Sommige wiskundeprobleme vereis die vermoë om die vierkantswortel te bereken. Hierdie probleme sluit in die oplossing van tweede-orde vergelykings. In hierdie artikel bied ons 'n effektiewe metode vir die berekening van vierkantswortels aan en gebruik dit wanneer daar met formules vir die wortels van 'n kwadratiese vergelyking gewerk word.
Wat is 'n vierkantswortel?
In wiskunde stem hierdie konsep ooreen met die simbool √. Historiese data sê dat dit vir die eerste keer in die eerste helfte van die 16de eeu in Duitsland begin gebruik is (die eerste Duitse werk oor algebra deur Christoph Rudolf). Wetenskaplikes glo dat hierdie simbool 'n getransformeerde Latynse letter r is (radix beteken "wortel" in Latyn).
Die wortel van enige getal is gelyk aan so 'n waarde, waarvan die vierkant ooreenstem met die worteluitdrukking. In die taal van wiskunde sal hierdie definisie so lyk: √x=y as y2=x.
Die wortel van 'n positiewe getal (x > 0) is ook'n positiewe getal (y > 0), maar as die wortel van 'n negatiewe getal (x < 0) geneem word, sal die resultaat daarvan reeds 'n komplekse getal wees, insluitend die denkbeeldige eenheid i.
Hier is twee eenvoudige voorbeelde:
√9=3 want 32 =9; √(-9)=3i omdat i2=-1.
Heron se iteratiewe formule vir die vind van vierkantswortels
Bogenoemde voorbeelde is baie eenvoudig, en om die wortels daarin te bereken is nie moeilik nie. Probleme begin reeds voorkom wanneer die wortelwaardes gevind word vir enige waarde wat nie as 'n vierkant van 'n natuurlike getal voorgestel kan word nie, byvoorbeeld √10, √11, √12, √13, om nie te praat van die feit dat dit in die praktyk is nodig om wortels vir nie-heelgetalle te vind: byvoorbeeld √(12, 15), √(8, 5) ensovoorts.
In al die bogenoemde gevalle moet 'n spesiale metode gebruik word om die vierkantswortel te bereken. Tans is verskeie sulke metodes bekend: byvoorbeeld uitbreiding in 'n Taylor-reeks, verdeling deur 'n kolom, en 'n paar ander. Van alle bekende metodes is miskien die eenvoudigste en doeltreffendste die gebruik van Heron se iteratiewe formule, wat ook bekend staan as die Babiloniese metode vir die bepaling van vierkantswortels (daar is bewyse dat die antieke Babiloniërs dit in hul praktiese berekeninge gebruik het).
Laat dit nodig wees om die waarde van √x te bepaal. Die formule om die vierkantswortel te vind is soos volg:
an+1=1/2(a+x/a), waar limn->∞(a)=> x.
Ontsyfer hierdie wiskundige notasie. Om √x te bereken, moet jy 'n getal neem a0 (dit kan arbitrêr wees, maar vir 'n vinnige resultaat, moet jy dit so kies dat (a0) 2 was so na as moontlik aan x, vervang dit dan in die gespesifiseerde vierkantswortelformule en kry 'n nuwe getal a1, wat reeds nader aan die verlangde waarde wees. dit is nodig om 'n1 in die uitdrukking te vervang en kry 'n2 Hierdie prosedure moet herhaal word totdat die vereiste akkuraatheid verkry is.
'n Voorbeeld van die toepassing van Heron se iteratiewe formule
Die algoritme wat hierbo beskryf word om die vierkantswortel van een of ander gegewe getal te verkry, klink dalk vir baie ingewikkeld en verwarrend, maar in werklikheid blyk alles baie eenvoudiger te wees, aangesien hierdie formule baie vinnig konvergeer (veral as 'n gelukkige getal word 'n0 gekies).
Kom ons neem 'n eenvoudige voorbeeld: ons moet √11 bereken. Ons kies 'n0=3, aangesien 32=9, wat nader aan 11 is as 42=16. As ons die formule vervang, kry ons:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Daar is geen sin om voort te gaan met die berekeninge nie, aangesien ons verkry het dat a2 en a3 net in die 5de desimaal begin verskil plek. Dit was dus genoeg om slegs 2 keer die formule toe te pasbereken √11 tot binne 0,0001.
Tans word sakrekenaars en rekenaars wyd gebruik om wortels te bereken, maar dit is nuttig om die gemerkte formule te onthou om hul presiese waarde met die hand te kan bereken.
