Kwadriese vergelykings verskyn dikwels in 'n aantal probleme in wiskunde en fisika, so elke student behoort dit te kan oplos. Hierdie artikel gee besonderhede oor die hoofmetodes om kwadratiese vergelykings op te los, en verskaf ook voorbeelde van hul gebruik.
Watter vergelyking word kwadraties genoem
Eerstens sal ons die vraag van hierdie paragraaf beantwoord om beter te verstaan waaroor die artikel gaan handel. Dus, die kwadratiese vergelyking het die volgende algemene vorm: c + bx+ax2=0, waar a, b, c sommige getalle is, wat koëffisiënte genoem word. Hier is a≠0 'n verpligte voorwaarde, anders ontaard die aangeduide vergelyking in 'n lineêre een. Die oorblywende koëffisiënte (b, c) kan absoluut enige waardes neem, insluitend nul. Dus, uitdrukkings soos ax2=0, waar b=0 en c=0, of c+ax2=0, waar b=0, of bx+ax2=0, waar c=0 ook kwadratiese vergelykings is, wat onvolledig genoem word, aangesien óf die lineêre koëffisiënt b daarin nul óf nul isis 'n vrye term c, of albei verdwyn.
'n Vergelyking waarin a=1 gereduseer genoem word, dit wil sê, dit het die vorm: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Die oplossing van 'n kwadratiese vergelyking is om sulke x-waardes te vind wat die gelykheid daarvan bevredig. Hierdie waardes word wortels genoem. Aangesien die vergelyking wat oorweeg word 'n uitdrukking van die tweede graad is, beteken dit dat die maksimum aantal wortels daarvan nie twee kan oorskry nie.
Watter metodes bestaan om vierkantsvergelykings op te los
In die algemeen is daar 4 oplossingsmetodes. Hulle name is hieronder gelys:
- Factoring.
- Toevoeging tot die vierkant.
- Gebruik 'n bekende formule (via die diskriminant).
- Die oplossingsmetode is meetkundig.
Soos jy uit die lys hierbo kan sien, is die eerste drie metodes algebraïes, dus word hulle meer gereeld as die laaste een gebruik, wat die plot van 'n funksie behels.
Daar is nog 'n manier om vierkantsvergelykings op te los deur die Vieta-stelling te gebruik. Dit kan 5de in die lys hierbo ingesluit word, maar dit word nie gedoen nie, aangesien Vieta se stelling 'n eenvoudige gevolg van die 3de metode is.
Later in die artikel sal ons die genoemde metodes van oplossing in meer besonderhede oorweeg, en ook voorbeelde gee van hul gebruik om die wortels van spesifieke vergelykings te vind.
Metode 1. Faktorering
Vir hierdie metode in die wiskunde van kwadratiese vergelykings, is daar 'n pragtigenaam: faktorisering. Die kern van hierdie metode is soos volg: dit is nodig om die kwadratiese vergelyking aan te bied as 'n produk van twee terme (uitdrukkings), wat gelyk moet wees aan nul. Na so 'n voorstelling kan jy die produk-eienskap gebruik, wat slegs gelyk aan nul sal wees wanneer een of meer (al) sy lede nul is.
Beskou nou die volgorde van spesifieke aksies wat uitgevoer moet word om die wortels van die vergelyking te vind:
- Skuif alle lede na een deel van die uitdrukking (byvoorbeeld, na links) sodat slegs 0 in die ander deel daarvan (regs) oorbly.
- Stel die som van terme in een deel van die vergelyking voor as 'n produk van twee lineêre vergelykings.
- Stel elk van die lineêre uitdrukkings op nul en los dit op.
Soos jy kan sien, is die faktoriseringsalgoritme redelik eenvoudig, maar die meeste studente het probleme tydens die implementering van die 2de punt, so ons sal dit in meer besonderhede verduidelik.
Om te raai watter 2 lineêre uitdrukkings, wanneer vermenigvuldig met mekaar, die verlangde kwadratiese vergelyking sal gee, moet jy twee eenvoudige reëls onthou:
- Die lineêre koëffisiënte van twee lineêre uitdrukkings, wanneer met mekaar vermenigvuldig, behoort die eerste koëffisiënt van die kwadratiese vergelyking te gee, dit is die getal a.
- Die vrye terme van lineêre uitdrukkings, wanneer vermenigvuldig, moet die getal c van die verlangde vergelyking gee.
Nadat al die getalle faktore gekies is, moet hulle vermenigvuldig word, en as hulle die verlangde vergelyking gee, gaan dan na stap 3 indie bogenoemde algoritme, anders moet jy die vermenigvuldigers verander, maar jy moet dit doen sodat die bogenoemde reëls altyd gevolg word.
Voorbeeld van oplossing deur faktoriseringsmetode
Kom ons wys duidelik hoe die algoritme vir die oplossing van 'n kwadratiese vergelyking is om onbekende wortels saam te stel en te vind. Laat 'n arbitrêre uitdrukking gegee word, byvoorbeeld, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Kom ons gaan aan na die oplossing daarvan en let op die volgorde van punte van 1 tot 3, wat in die vorige paragraaf van die artikel uiteengesit is.
