruik om lyne op 'n vlak te bepaal, maar om die afstand van 'n punt na 'n lyn op 'n vlak te vind, is dit geriefliker om met 'n vektoruitdrukking te werk.
'n Vlak in driedimensionele ruimte kan ook op verskeie wiskundige maniere geskryf word. Nietemin is daar meestal in probleme 'n algemene vergelyking, wat soos volg geskryf word:
Ax + By + Cz + D=0.
Die voordeel van hierdie notasie in verhouding tot die ander is dat dit eksplisiet die koördinate van 'n vektor loodreg op die vlak bevat. Hierdie vektor word 'n gids daarvoor genoem, dit val saam met die rigting van die normaal, en sy koördinate is gelyk aan (A; B; C).
Let daarop dat die uitdrukking hierbo saamval met die vorm van die skryf van 'n algemene vergelyking vir 'n reguit lyn in tweedimensionele ruimte, so wanneer jy probleme oplos, moet jy versigtig wees om nie hierdie meetkundige voorwerpe te verwar nie.
Afstand tussen punt en lyn
Kom ons wys hoe om die afstand tussen 'n reguit lyn enpunt in tweedimensionele ruimte.
Laat daar 'n punt Q(x1; y1) wees en 'n reël gegee deur:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Die afstand tussen 'n lyn en 'n punt word verstaan as die lengte van 'n segment loodreg op hierdie lyn, daarop verlaag vanaf die punt Q.
Voordat jy hierdie afstand bereken, moet jy die Q-koördinate in hierdie vergelyking vervang. As hulle dit bevredig, dan behoort Q tot die gegewe lyn, en die ooreenstemmende afstand is gelyk aan nul. As die koördinate van die punt nie tot gelykheid lei nie, dan is die afstand tussen meetkundige voorwerpe nie-nul. Dit kan met die formule bereken word:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Hier is P 'n arbitrêre punt van die reguitlyn, wat die begin van die vektor PQ¯ is. Die vektor u¯ is 'n gidssegment vir 'n reguit lyn, dit wil sê sy koördinate is (a; b).
Die gebruik van hierdie formule vereis die vermoë om die kruisproduk in die teller te bereken.
Probleem met 'n punt en 'n lyn
Kom ons sê jy moet die afstand tussen Q(-3; 1) en 'n reguit lyn vind wat aan die vergelyking voldoen:
y=5x -2.
Deur die koördinate van Q in die uitdrukking te vervang, kan ons seker maak dat Q nie op die lyn lê nie. Jy kan die formule vir d wat in die paragraaf hierbo gegee word, toepas as jy hierdie vergelyking in vektorvorm voorstel. Kom ons doen dit so:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Kom ons neem nou enige punt op hierdie lyn, byvoorbeeld (0; -2), en bou 'n vektor wat daarby begin en eindig by Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Pas nou die formule toe om die afstand te bepaal, ons kry:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Afstand van punt na vliegtuig
Soos in die geval van 'n reguit lyn, word die afstand tussen 'n vlak en 'n punt in die ruimte verstaan as die lengte van die segment, wat vanaf 'n gegewe punt loodreg op die vlak laat sak en dit sny.
In die ruimte word 'n punt deur drie koördinate gegee. As hulle gelyk is aan (x1; y1; z1), dan is die afstand tussen die vlak en daardie punt kan met die formule bereken word:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Let daarop dat die gebruik van die formule jou toelaat om slegs die afstand van die vliegtuig na die lyn te vind. Om die koördinate van die punt te vind waar 'n loodregte segment 'n vlak sny, is dit nodig om 'n vergelyking te skryf vir die lyn waaraan hierdie segment behoort, en dan 'n gemeenskaplike punt vir hierdie lyn en 'n gegewe vlak te vind.
Probleem met 'n vliegtuig en 'n punt
Vind die afstand van 'n punt na 'n vlak as dit bekend is dat die punt koördinate (3; -1; 2) het en die vlak gegee word deur:
-y + 3z=0.
Om die ooreenstemmende formule te gebruik, skryf ons eers die koëffisiënte vir uitgegewe vliegtuig. Aangesien die veranderlike x en die vrye term afwesig is, is die koëffisiënte A en D gelyk aan nul. Ons het:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
Dit is maklik om te wys dat hierdie vlak deur die oorsprong gaan en die x-as behoort daaraan.
Vervang die koördinate van die punt en die koëffisiënte van die vlak in die formule vir die afstand d, ons kry:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Let daarop dat as jy die x-koördinaat van 'n punt verander, die afstand d nie sal verander nie. Hierdie feit beteken dat die versameling punte (x; -1; 2) 'n reguit lyn parallel aan die gegewe vlak vorm.
