'n Tipiese meetkundige probleem is om die hoek tussen lyne te vind. Op 'n vlak, as die lynevergelykings bekend is, kan hulle geteken word en die hoek met 'n gradeboog gemeet word. Hierdie metode is egter moeisaam en nie altyd moontlik nie. Om die genoemde hoek uit te vind, is dit nie nodig om reguit lyne te trek nie, dit kan bereken word. Hierdie artikel sal antwoord hoe dit gedoen word.
'n Reguit lyn en sy vektorvergelyking
Enige reguit lyn kan voorgestel word as 'n vektor wat begin by -∞ en eindig by +∞. In hierdie geval gaan die vektor deur 'n punt in die ruimte. Dus, alle vektore wat tussen enige twee punte op 'n reguit lyn getrek kan word, sal parallel aan mekaar wees. Hierdie definisie laat jou toe om die vergelyking van 'n reguit lyn in vektorvorm te stel:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Hier is die vektor met koördinate (a; b; c) die gids vir hierdie lyn wat deur die punt gaan (x0; y0; z0). Die α-parameter laat jou toe om die gespesifiseerde punt na enige ander vir hierdie lyn oor te dra. Hierdie vergelyking is intuïtief en maklik om mee te werk, beide in 3D-ruimte en op 'n vliegtuig. Vir 'n vliegtuig sal dit nie die z-koördinate en die derde rigting vektorkomponent bevat nie.
Die gerief om berekeninge uit te voer en die relatiewe posisie van reguitlyne te bestudeer as gevolg van die gebruik van 'n vektorvergelyking is te danke aan die feit dat die rigtingvektor daarvan bekend is. Die koördinate daarvan word gebruik om die hoek tussen lyne en die afstand tussen hulle te bereken.
Algemene vergelyking vir 'n reguit lyn op 'n vlak
Kom ons skryf eksplisiet die vektorvergelyking van die reguitlyn vir die tweedimensionele geval. Dit lyk soos:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Nou bereken ons die parameter α vir elke gelykheid en stel die regte dele van die verkrygde gelykhede gelyk:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Deur die hakies oop te maak en alle terme na een kant van gelykheid oor te dra, kry ons:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, waar A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Die resulterende uitdrukking word die algemene vergelyking genoem vir 'n reguitlyn wat in tweedimensionele ruimte gegee word (in driedimensionele stem hierdie vergelyking ooreen met 'n vlak parallel aan die z-as, nie 'n reguitlyn nie).
As ons y deur x uitdruklik in hierdie uitdrukking skryf, kry ons die volgende vorm, bekendelke student:
y=kx + p, waar k=-A/B, p=-C/B
Hierdie lineêre vergelyking definieer uniek 'n reguit lyn op die vlak. Dit is baie maklik om dit volgens die bekende vergelyking te teken, hiervoor moet jy x=0 en y=0 om die beurt plaas, die ooreenstemmende punte in die koördinaatstelsel merk en 'n reguit lyn trek wat die verkryde punte verbind.
Formule van die hoek tussen lyne
Op 'n vlak kan twee lyne óf sny óf parallel aan mekaar wees. In die ruimte word die moontlikheid van die bestaan van skewe lyne by hierdie opsies gevoeg. Watter weergawe van die relatiewe posisie van hierdie eendimensionele meetkundige voorwerpe ook al geïmplementeer word, die hoek tussen hulle kan altyd deur die volgende formule bepaal word:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Waar v1¯ en v2¯ die gidsvektore vir lyn 1 en 2 onderskeidelik is. Die teller is die modulus van die puntproduk om stomphoeke uit te sluit en slegs skerp hoeke in ag te neem.
Die vektore v1¯ en v2¯ kan deur twee of drie koördinate gegee word, terwyl die formule vir die hoek φ bly onveranderd.
Parallelisme en loodregte lyne
As die hoek tussen 2 lyne wat met die formule hierbo bereken is 0o is, word gesê dat hulle parallel is. Om te bepaal of die lyne parallel is of nie, kan jy nie die hoek bereken nieφ, dit is voldoende om aan te toon dat een rigtingvektor deur 'n soortgelyke vektor van 'n ander lyn voorgestel kan word, dit is:
v1¯=qv2¯
Hier is q 'n reële getal.
As die lynevergelykings gegee word as:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
dan sal hulle parallel wees slegs wanneer die koëffisiënte van x gelyk is, dit wil sê:
k1=k2
Hierdie feit kan bewys word as ons in ag neem hoe die koëffisiënt k in terme van die koördinate van die rigtingvektor van die reguitlyn uitgedruk word.
As die snyhoek tussen lyne 90o is, word hulle loodreg genoem. Om die loodregteheid van lyne te bepaal, is dit ook nie nodig om die hoek φ te bereken nie, hiervoor is dit genoeg om slegs die skalaarproduk van die vektore v1¯ en v te bereken. 2¯. Dit moet nul wees.
In die geval van snyende reguit lyne in ruimte, kan die formule vir die hoek φ ook gebruik word. In hierdie geval moet die resultaat korrek geïnterpreteer word. Die berekende φ toon die hoek tussen die rigtingvektore van lyne wat nie sny nie en nie parallel is nie.
Taak 1. Loodregte lyne
Dit is bekend dat die vergelykings van lyne die vorm het:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Dit is nodig om te bepaal of hierdie lyne isloodreg.
Soos hierbo genoem, om die vraag te beantwoord, is dit genoeg om die skalêre produk van die vektore van die gidse te bereken, wat ooreenstem met die koördinate (1; 2) en (-4; 2). Ons het:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Aangesien ons 0 gekry het, beteken dit dat die beskoude lyne teen 'n regte hoek sny, dit wil sê hulle is loodreg.
Taak 2. Lynkruisingshoek
Dit is bekend dat twee vergelykings vir reguitlyne die volgende vorm het:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Dit is nodig om die hoek tussen die lyne te vind.
Aangesien die koëffisiënte van x verskillende waardes het, is hierdie lyne nie parallel nie. Om die hoek te vind wat gevorm word wanneer hulle sny, vertaal ons elkeen van die vergelykings in 'n vektorvorm.
Vir die eerste reël kry ons:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Aan die regterkant van die vergelyking het ons 'n vektor waarvan die koördinate van x afhang. Kom ons stel dit voor as 'n som van twee vektore, en die koördinate van die eerste sal die veranderlike x bevat, en die koördinate van die tweede sal uitsluitlik uit getalle bestaan:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Aangesien x arbitrêre waardes neem, kan dit deur die parameter α vervang word. Die vektorvergelyking vir die eerste reël word:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Ons doen dieselfde aksies met die tweede vergelyking van die lyn, ons kry:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Ons het die oorspronklike vergelykings in vektorvorm herskryf. Nou kan jy die formule vir die snyhoek gebruik en die koördinate van die rigtingvektore van die lyne daarin vervang:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Dus sny die lyne wat oorweeg word teen 'n hoek van 71,565o, of 1,249 radiale.
Hierdie probleem kon anders opgelos word. Om dit te doen, was dit nodig om twee arbitrêre punte van elke reguit lyn te neem, direkte vektore daaruit saam te stel en dan die formule vir φ te gebruik.