Item 1. Skuif al die terme na die linkerkant en rangskik hulle in die klassieke ry vir 'n kwadratiese vergelyking. Ons het die volgende gelykheid: 2x+(-8)+x2=0.
Item 2. Ons breek dit op in 'n produk van lineêre vergelykings. Aangesien a=1, en c=-8, dan sal ons byvoorbeeld so 'n produk (x-2)(x+4) kies. Dit voldoen aan die reëls vir die vind van die verwagte faktore soos uiteengesit in die paragraaf hierbo. As ons die hakies oopmaak, kry ons: -8+2x+x2, dit wil sê, ons kry presies dieselfde uitdrukking as aan die linkerkant van die vergelyking. Dit beteken dat ons die vermenigvuldigers reg geraai het, en ons kan voortgaan na die 3de stap van die algoritme.
Item 3. Stel elke faktor gelyk aan nul, ons kry: x=-4 en x=2.
Indien daar enige twyfel oor die resultaat is, word dit aanbeveel om na te gaan deur die gevonde wortels in die oorspronklike vergelyking te vervang. In hierdie geval het ons: 22+22-8=0 en 2(-4)+(-4)2 -8=0. Wortels korrek gevind.
Dus, deur die faktoriseringsmetode te gebruik, het ons gevind dat die gegewe vergelyking twee wortels van verskillendehet: 2 en -4.
Metode 2. Komplementeer tot die volle vierkant
In die algebra van vierkantsvergelykings kan die vermenigvuldigermetode nie altyd gebruik word nie, aangesien in die geval van breukwaardes van die koëffisiënte van die kwadratiese vergelyking, probleme ontstaan met die implementering van paragraaf 2 van die algoritme.
Die volvierkantmetode is op sy beurt universeel en kan op kwadratiese vergelykings van enige tipe toegepas word. Die essensie daarvan is om die volgende bewerkings uit te voer:
- Die terme van die vergelyking wat die koëffisiënte a en b bevat, moet na een deel van die vergelyking oorgedra word, en die vrye term c na die ander.
- Volgende moet die dele van die gelykheid (regs en links) gedeel word deur die koëffisiënt a, dit wil sê, stel die vergelyking in die gereduseerde vorm (a=1) voor.
- Stel die terme op met koëffisiënte a en b om as 'n vierkant van 'n lineêre vergelyking voor te stel. Aangesien 'n \u003d 1, dan sal die lineêre koëffisiënt gelyk wees aan 1, soos vir die vrye term van die lineêre vergelyking, dan moet dit gelyk wees aan die helfte van die lineêre koëffisiënt van die verminderde kwadratiese vergelyking. Nadat die vierkant van die lineêre uitdrukking opgestel is, is dit nodig om die ooreenstemmende getal aan die regterkant van die gelykheid, waar die vrye term geleë is, by te tel, wat verkry word deur die vierkant uit te brei.
- Neem die vierkantswortel met "+" en "-" tekens en los die lineêre vergelyking wat reeds verkry is op.
Die beskryfde algoritme kan met die eerste oogopslag as taamlik ingewikkeld beskou word, maar in die praktyk is dit makliker om te implementeer as die faktoriseringsmetode.
'n Voorbeeld van 'n oplossing wat die volle vierkant-komplement gebruik
Kom ons gee 'n voorbeeld van 'n kwadratiese vergelyking om die oplossing daarvan op te lei volgens die metode wat in die vorige paragraaf beskryf is. Laat die kwadratiese vergelyking -10 - 6x+5x2=0 gegee word. Ons begin om dit op te los volgens die algoritme hierbo beskryf.
Item 1. Ons gebruik die oordragmetode wanneer vierkantsvergelykings opgelos word, ons kry: - 6x+5x2=10.
Punt 2. Die verminderde vorm van hierdie vergelyking word verkry deur te deel deur die getal 5 van elk van sy lede (as beide dele gedeel of vermenigvuldig word met dieselfde getal, dan sal die gelykheid behoue bly). As gevolg van die transformasies kry ons: x2 - 6/5x=2.
Item 3. Die helfte van die koëffisiënt - 6/5 is gelyk aan -6/10=-3/5, gebruik hierdie getal om die vierkant te voltooi, ons kry: (-3/5+x) 2 . Ons brei dit uit en die resulterende vrye term moet van die linkerkant van die gelykheid afgetrek word om die oorspronklike vorm van die kwadratiese vergelyking te bevredig, wat gelykstaande is aan die byvoeging daarvan aan die regterkant. As gevolg hiervan kry ons: (-3/5+x)2=59/25.
Item 4. Bereken die vierkantswortel met positiewe en negatiewe tekens en vind die wortels: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Die twee gevonde wortels het die volgende waardes: x1=(√59+3)/5 en x1=(3-√59)/5.
Aangesien die berekeninge wat uitgevoer is, verband hou met wortels, is daar 'n hoë waarskynlikheid om 'n fout te maak. Daarom word dit aanbeveel om die korrektheid van die wortels x2 en x1 na te gaan. Ons kry vir x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Vervang noux2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Ons het dus gewys dat die gevonde wortels van die vergelyking waar is.
