Ek dink ons moet begin met die geskiedenis van so 'n glorieryke wiskundige hulpmiddel soos differensiaalvergelykings. Soos alle differensiaal- en integraalrekeninge, is hierdie vergelykings aan die einde van die 17de eeu deur Newton uitgevind. Hy het hierdie einste ontdekking van hom so belangrik geag dat hy selfs die boodskap geënkripteer het, wat vandag so iets vertaal kan word: "Alle natuurwette word deur differensiaalvergelykings beskryf." Dit mag dalk na 'n oordrywing lyk, maar dit is waar. Enige wet van fisika, chemie, biologie kan deur hierdie vergelykings beskryf word.
Wiskundiges Euler en Lagrange het 'n groot bydrae gelewer tot die ontwikkeling en skepping van die teorie van differensiaalvergelykings. Reeds in die 18de eeu het hulle ontdek en ontwikkel wat hulle nou in die senior kursusse van universiteite studeer.
'n Nuwe mylpaal in die studie van differensiaalvergelykings het begin danksy Henri Poincare. Hy het 'n "kwalitatiewe teorie van differensiaalvergelykings" geskep wat, in kombinasie met die teorie van funksies van 'n komplekse veranderlike, 'n beduidende bydrae gelewer het tot die grondslag van topologie - die wetenskap van ruimte en syeiendomme.
Wat is differensiaalvergelykings?
Baie mense is bang vir een frase "differensiaalvergelyking". In hierdie artikel sal ons egter die hele essensie van hierdie baie nuttige wiskundige apparaat uiteensit, wat eintlik nie so ingewikkeld is as wat dit uit die naam lyk nie. Om oor eerste-orde differensiaalvergelykings te begin praat, moet jy eers kennis maak met die basiese konsepte wat inherent met hierdie definisie verband hou. En ons begin met die differensiaal.
Differensiaal
Baie ken hierdie konsep van skool af. Laat ons dit egter van nader bekyk. Stel jou 'n grafiek van 'n funksie voor. Ons kan dit so vermeerder dat enige van sy segmente die vorm van 'n reguit lyn sal aanneem. Daarop neem ons twee punte wat oneindig naby aan mekaar is. Die verskil tussen hul koördinate (x of y) sal 'n oneindige waarde wees. Dit word 'n differensiaal genoem en word aangedui deur die tekens dy (differensiaal van y) en dx (differensiaal van x). Dit is baie belangrik om te verstaan dat die differensiaal nie 'n eindige waarde is nie, en dit is die betekenis en hooffunksie daarvan.
En nou moet ons die volgende element oorweeg, wat vir ons nuttig sal wees om die konsep van 'n differensiaalvergelyking te verduidelik. Dit is die afgeleide.
Afgeleide
Ons het seker almal gehoor op skool en hierdie konsep. Daar word gesê dat die afgeleide die tempo van groei of afname van 'n funksie is. Maar uit hierdie definisiebaie word onduidelik. Kom ons probeer om die afgeleide in terme van differensiale te verduidelik. Kom ons gaan terug na 'n infinitesimale segment van 'n funksie met twee punte wat op 'n minimum afstand van mekaar is. Maar selfs vir hierdie afstand slaag die funksie daarin om met 'n mate te verander. En om hierdie verandering te beskryf, het hulle met 'n afgeleide vorendag gekom, wat andersins as 'n verhouding van differensiale geskryf kan word: f(x)'=df/dx.
Nou is dit die moeite werd om die basiese eienskappe van die afgeleide te oorweeg. Daar is net drie van hulle:
- Die afgeleide van die som of verskil kan voorgestel word as die som of verskil van afgeleides: (a+b)'=a'+b' en (a-b)'=a'-b'.
- Die tweede eienskap hou verband met vermenigvuldiging. Die afgeleide van 'n produk is die som van die produkte van een funksie en die afgeleide van 'n ander: (ab)'=a'b+ab'.
- Die afgeleide van die verskil kan as die volgende gelykheid geskryf word: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Al hierdie eienskappe sal nuttig wees om oplossings vir eerste-orde differensiaalvergelykings te vind.
Daar is ook gedeeltelike afgeleides. Kom ons sê ons het 'n funksie z wat afhang van veranderlikes x en y. Om die parsiële afgeleide van hierdie funksie, sê, met betrekking tot x te bereken, moet ons die veranderlike y as 'n konstante neem en eenvoudig differensieer.
