Eienskappe en metodes om die wortels van 'n kwadratiese vergelyking te vind

2024 Outeur: Angel Austin | [email protected]. Laas verander: 2023-12-17 05:14

Die wêreld is so gerangskik dat die oplossing van 'n groot aantal probleme daarop neerkom om die wortels van 'n kwadratiese vergelyking te vind. Die wortels van vergelykings is belangrik vir die beskrywing van verskeie patrone. Dit was selfs aan die landmeters van eertydse Babilon bekend. Sterrekundiges en ingenieurs was ook gedwing om sulke probleme op te los. Terug in die 6de eeu nC het die Indiese wetenskaplike Aryabhata die basiese beginsels ontwikkel om die wortels van 'n kwadratiese vergelyking te vind. Die formules is in die 19de eeu voltooi.

Algemene konsepte

Ons nooi jou uit om jouself te vergewis van die basiese reëlmatighede van kwadratiese gelykhede. Oor die algemeen kan gelykheid soos volg geskryf word:

ax2 + bx + c=0, Die aantal wortels van 'n kwadratiese vergelyking kan gelyk wees aan een of twee. 'n Vinnige ontleding kan gedoen word deur die konsep van diskriminant te gebruik:

D=b2 - 4ac

Afhangende van die berekende waarde, kry ons:

• Wanneer D > 0 is daar twee verskillende wortels. Die algemene formule vir die bepaling van die wortels van 'n kwadratiese vergelyking lyk soos (-b± √D) / (2a).
• D=0, in hierdie geval is die wortel een en stem ooreen met die waarde x=-b / (2a)
• D < 0, vir 'n negatiewe waarde van die diskriminant, is daar geen oplossing vir die vergelyking nie.

Let wel: as die diskriminant negatief is, het die vergelyking geen wortels net in die gebied van reële getalle nie. As algebra uitgebrei word na die konsep van komplekse wortels, dan het die vergelyking 'n oplossing.

Kom ons gee 'n ketting van aksies wat die formule vir die vind van wortels bevestig.

Uit die algemene vorm van die vergelyking volg dit:

ax2 + bx=-c

Ons vermenigvuldig die regter- en linkerdele met 4a en tel b2 by, ons kry

4a²x² + 4abx + b² =-4ac+b ²

Transformeer die linkerkant in die vierkant van die polinoom (2ax + b)². Ons onttrek die vierkantswortel van beide kante van die vergelyking 2ax + b=-b ± √(-4ac + b^{2), dra die koëffisiënt b na die regterkant oor, ons kry:}

2ax=-b ± √(-4ac + b2)

Van hier volg:

x=(-b ± √(b2 - 4ac))

Wat was nodig om te wys.

Spesiale geval

In sommige gevalle kan die oplossing van die probleem vereenvoudig word. Dus, vir 'n ewe koëffisiënt b kry ons 'n eenvoudiger formule.

Dui k=1/2b aan, dan neem die formule van die algemene vorm van die wortels van die kwadratiese vergelyking die vorm aan:

x=(-k ± √(k2 -ac)) / a

Wanneer D=0, kry ons x=-k / a

Nog 'n spesiale geval is die oplossing van die vergelyking met a=1.

Vir die vorm x² + bx + c=0 sal die wortels x=-k ± √(k^{2 - c wees) met diskriminant groter as 0. In die geval wanneer D=0, sal die wortel deur 'n eenvoudige formule bepaal word: x=-k.}

Gebruik grafieke

Enige persoon, sonder dat hy dit eers weet, word voortdurend gekonfronteer met fisiese, chemiese, biologiese en selfs sosiale verskynsels wat goed beskryf word deur 'n kwadratiese funksie.

Let wel: die kromme gebou op grond van 'n kwadratiese funksie word 'n parabool genoem.

Hier is 'n paar voorbeelde.

1. Wanneer die trajek van 'n projektiel bereken word, word die eienskap van beweging langs 'n parabool van 'n liggaam wat teen 'n hoek met die horison afgevuur word gebruik.
2. Die eienskap van 'n parabool om die las eweredig te versprei word wyd in argitektuur gebruik.

Om die belangrikheid van die paraboliese funksie te verstaan, kom ons vind uit hoe om die grafiek te gebruik om sy eienskappe te verken, deur die konsepte van "diskriminant" en "wortels van 'n kwadratiese vergelyking" te gebruik.

Afhangende van die waarde van die koëffisiënte a en b, is daar net ses opsies vir die posisie van die kromme:

1. Die diskriminant is positief, a en b het verskillende tekens. Die takke van die parabool kyk op, die kwadratiese vergelyking het twee oplossings.
2. Diskriminant en koëffisiënt b is gelyk aan nul, koëffisiënt a is groter as nul. Die grafiek is in die positiewe sone, die vergelyking het 1 wortel.
3. Die diskriminant en alle koëffisiënte is positief. Die kwadratiese vergelyking het geen oplossing nie.
4. Diskriminant en koëffisiënt a is negatief, b is groter as nul. Die takke van die grafiek is afwaarts gerig, die vergelyking het twee wortels.
5. Diskriminant enkoëffisiënt b is gelyk aan nul, koëffisiënt a is negatief. Die parabool kyk af, die vergelyking het een wortel.
6. Die waardes van die diskriminant en alle koëffisiënte is negatief. Daar is geen oplossings nie, die funksiewaardes is heeltemal in die negatiewe sone.

Let wel: die opsie a=0 word nie oorweeg nie, aangesien die parabool in hierdie geval in 'n reguit lyn ontaard.

Al die bogenoemde word goed geïllustreer deur die figuur hieronder.

Voorbeelde van probleemoplossing

Toestand: gebruik die algemene eienskappe en maak 'n kwadratiese vergelyking waarvan die wortels gelyk aan mekaar is.

Oplossing:

volgens die toestand van die probleem x₁ =x₂, of -b + √(b^{2- 4ac) / (2a)=-b + √(b}2 ^{- 4ac) / (2a). Vereenvoudig die notasie:}

-b + √(b² - 4ac) / (2a) - (-b - √(b² - 4ac) / (2a))=0, maak die hakies oop en gee soortgelyke terme. Die vergelyking word 2√(b² - 4ac)=0. Hierdie stelling is waar wanneer b² - 4ac=0, dus b ^{2=4ac, dan word die waarde b=2√(ac) in die vergelyking vervang}

ax² + 2√(ac)x + c=0, in die verminderde vorm kry ons x^{2 + 2√(c / a)x + c=0.}

Antwoord:

vir a nie gelyk aan 0 en enige c nie, is daar net een oplossing as b=2√(c / a).

Kwadriese vergelykings, vir al hul eenvoud, is van groot belang in ingenieursberekeninge. Byna enige fisiese proses kan beskryf word met 'n mate van benadering met behulp vanmagsfunksies van orde n. Die kwadratiese vergelyking sal die eerste so 'n benadering wees.