Die reguitlyn is die hoofmeetkundige voorwerp op die vlak en in driedimensionele ruimte. Dit is uit reguit lyne dat baie figure gebou word, byvoorbeeld: 'n parallelogram, 'n driehoek, 'n prisma, 'n piramide, ensovoorts. Oorweeg in die artikel verskeie maniere om die lynevergelykings te stel.
Definisie van 'n reguit lyn en tipes vergelykings om dit te beskryf
Elke student het 'n goeie idee van watter meetkundige voorwerp hulle praat. 'n Reguit lyn kan as 'n versameling punte voorgestel word, en as ons elkeen om die beurt met al die ander verbind, kry ons 'n stel parallelle vektore. Met ander woorde, dit is moontlik om vanaf een van sy vaste punte na elke punt van die lyn te kom, deur dit oor te dra na een of ander eenheidsvektor vermenigvuldig met 'n reële getal. Hierdie definisie van 'n reguit lyn word gebruik om 'n vektorgelykheid vir sy wiskundige beskrywing beide in die vlak en in driedimensionele ruimte te definieer.
'n Reguit lyn kan wiskundig voorgestel word deur die volgende tipes vergelykings:
- generaal;
- vektor;
- parametries;
- in segmente;
- simmetries (kanonies).
Volgende, ons sal al die genoemde tipes oorweeg en wys hoe om daarmee te werk deur voorbeelde van probleme op te los.
Vektor- en parametriese beskrywing van 'n reguit lyn
Kom ons begin deur 'n reguit lyn deur 'n bekende vektor te definieer. Gestel daar is 'n vaste punt in ruimte M(x0; y0; z0). Dit is bekend dat die reguitlyn daardeur gaan en langs die vektorsegment v¯(a; b; c) gerig is. Hoe om 'n arbitrêre punt van die lyn uit hierdie data te vind? Die antwoord op hierdie vraag sal die volgende gelykheid gee:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Waar λ 'n arbitrêre getal is.
'n Soortgelyke uitdrukking kan vir die tweedimensionele geval geskryf word, waar die koördinate van vektore en punte deur 'n stel van twee getalle voorgestel word:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Die geskrewe vergelykings word vektorvergelykings genoem, en die gerigte segment v¯ self is die rigtingvektor vir die reguit lyn.
Uit die geskrewe uitdrukkings word die ooreenstemmende parametriese vergelykings eenvoudig verkry, dit is genoeg om dit eksplisiet te herskryf. Byvoorbeeld, vir die geval in die ruimte, kry ons die volgende vergelyking:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb;
z=z0+ λc
Dit is gerieflik om met parametriese vergelykings te werk as jy die gedrag moet ontleedelke koördinaat. Let daarop dat alhoewel die parameter λ arbitrêre waardes kan neem, dit dieselfde moet wees in al drie gelykhede.
Algemene vergelyking
Nog 'n manier om 'n reguit lyn te definieer, wat dikwels gebruik word om met die beskoude meetkundige voorwerp te werk, is om 'n algemene vergelyking te gebruik. Vir die tweedimensionele omhulsel lyk dit soos:
Ax + By + C=0
Hier verteenwoordig Latynse hoofletters spesifieke numeriese waardes. Die gerief van hierdie gelykheid om probleme op te los lê daarin dat dit eksplisiet 'n vektor bevat wat loodreg op 'n reguit lyn is. As ons dit met n¯ aandui, dan kan ons skryf:
n¯=[A; B]
Daarbenewens is die uitdrukking gerieflik om te gebruik om die afstand van 'n reguit lyn na 'n punt te bepaal P(x1; y1). Die formule vir afstand d is:
d=|Ax1+ By1+ C| / √(A2+ B2)
Dit is maklik om te wys dat as ons die veranderlike y eksplisiet uit die algemene vergelyking uitdruk, ons die volgende bekende vorm kry om 'n reguit lyn te skryf:
y=kx + b
Waar k en b uniek bepaal word deur die getalle A, B, C.
Die vergelyking in segmente en kanoniek
Die vergelyking in segmente is die maklikste om uit die algemene aansig te kry. Ons sal jou wys hoe om dit te doen.