Metode 3. Toepassing van die bekende formule
Hierdie metode om kwadratiese vergelykings op te los is miskien die eenvoudigste, aangesien dit bestaan uit die vervanging van die koëffisiënte in 'n bekende formule. Om dit te gebruik, hoef jy nie daaraan te dink om oplossingsalgoritmes saam te stel nie, dit is genoeg om net een formule te onthou. Dit word in die prent hierbo gewys.
In hierdie formule word die radikale uitdrukking (b2-4ac) die diskriminant (D) genoem. Van sy waarde hang af van watter wortels verkry word. Daar is 3 gevalle:
- D>0, dan het die wortel twee-vergelyking reële en verskillendes.
- D=0, dan kry mens die wortel, wat uit die uitdrukking x=-b/(a2) bereken kan word.
- D<0, dan kry jy twee verskillende denkbeeldige wortels, wat as komplekse getalle voorgestel word. Byvoorbeeld, die getal 3-5i is kompleks, terwyl die denkbeeldige eenheid i aan die eienskap voldoen: i2=-1.
'n Voorbeeld van 'n oplossing deur die diskriminant te bereken
Kom ons gee 'n voorbeeld van 'n kwadratiese vergelyking om te oefen deur die formule hierbo te gebruik. Vind die wortels vir -3x2-6+3x+4x=0. Bereken eers die waarde van die diskriminant, ons kry: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Aangesien D<0 verkry word, beteken dit dat die wortels van die beskoude vergelyking komplekse getalle is. Kom ons vind hulle deur die gevind waarde D te vervang in die formule wat in die vorige paragraaf gegee is (dit word ook in die foto hierbo getoon). Ons kry: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Metode 4. Gebruik die funksiegrafiek
Dit word ook die grafiese metode genoem om vierkantsvergelykings op te los. Dit moet gesê word dat dit as 'n reël nie vir kwantitatiewe, maar vir kwalitatiewe ontleding van die vergelyking onder oorweging gebruik word.
Die kern van die metode is om 'n kwadratiese funksie y=f(x), wat 'n parabool is, te plot. Dan is dit nodig om te bepaal by watter punte die parabool die x-as (X) sny, hulle sal die wortels van die ooreenstemmende vergelyking wees.
Om te bepaal of 'n parabool die X-as sal sny, is dit genoeg om die posisie van sy minimum (maksimum) en die rigting van sy takke te ken (hulle kan óf toeneem óf afneem). Daar is twee eienskappe van hierdie kromme om te onthou:
- As a>0 - die parabole van die tak is opwaarts gerig, inteendeel, as a<0, dan gaan hulle af.
- Die minimum (maksimum) koördinaat van 'n parabool is altyd x=-b/(2a).
Byvoorbeeld, jy moet bepaal of die vergelyking wortels het -4x+5x2+10=0. Die ooreenstemmende parabool sal opwaarts gerig wees, aangesien 'n=5>0. Sy uiterste het koördinate: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Sedertdien die minimum van die kromme lê bo die x-as (y=9, 2), dan sny dit nie laasgenoemde vir enigex waardes. Dit wil sê, die gegewe vergelyking het geen werklike wortels nie.
Vieta se stelling
Soos hierbo genoem, is hierdie stelling 'n gevolg van metode nr. 3, wat gebaseer is op die toepassing van 'n formule met 'n diskriminant. Die kern van die Vieta-stelling is dat dit jou toelaat om die koëffisiënte van die vergelyking en sy wortels in gelykheid te verbind. Kom ons kry die ooreenstemmende gelykhede.
Kom ons gebruik die formule om die wortels deur die diskriminant te bereken. Voeg twee wortels by, ons kry: x1+x2=-b/a. Kom ons vermenigvuldig nou die wortels met mekaar: x1x2, na 'n reeks vereenvoudigings kry ons die getal c/a.
Dus, om die kwadratiese vergelykings deur die Vieta-stelling op te los, kan jy die verkrygde twee gelykes gebruik. As al drie koëffisiënte van 'n vergelyking bekend is, kan die wortels gevind word deur die toepaslike stelsel van hierdie twee vergelykings op te los.
'n Voorbeeld van die gebruik van Vieta se stelling
Jy moet 'n kwadratiese vergelyking skryf as jy weet dat dit die vorm x2+c=-bx het en sy wortels is 3 en -4.
Sedert a=1 in die vergelyking wat oorweeg word, sal die Vieta-formules soos volg lyk: x2+x1=-b en x2x1=bl. Deur die bekende waardes van die wortels te vervang, kry ons: b=1 en c=-12. As gevolg hiervan sal die herstelde kwadratiese verminderde vergelyking soos volg lyk: x2-12=-1x. Jy kan die waarde van die wortels daarin vervang en seker maak dat die gelykheid geld.
Omgekeerde toepassing van die Vieta-stelling, dit wil sê, die berekening van die wortels deurbekende vorm van die vergelyking, maak voorsiening vir klein heelgetalle a, b en c om vinnig (intuïtief) oplossings te vind.