Tweede-orde vergelykings
Om te verstaan wat 'n vierkantswortel is en die vermoë om dit te bereken, word gebruik wanneer kwadratiese vergelykings opgelos word. Hierdie vergelykings is gelykes met een onbekende, waarvan die algemene vorm in die onderstaande figuur getoon word.
Hier is c, b en a sommige getalle, en a moet nie gelyk aan nul wees nie, en die waardes van c en b kan heeltemal arbitrêr wees, insluitend nul.
Enige waardes van x wat voldoen aan die gelykheid wat in die figuur aangedui word, word sy wortels genoem (hierdie konsep moet nie met die vierkantswortel √ verwar word nie). Aangesien die vergelyking wat oorweeg word die 2de orde het (x2), kan daar nie meer as twee getalle vir sy wortels wees nie. Kom ons kyk hoe om hierdie wortels later in die artikel te vind.
Vind die wortels van 'n kwadratiese vergelyking (formule)
Hierdie metode om die oorweegse tipe gelykhede op te los, word ook universeel genoem, of die metode deur die diskriminant. Dit kan op enige kwadratiese vergelykings toegepas word. Die formule vir die diskriminant en wortels van die kwadratiese vergelyking is soos volg:
Dit wys dat die wortels afhang van die waarde van elk van die drie koëffisiënte van die vergelyking. Verder, die berekeningx1 verskil van die berekening x2 slegs deur die teken voor die vierkantswortel. Die radikale uitdrukking, wat gelyk is aan b2 - 4ac, is niks meer as die diskriminant van die beskoude gelykheid nie. Die diskriminant in die formule vir die wortels van 'n kwadratiese vergelyking speel 'n belangrike rol omdat dit die aantal en tipe oplossings bepaal. Dus, as dit nul is, dan sal daar net een oplossing wees, as dit positief is, dan het die vergelyking twee reële wortels, uiteindelik lei die negatiewe diskriminant tot twee komplekse wortels x1 en x 2.
Vieta se stelling of sommige eienskappe van die wortels van tweede-orde vergelykings
Aan die einde van die 16de eeu kon een van die stigters van moderne algebra, Fransman Francois Viet, wat tweede-orde vergelykings bestudeer het, die eienskappe van sy wortels verkry. Wiskundig kan hulle soos volg geskryf word:
x1 + x2=-b / a en x1 x 2=c / a.
Albei gelykhede kan maklik deur enigiemand verkry word, hiervoor is dit slegs nodig om die toepaslike wiskundige bewerkings uit te voer met die wortels verkry deur die formule met die diskriminant.
Die kombinasie van hierdie twee uitdrukkings kan met reg die tweede formule van die wortels van 'n kwadratiese vergelyking genoem word, wat dit moontlik maak om die oplossings daarvan te raai sonder om die diskriminant te gebruik. Daar moet hier op gelet word dat alhoewel beide uitdrukkings altyd geldig is, dit gerieflik is om dit te gebruik om 'n vergelyking op te los slegs as dit verreken kan word.
Die taak om die verworwe kennis te konsolideer
Kom ons los 'n wiskundige probleem op waarin ons al die tegnieke sal demonstreer wat in die artikel bespreek word. Die voorwaardes van die probleem is soos volg: jy moet twee getalle vind waarvoor die produk -13 is, en die som is 4.
Hierdie toestand herinner dadelik aan Vieta se stelling, deur die formules vir die som van vierkantswortels en hul produk toe te pas, skryf ons:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Aanvaar a=1, dan b=-4 en c=-13. Hierdie koëffisiënte stel ons in staat om 'n tweede orde vergelyking te skryf:
x2 - 4x - 13=0.
Gebruik die formule met die diskriminant, ons kry die volgende wortels:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Dit wil sê, die taak is verminder tot die vind van die nommer √68. Let daarop dat 68=417, en dan deur die vierkantswortel-eienskap te gebruik, kry ons: √68=2√17.
Kom ons gebruik nou die beskoude vierkantswortelformule: a0=4, dan:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Daar is nie nodig om 'n3 te bereken nie, want die gevonde waardes verskil met slegs 0.02. Dus, √68=8.246. Vervang dit in die formule vir x 1, 2, ons kry:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 en x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Soos jy kan sien, is die som van die gevind getalle inderdaad 4, maar as jy hul produk vind, sal dit gelyk wees aan -12,999, wat voldoen aan die toestand van die probleem met 'n akkuraatheid van 0,001.
