Selfs op skool het elkeen van ons vergelykings bestudeer en, vir seker, stelsels vergelykings. Maar nie baie mense weet dat daar verskeie maniere is om dit op te los nie. Vandag gaan ons al die metodes vir die oplossing van 'n stelsel lineêre algebraïese vergelykings, wat uit meer as twee gelykes bestaan, in detail ontleed.
Geskiedenis
Vandag is dit bekend dat die kuns om vergelykings en hul stelsels op te los in antieke Babilon en Egipte ontstaan het. Gelykhede in hul gewone vorm het egter verskyn na die verskyning van die gelykteken "=", wat in 1556 deur die Engelse wiskundige Rekord ingestel is. Terloops, hierdie teken is vir 'n rede gekies: dit beteken twee parallelle gelyke segmente. Daar is inderdaad geen beter voorbeeld van gelykheid nie.
Stigter van moderne letterbenamings van onbekendes en tekens van grade is die Franse wiskundige Francois Viet. Sy benamings het egter aansienlik verskil van vandag s'n. Hy het byvoorbeeld die vierkant van 'n onbekende getal aangedui met die letter Q (lat. "quadratus"), en die kubus met die letter C (lat. "cubus"). Hierdie benamings lyk nou ongerieflik, maar dandit was die mees verstaanbare manier om stelsels lineêre algebraïese vergelykings te skryf.
Die nadeel van die destydse oplossingsmetodes was egter dat wiskundiges slegs positiewe wortels beskou het. Miskien is dit te wyte aan die feit dat negatiewe waardes geen praktiese nut gehad het nie. Op een of ander manier was dit die Italiaanse wiskundiges Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano en Rafael Bombelli wat die eerste was wat negatiewe wortels in die 16de eeu oorweeg het. En die moderne voorkoms, die hoofmetode om kwadratiese vergelykings op te los (deur die diskriminant) is eers in die 17de eeu geskep danksy die werk van Descartes en Newton.
In die middel van die 18de eeu het die Switserse wiskundige Gabriel Cramer 'n nuwe manier gevind om die oplossing van stelsels van lineêre vergelykings makliker te maak. Hierdie metode is later na hom vernoem en tot vandag toe gebruik ons dit. Maar ons sal 'n bietjie later oor die Cramer-metode praat, maar vir eers bespreek ons lineêre vergelykings en metodes om dit afsonderlik van die stelsel op te los.
Lineêre vergelykings
Lineêre vergelykings is die eenvoudigste gelykhede met veranderlike(s). Hulle word as algebraïes geklassifiseer. Lineêre vergelykings word in algemene vorm soos volg geskryf: 2+…a x =b. Ons sal hul verteenwoordiging in hierdie vorm nodig hê wanneer ons stelsels en matrikse verder saamstel.
Stelsels van lineêre algebraïese vergelykings
Die definisie van hierdie term is die volgende: dit is 'n stel vergelykings wat algemene onbekendes en 'n gemeenskaplike oplossing het. As 'n reël is alles op skool deur stelsels besluitmet twee of selfs drie vergelykings. Maar daar is stelsels met vier of meer komponente. Kom ons vind eers uit hoe om dit neer te skryf sodat dit gerieflik is om dit later op te los. Eerstens sal stelsels lineêre algebraïese vergelykings beter lyk as alle veranderlikes as x geskryf word met die toepaslike indeks: 1, 2, 3, ensovoorts. Tweedens moet alle vergelykings na die kanonieke vorm verminder word: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Na al hierdie stappe kan ons begin praat oor hoe om 'n oplossing vir stelsels lineêre vergelykings te vind. Matrikse sal baie nuttig hiervoor wees.
Matrikse
'n Matriks is 'n tabel wat uit rye en kolomme bestaan, en sy elemente is by hul kruising geleë. Dit kan óf spesifieke waardes óf veranderlikes wees. Meestal, om elemente aan te wys, word subskripsies daaronder geplaas (byvoorbeeld 'n11 of a23). Die eerste indeks beteken die rynommer en die tweede een die kolomnommer. Op matrikse, sowel as op enige ander wiskundige element, kan jy verskeie bewerkings uitvoer. So jy kan:
1) Trek tabelle van dieselfde grootte af en tel dit by.
2) Vermenigvuldig 'n matriks met een of ander getal of vektor.
3) Transponeer: Verander matriksrye in kolomme en kolomme in rye.
4) Vermenigvuldig matrikse as die aantal rye van een van hulle gelyk is aan die aantal kolomme van die ander.
Ons sal al hierdie tegnieke in meer besonderhede bespreek, aangesien dit in die toekoms vir ons nuttig sal wees. Om matrikse af te trek en op te tel is baie maklik. Dusas ons matrikse van dieselfde grootte neem, dan stem elke element van een tabel ooreen met elke element van 'n ander. Ons tel dus hierdie twee elemente by (trek af) (dit is belangrik dat hulle op dieselfde plekke in hul matrikse is). Wanneer 'n matriks met 'n getal of vektor vermenigvuldig word, moet jy eenvoudig elke element van die matriks met daardie getal (of vektor) vermenigvuldig. Transposisie is 'n baie interessante proses. Dit is soms baie interessant om dit in die werklike lewe te sien, byvoorbeeld wanneer jy die oriëntasie van 'n tablet of foon verander. Die ikone op die lessenaar is 'n matriks, en wanneer jy die posisie verander, transponeer dit en word dit wyer, maar neem af in hoogte.