Integraal
Nog 'n belangrike konsep is die integraal. Trouens, dit is die direkte teenoorgestelde van die afgeleide. Daar is verskeie tipes integrale, maar om die eenvoudigste differensiaalvergelykings op te los, het ons die mees triviale onbepaalde integrale nodig.
So, wat is 'n integraal? Kom ons sê ons het 'n mate van afhanklikheid fvan x. Ons neem die integraal daaruit en kry die funksie F (x) (dikwels die anti-afgeleide genoem), waarvan die afgeleide gelyk is aan die oorspronklike funksie. Dus F(x)'=f(x). Dit volg ook hieruit dat die integraal van die afgeleide gelyk is aan die oorspronklike funksie.
Wanneer differensiaalvergelykings opgelos word, is dit baie belangrik om die betekenis en funksie van die integraal te verstaan, aangesien jy dit baie gereeld sal moet neem om die oplossing te vind.
Vergelykings verskil na gelang van hul aard. In die volgende afdeling sal ons die tipes eerste-orde differensiaalvergelykings oorweeg, en dan leer hoe om dit op te los.
Klasse differensiaalvergelykings
"Diffury" word verdeel volgens die volgorde van die afgeleides wat daarby betrokke is. Daar is dus die eerste, tweede, derde en meer orde. Hulle kan ook in verskeie klasse verdeel word: gewone en gedeeltelike afgeleides.
In hierdie artikel sal ons gewone differensiaalvergelykings van die eerste orde oorweeg. Ons sal ook voorbeelde en maniere bespreek om dit op te los in die volgende afdelings. Ons sal slegs ODE's oorweeg, want dit is die mees algemene tipes vergelykings. Gewone word in subspesies verdeel: met skeibare veranderlikes, homogeen en heterogeen. Vervolgens sal jy leer hoe hulle van mekaar verskil, en leer hoe om dit op te los.
Boonop kan hierdie vergelykings gekombineer word, sodat ons 'n stelsel van differensiaalvergelykings van die eerste orde kry. Ons sal ook sulke stelsels oorweeg en leer hoe om dit op te los.
Hoekom oorweeg ons net die eerste bestelling? Omdat jy met 'n eenvoudige een moet begin, en alles beskryf wat met differensiaal verband houvergelykings, in een artikel is eenvoudig onmoontlik.
Skeibare veranderlike vergelykings
Dit is miskien die eenvoudigste eerste-orde differensiaalvergelykings. Dit sluit voorbeelde in wat soos volg geskryf kan word: y'=f(x)f(y). Om hierdie vergelyking op te los, benodig ons 'n formule om die afgeleide as 'n verhouding van differensiale voor te stel: y'=dy/dx. Deur dit te gebruik, kry ons die volgende vergelyking: dy/dx=f(x)f(y). Nou kan ons na die metode om standaardvoorbeelde op te los: ons sal die veranderlikes in dele verdeel, dit wil sê ons sal alles met die y-veranderlike oordra na die deel waar dy geleë is, en ons sal dieselfde doen met die x-veranderlike. Ons kry 'n vergelyking van die vorm: dy/f(y)=f(x)dx, wat opgelos word deur die integrale van beide dele te neem. Moenie vergeet van die konstante wat gestel moet word nadat die integraal geneem is nie.
Die oplossing vir enige "diffuransie" is 'n funksie van die afhanklikheid van x van y (in ons geval) of, as daar 'n numeriese voorwaarde is, dan is die antwoord in die vorm van 'n getal. Kom ons ontleed die hele verloop van die oplossing deur 'n spesifieke voorbeeld te gebruik:
y'=2ysin(x)
Beweeg veranderlikes in verskillende rigtings:
dy/y=2sin(x)dx
Nou neem ons integrale. Almal van hulle kan gevind word in 'n spesiale tabel van integrale. En ons kry:
ln(y)=-2cos(x) + C
Indien vereis, kan ons "y" uitdruk as 'n funksie van "x". Nou kan ons sê dat ons differensiaalvergelyking opgelos word as geen voorwaarde gegee word nie. 'n Voorwaarde kan gegee word, byvoorbeeld, y(n/2)=e. Dan vervang ons eenvoudig die waarde van hierdie veranderlikes in die oplossing envind die waarde van die konstante. In ons voorbeeld is dit gelyk aan 1.