Sê nou ons het die volgende reël:
Ax + By + C=0
Skuif die vrye term na die regterkant van die gelykheid, deel dan die hele vergelyking daardeur, ons kry:
Ax + By=-C;
x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;
x / q + y / p=1, waar q=-C / A, p=-C / B
Ons het die sogenaamde vergelyking in segmente gekry. Dit het sy naam gekry as gevolg van die feit dat die noemer waarmee elke veranderlike gedeel word die waarde van die koördinaat van die snypunt van die lyn met die ooreenstemmende as toon. Dit is gerieflik om hierdie feit te gebruik om 'n reguit lyn in 'n koördinaatstelsel uit te beeld, asook om die relatiewe posisie daarvan in verhouding tot ander meetkundige voorwerpe (reguit lyne, punte) te ontleed.
Kom ons gaan nou verder met die verkryging van die kanonieke vergelyking. Dit is makliker om te doen as ons die parametriese opsie oorweeg. Vir die tas op die vliegtuig het ons:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Ons druk die parameter λ in elke gelykheid uit, dan stel ons hulle gelyk, ons kry:
λ=(x - x0) / a;
λ=(y - y0) / b;
(x - x0) / a=(y - y0) / b
Dit is die verlangde vergelyking wat in simmetriese vorm geskryf is. Net soos 'n vektoruitdrukking, bevat dit eksplisiet die koördinate van die rigtingvektor en die koördinate van een van die punte wat aan die lyn behoort.
Dit kan gesien word dat ons in hierdie paragraaf vergelykings vir die tweedimensionele geval gegee het. Net so kan jy die vergelyking van 'n reguit lyn in die ruimte skryf. Daar moet hier kennis geneem word dat indien die kanonieke vormrekords en uitdrukking in segmente sal dieselfde vorm hê, dan word die algemene vergelyking in die ruimte vir 'n reguitlyn voorgestel deur 'n stelsel van twee vergelykings vir snyvlakke.
Die probleem om die vergelyking van 'n reguit lyn te konstrueer
Van meetkunde af weet elke student dat jy deur twee punte 'n enkele lyn kan trek. Aanvaar dat die volgende punte in die koördinaatvlak gegee word:
M1(1; 2);
M2(-1; 3)
Dit is nodig om die vergelyking te vind van die lyn waartoe beide punte behoort, in segmente, in vektor, kanonieke en algemene vorm.
Kom ons kry eers die vektorvergelyking. Om dit te doen, definieer vir die direkte rigtingvektor M1M2¯:
M1M2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)
Nou kan jy 'n vektorvergelyking skep deur een van die twee punte te neem wat in die probleemstelling gespesifiseer is, byvoorbeeld M2:
(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)
Om die kanonieke vergelyking te kry, is dit genoeg om die gevonde gelykheid in 'n parametriese vorm te transformeer en die parameter λ uit te sluit. Ons het:
x=-1 - 2λ, dus λ=x + 1 / (-2);
y=3 + λ, dan kry ons λ=y - 3;
x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1
Die oorblywende twee vergelykings (algemeen en in segmente) kan van die kanonieke een gevind word deur dit soos volg te transformeer:
x + 1=-2y + 6;
algemene vergelyking: x + 2y - 5=0;
in segmente vergelyking: x / 5 + y / 2, 5=1
Die resulterende vergelykings toon dat die vektor (1; 2) loodreg op die lyn moet wees. Inderdaad, as jy sy skalêre produk met die rigtingvektor vind, dan sal dit gelyk wees aan nul. Die lynsegmentvergelyking sê dat die lyn die x-as by (5; 0) en die y-as by (2, 5; 0) sny.
Die probleem om die snypunt van lyne te bepaal
Twee reguitlyne word op die vlak gegee deur die volgende vergelykings:
2x + y -1=0;
(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)
Dit is nodig om die koördinate van die punt waar hierdie lyne sny, te bepaal.
Daar is twee maniere om die probleem op te los:
- Transformeer die vektorvergelyking in 'n algemene vorm, los dan die stelsel van twee lineêre vergelykings op.
- Moenie enige transformasies uitvoer nie, maar vervang bloot die koördinaat van die snypunt, uitgedruk deur die parameter λ, in die eerste vergelyking. Soek dan die parameterwaarde.
Kom ons doen die tweede manier. Ons het:
x=-λ;
y=-1 + 3λ;
2(-λ) + (-1) + 3λ - 1=0;
λ=2
Vervang die resulterende getal in die vektorvergelyking:
(x; y)=(0; -1) + 2(-1; 3)=(-2; 5)
Dus, die enigste punt wat aan albei lyne behoort, is die punt met koördinate (-2; 5). Die lyne sny daarin.