Kom ons kyk weer na so 'n proses soos matriksvermenigvuldiging. Alhoewel dit nie vir ons nuttig sal wees nie, sal dit tog nuttig wees om dit te weet. Jy kan slegs twee matrikse vermenigvuldig as die aantal kolomme in een tabel gelyk is aan die aantal rye in die ander. Kom ons neem nou die elemente van 'n ry van een matriks en die elemente van die ooreenstemmende kolom van 'n ander. Ons vermenigvuldig hulle met mekaar en tel hulle dan by (dit is byvoorbeeld die produk van die elemente a11 en a12 met b 12en b22 sal gelyk wees aan: a11b12 + a 12 b22). So word een element van die tabel verkry, en dit word verder gevul deur 'n soortgelyke metode.
Nou kan ons begin kyk hoe die stelsel lineêre vergelykings opgelos word.
Gauss-metode
Hierdie onderwerp begin selfs by die skool slaag. Ons ken die konsep van "stelsel van twee lineêre vergelykings" goed en weet hoe om dit op te los. Maar wat as die aantal vergelykings meer as twee is? Die Gauss-metode sal ons hiermee help.
Natuurlik is hierdie metode gerieflik om te gebruik as jy 'n matriks uit die stelsel maak. Maar jy kan dit nie transformeer en in sy suiwerste vorm oplos nie.
So hoe los hierdie metode die stelsel van lineêre Gaussiese vergelykings op? Terloops, hoewel hierdie metode na hom vernoem is, is dit in antieke tye ontdek. Gauss stel die volgende voor: om bewerkings met vergelykings uit te voer om uiteindelik die hele versameling tot 'n getrapte vorm te reduseer. Dit wil sê, dit is nodig dat van bo na onder (indien korrek geplaas) van die eerste vergelyking tot die laaste, een onbekende afneem. Met ander woorde, ons moet seker maak dat ons, sê, drie vergelykings kry: in die eerste - drie onbekendes, in die tweede - twee, in die derde - een. Dan vind ons uit die laaste vergelyking die eerste onbekende, vervang die waarde daarvan in die tweede of eerste vergelyking, en vind dan die oorblywende twee veranderlikes.
Cramer-metode
Om hierdie metode te bemeester, is dit noodsaaklik om die vaardighede van optel, aftrekking van matrikse te bemeester, en jy moet ook determinante kan vind. Daarom, as jy dit alles swak doen of glad nie weet hoe nie, sal jy moet leer en oefen.
Wat is die kern van hierdie metode, en hoe om dit so te maak dat 'n stelsel lineêre Cramer-vergelykings verkry word? Alles is baie eenvoudig. Ons moet 'n matriks konstrueer uit numeriese (byna altyd) koëffisiënte van 'n stelsel lineêre algebraïese vergelykings. Om dit te doen, neem eenvoudig die nommers voor die onbekendes en rangskik hulle intabel in die volgorde waarin hulle in die stelsel aangeteken is. As die getal voorafgegaan word deur 'n "-" teken, dan skryf ons 'n negatiewe koëffisiënt neer. Dus, ons het die eerste matriks saamgestel uit die koëffisiënte van die onbekendes, nie die getalle na die gelyktekens ingesluit nie (natuurlik moet die vergelyking na die kanonieke vorm verminder word, wanneer slegs die getal aan die regterkant is, en al die onbekendes met koëffisiënte aan die linkerkant). Dan moet jy nog verskeie matrikse skep - een vir elke veranderlike. Om dit te doen, vervang ons op sy beurt elke kolom met koëffisiënte in die eerste matriks met 'n kolom getalle na die gelykheidsteken. Dus verkry ons verskeie matrikse en vind dan hul determinante.
Nadat ons die determinante gevind het, is die saak klein. Ons het 'n aanvanklike matriks, en daar is verskeie resulterende matrikse wat ooreenstem met verskillende veranderlikes. Om die oplossings van die stelsel te kry, deel ons die determinant van die resulterende tabel deur die determinant van die aanvanklike tabel. Die gevolglike getal is die waarde van een van die veranderlikes. Net so vind ons alle onbekendes.
Ander metodes
Daar is nog verskeie metodes om die oplossing van stelsels lineêre vergelykings te kry. Byvoorbeeld, die sogenaamde Gauss-Jordaniese metode, wat gebruik word om oplossings vir 'n stelsel van kwadratiese vergelykings te vind en ook geassosieer word met die gebruik van matrikse. Daar is ook 'n Jacobi-metode om 'n stelsel lineêre algebraïese vergelykings op te los. Dit is die maklikste om by 'n rekenaar aan te pas en word in rekenaars gebruik.
Moeilike gevalle
Kompleksiteit vind gewoonlik plaas wanneer die aantal vergelykings minder is as die aantal veranderlikes. Dan kan ons met sekerheid sê dat óf die sisteem inkonsekwent is (dit wil sê, dit het geen wortels nie), óf die aantal van sy oplossings neig na oneindig. As ons die tweede geval het, dan moet ons die algemene oplossing van die stelsel lineêre vergelykings neerskryf. Dit sal ten minste een veranderlike bevat.
Gevolgtrekking
Hier kom ons by die einde. Om op te som: ons het ontleed wat 'n stelsel en 'n matriks is, ons het geleer hoe om 'n algemene oplossing vir 'n stelsel lineêre vergelykings te vind. Daarbenewens is ander opsies oorweeg. Ons het uitgevind hoe die stelsel lineêre vergelykings opgelos word: die Gauss-metode en die Cramer-metode. Ons het gepraat oor moeilike sake en ander maniere om oplossings te vind.
Trouens, hierdie onderwerp is baie meer omvattend, en as jy dit beter wil verstaan, raai ons jou aan om meer gespesialiseerde literatuur te lees.