Eerste-orde homogene differensiaalvergelykings
Nou oor na die moeiliker deel. Homogene differensiaalvergelykings van die eerste orde kan in algemene vorm soos volg geskryf word: y'=z(x, y). Daar moet kennis geneem word dat die regte funksie van twee veranderlikes homogeen is, en dit kan nie in twee afhanklikhede verdeel word nie: z op x en z op y. Om te kontroleer of die vergelyking homogeen is of nie, is redelik eenvoudig: ons maak die substitusie x=kx en y=ky. Nou kanselleer ons alle k. As al hierdie letters verminder word, dan is die vergelyking homogeen en jy kan veilig voortgaan om dit op te los. As ons vorentoe kyk, kom ons sê: die beginsel om hierdie voorbeelde op te los is ook baie eenvoudig.
Ons moet 'n vervanging maak: y=t(x)x, waar t een of ander funksie is wat ook van x afhang. Dan kan ons die afgeleide uitdruk: y'=t'(x)x+t. Deur dit alles in ons oorspronklike vergelyking te vervang en dit te vereenvoudig, kry ons 'n voorbeeld met skeibare veranderlikes t en x. Ons los dit op en kry die afhanklikheid t(x). Toe ons dit gekry het, vervang ons eenvoudig y=t(x)x in ons vorige plaasvervanger. Dan kry ons die afhanklikheid van y op x.
Om dit duideliker te maak, kom ons kyk na 'n voorbeeld: xy'=y-xey/x.
Wanneer nagegaan word met vervanging, word alles verminder. Die vergelyking is dus regtig homogeen. Nou maak ons nog 'n vervanging waaroor ons gepraat het: y=t(x)x en y'=t'(x)x+t(x). Na vereenvoudiging kry ons die volgende vergelyking: t'(x)x=-et. Ons los die resulterende voorbeeld op met geskeide veranderlikes en kry: e-t=ln(Cx). Ons hoef net t met y/x te vervang (na alles, as y=tx, dan t=y/x), en ons kryantwoord: e-y/x=ln(xC).
Eerste Orde Lineêre Differensiaalvergelykings
Dit is tyd vir nog 'n groot onderwerp. Ons sal inhomogene differensiaalvergelykings van die eerste orde ontleed. Hoe verskil hulle van die vorige twee? Kom ons vind dit uit. Lineêre differensiaalvergelykings van die eerste orde in algemene vorm kan soos volg geskryf word: y' + g(x)y=z(x). Dit is die moeite werd om te verduidelik dat z(x) en g(x) konstantes kan wees.
En nou 'n voorbeeld: y' - yx=x2.
Daar is twee maniere om dit op te los, en ons sal albei in volgorde hanteer. Die eerste een is die metode van variasie van arbitrêre konstantes.
Om die vergelyking op hierdie manier op te los, moet jy eers die regterkant aan nul vergelyk en die resulterende vergelyking oplos, wat nadat die dele geskuif is die vorm sal aanneem:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Nou moet ons die konstante C1 vervang met die funksie v(x) wat ons moet vind.
y=vex2/2.
Kom ons verander die afgeleide:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
En vervang hierdie uitdrukkings in die oorspronklike vergelyking:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Jy kan sien dat twee terme aan die linkerkant kanselleer. As dit in een of ander voorbeeld nie gebeur het nie, dan het jy iets verkeerd gedoen. Gaan voort:
v'ex2/2 =x2.
Nou los ons die gewone vergelyking op waarin ons die veranderlikes moet skei:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Om die integraal te onttrek, moet ons integrasie deur dele hier toepas. Dit is egter nie die onderwerp van ons artikel nie. As jy belangstel, kan jy leer hoe om self sulke aksies uit te voer. Dit is nie moeilik nie, en met voldoende vaardigheid en aandag neem dit nie veel tyd nie.
Kom ons kyk na die tweede metode om inhomogene vergelykings op te los: die Bernoulli-metode. Watter benadering vinniger en makliker is, is aan jou.
Dus, wanneer ons die vergelyking met hierdie metode oplos, moet ons 'n vervanging maak: y=kn. Hier is k en n 'n paar x-afhanklike funksies. Dan sal die afgeleide so lyk: y'=k'n+kn'. Vervang beide substitusies in die vergelyking:
k'n+kn'+xkn=x2.
