Tipiese lineêre parameters van enige piramide is die lengtes van die sye van sy basis, hoogte, syrande en apotemas. Nietemin is daar nog 'n kenmerk wat met die genoteerde parameters geassosieer word - dit is die tweehoekige hoek. Oorweeg in die artikel wat dit is en hoe om dit te vind.
Ruimtelike figuurpiramide
Elke student het 'n goeie idee van wat op die spel is wanneer hy die woord "piramide" hoor. Dit kan meetkundig soos volg gekonstrueer word: kies 'n sekere veelhoek, maak dan 'n punt in die ruimte vas en verbind dit aan elke hoek van die veelhoek. Die resulterende driedimensionele figuur sal 'n piramide van 'n arbitrêre tipe wees. Die veelhoek wat dit vorm, word die basis genoem, en die punt waaraan al sy hoeke verbind is, is die hoekpunt van die figuur. Die figuur hieronder toon skematies 'n vyfhoekige piramide.
Daar kan gesien word dat sy oppervlak nie net deur 'n vyfhoek gevorm word nie, maar ook deur vyf driehoeke. Oor die algemeen sal die getal van hierdie driehoeke gelyk wees aan die getalsye van 'n veelhoekige basis.
Dihedrale hoeke van die figuur
Wanneer meetkundige probleme op 'n vlak oorweeg word, word enige hoek gevorm deur twee snyende reguit lyne, of segmente. In die ruimte word dihedrale hoeke by hierdie lineêre hoeke gevoeg, gevorm deur die snyding van twee vlakke.
As die gemerkte definisie van 'n hoek in die ruimte op die betrokke figuur toegepas word, dan kan ons sê dat daar twee tipes tweevlakkige hoeke is:
- Aan die basis van die piramide. Dit word gevorm deur die vlak van die basis en enige van die syvlakke (driehoek). Dit beteken dat die basishoeke van die piramide n is, waar n die aantal sye van die veelhoek is.
- Tussen die sye (driehoeke). Die aantal van hierdie tweehoekige hoeke is ook n stukke.
Let daarop dat die eerste tipe oorweegde hoeke op die kante van die basis gebou is, die tweede tipe - op die syrande.
Hoe om die hoeke van 'n piramide te bereken?
Die lineêre hoek van 'n tweevlakkige hoek is die maat van laasgenoemde. Dit is nie maklik om dit te bereken nie, aangesien die vlakke van die piramide, anders as die vlakke van die prisma, in die algemene geval nie reghoekig sny nie. Dit is die mees betroubare om die waardes van tweehoekige hoeke te bereken deur die vergelykings van die vlak in algemene vorm te gebruik.
In driedimensionele ruimte word 'n vlak gegee deur die volgende uitdrukking:
Ax + By + Cz + D=0
Waar A, B, C, D 'n paar reële getalle is. Die gerief van hierdie vergelyking is dat die eerste drie gemerkte getalle die koördinate van die vektor is,wat loodreg op die gegewe vlak is, d.w.s.:
n¯=[A; B; C]
As die koördinate van drie punte wat aan die vlak behoort bekend is, kan 'n mens die koördinate n¯ verkry deur die vektorproduk van twee vektore wat op hierdie punte gebou is te neem. Die vektor n¯ word die gids vir die vlak genoem.
Volgens die definisie is die tweehoekige hoek wat gevorm word deur die snyding van twee vlakke gelyk aan die lineêre hoek tussen hul rigtingvektore. Gestel ons het twee vlakke waarvan die normale vektore gelyk is:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2]
Om die hoek φ tussen hulle te bereken, kan jy die skalaarproduk-eienskap gebruik, dan word die ooreenstemmende formule:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Of in koördinaatvorm:
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
Kom ons wys hoe om bogenoemde metode te gebruik vir die berekening van tweevlakhoeke wanneer meetkundige probleme opgelos word.
Hoeke van 'n gereelde vierhoekige piramide
Veronderstel dat daar 'n reëlmatige piramide is, aan die basis waarvan daar 'n vierkant is met 'n sy van 10 cm. Die hoogte van die figuur is12 cm Dit is nodig om te bereken wat die tweehoekige hoeke aan die basis van die piramide en vir sy sye is.
Aangesien die syfer wat in die toestand van die probleem gegee word korrek is, dit wil sê, dit het hoë simmetrie, dan is alle hoeke by die basis gelyk aan mekaar. Die hoeke wat deur die syvlakke gevorm word, is ook dieselfde. Om die vereiste dihedrale hoeke te bereken, vind ons die rigtingvektore vir die basis- en twee syvlakke. Dui die lengte van die sy van die basis aan met die letter a, en die hoogte h.
Die prent hierbo toon 'n vierhoekige reëlmatige piramide. Kom ons skryf die koördinate van punte A, B, C en D uit in ooreenstemming met die ingevoerde koördinaatstelsel:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
Nou vind ons die rigtingvektore vir die basisvlakke ABC en die twee sye ABD en BCD in ooreenstemming met die metode beskryf in die paragraaf hierbo:
Vir ABC:
AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
Vir ABD:
AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
Vir BCD:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
Nou bly dit oor om die toepaslike formule vir die hoek φ toe te pas en die sy- en hoogtewaardes van die probleemstelling te vervang:
Hoek tussen ABC enABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2+ a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2 /4)))=67, 38o
Hoek tussen ABD en BDC:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a 2/4)))=81, 49o
Ons het die waardes bereken van die hoeke wat gevind moet word volgens die toestand van die probleem. Die formules wat verkry is om die probleem op te los, kan gebruik word om die tweehoekige hoeke van vierhoekige reëlmatige piramides met enige waardes van a en h te bepaal.
Hoeke van 'n driehoekige reëlmatige piramide
Die figuur hieronder toon 'n piramide waarvan die basis 'n reëlmatige driehoek is. Dit is bekend dat die tweehoekige hoek tussen die sye reg is. Dit is nodig om die oppervlakte van die basis te bereken as dit bekend is dat die hoogte van die figuur 15 cm is.
'n Tweevlakkige hoek gelyk aan 90o word as ABC in die figuur aangedui. U kan die probleem oplos deur die bogenoemde metode te gebruik, maar in hierdie geval sal ons dit makliker doen. Kom ons dui die sy van die driehoek a, die hoogte van die figuur - h, die apotema - hb en die sy aanrib - b. Nou kan jy die volgende formules skryf:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
Aangesien die twee sydriehoeke in die piramide dieselfde is, is die sye AB en CB gelyk en is die bene van die driehoek ABC. Kom ons dui hul lengte aan met x, dan:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
Deur die oppervlaktes van die sydriehoeke gelyk te maak en die apotem in die ooreenstemmende uitdrukking te vervang, het ons:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
Die oppervlakte van 'n gelyksydige driehoek word soos volg bereken:
S=√3/4a2=3√3/2h2
Vervang die hoogtewaarde van die toestand van die probleem, ons kry die antwoord: S=584, 567 cm2.