Groep:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Nou moet ons gelykstel aan nul wat tussen hakies is. Nou, as jy die twee resulterende vergelykings kombineer, kry jy 'n stelsel van eerste-orde differensiaalvergelykings wat jy moet oplos:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Die eerste gelykheid word opgelos soos 'n normale vergelyking. Om dit te doen, moet jy die veranderlikes skei:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Neem die integraal en kry: ln(n)=x2/2. Dan, as ons n:
uitdruk
n=ex2/2.
Nou vervang ons die resulterende gelykheid in die tweede vergelyking van die stelsel:
k'ex2/2=x2.
En transformeer, ons kry dieselfde gelykheid as in die eerste metode:
dk=x2/ex2/2.
Ons sal ook nie in verdere stappe ingaan nie. Dit is die moeite werd om te sê dat die oplossing van eerste-orde differensiaalvergelykings aanvanklik aansienlike probleme veroorsaak. Soos jy egter dieper in die onderwerp duik, begin dit al hoe beter word.
Waar word differensiaalvergelykings gebruik?
Differensiaalvergelykings word baie aktief in fisika gebruik, aangesien byna alle basiese wette in differensiaalvorm geskryf is, en die formules wat ons sien is die oplossing van hierdie vergelykings. In chemie word hulle om dieselfde rede gebruik: basiese wette word daaruit afgelei. In biologie word differensiaalvergelykings gebruik om die gedrag van stelsels, soos roofdier-prooi, te modelleer. Hulle kan ook gebruik word om voortplantingsmodelle van byvoorbeeld 'n kolonie mikroörganismes te skep.
Hoe sal differensiaalvergelykings in die lewe help?
Die antwoord op hierdie vraag is eenvoudig: geen manier nie. As jy nie 'n wetenskaplike of ingenieur is nie, is dit onwaarskynlik dat dit vir jou nuttig sal wees. Vir algemene ontwikkeling maak dit egter nie skade om te weet wat 'n differensiaalvergelyking is en hoe dit opgelos word nie. En dan die vraag van 'n seun of dogter "wat is 'n differensiaalvergelyking?" sal jou nie verwar nie. Wel, as jy 'n wetenskaplike of 'n ingenieur is, dan verstaan jy self die belangrikheid van hierdie onderwerp in enige wetenskap. Maar die belangrikste ding is dat nou die vraag "hoe om 'n eerste-orde differensiaalvergelyking op te los?" jy kan altyd antwoord. Stem saam, dit is altyd lekkerwanneer jy verstaan wat mense selfs bang is om te verstaan.
Belangrikste leerprobleme
Die hoofprobleem om hierdie onderwerp te verstaan, is die swak vaardigheid om funksies te integreer en te differensieer. As jy sleg is om afgeleides en integrale te neem, moet jy waarskynlik meer leer, verskillende metodes van integrasie en differensiasie bemeester, en dan eers die materiaal begin bestudeer wat in die artikel beskryf is.
Sommige mense is verbaas wanneer hulle uitvind dat dx oorgedra kan word, want vroeër (op skool) is gesê dat die breuk dy/dx ondeelbaar is. Hier moet jy die literatuur oor die afgeleide lees en verstaan dat dit die verhouding van infinitesimale hoeveelhede is wat gemanipuleer kan word wanneer vergelykings opgelos word.
Baie besef nie dadelik dat die oplossing van eerste-orde differensiaalvergelykings dikwels 'n funksie of 'n integraal is wat nie geneem kan word nie, en hierdie dwaling gee hulle baie moeilikheid.
Wat anders kan bestudeer word vir 'n beter begrip?
Dit is die beste om verder in die wêreld van differensiaalrekening te begin met gespesialiseerde handboeke, byvoorbeeld in calculus vir studente van nie-wiskundige spesialiteite. Dan kan jy aanbeweeg na meer gespesialiseerde literatuur.
Daar moet gesê word dat, benewens differensiaalvergelykings, daar ook integraalvergelykings is, so jy sal altyd iets hê om na te streef en iets om te bestudeer.
Gevolgtrekking
Ons hoop dit nadat ons gelees hetHierdie artikel het jou 'n idee gegee van wat differensiaalvergelykings is en hoe om dit korrek op te los.
Wiskunde sal in elk geval op een of ander manier vir ons nuttig wees in die lewe. Dit ontwikkel logika en aandag, waarsonder elke mens is soos sonder hande.
