Wanneer meetkundige probleme in die ruimte opgelos word, is daar dikwels dié waar dit nodig is om die hoeke tussen verskillende ruimtelike voorwerpe te bereken. In hierdie artikel sal ons die kwessie van die vind van hoeke tussen vlakke en tussen hulle en 'n reguitlyn oorweeg.
Lyn in die spasie
Dit is bekend dat absoluut enige reguit lyn in die vlak deur die volgende gelykheid gedefinieer kan word:
y=ax + b
Hier is a en b 'n paar getalle. As ons 'n reguit lyn in die ruimte met dieselfde uitdrukking voorstel, kry ons 'n vlak parallel met die z-as. Vir die wiskundige definisie van die ruimtelyn word 'n ander oplossingsmetode gebruik as in die tweedimensionele geval. Dit bestaan uit die gebruik van die konsep van "rigtingvektor".
Die rigtingvektor van 'n reguit lyn wys sy oriëntasie in die ruimte. Hierdie parameter behoort aan die lyn. Aangesien daar 'n oneindige stel vektore parallel in die ruimte is, is dit ook nodig om die koördinate van die punt wat daaraan behoort te ken om die beskoude meetkundige voorwerp uniek te bepaal.
Veronderstel dat daar ispunt P(x0; y0; z0) en rigtingvektor v¯(a; b; c), dan kan die vergelyking van 'n reguit lyn soos volg gegee word:
(x; y; z)=P + αv¯ of
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Hierdie uitdrukking word die parametriese vektorvergelyking van 'n reguitlyn genoem. Die koëffisiënt α is 'n parameter wat absoluut enige werklike waardes kan neem. Die koördinate van 'n lyn kan eksplisiet voorgestel word deur hierdie gelykheid uit te brei:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb;
z=z0+ αc
Vergelyking van die vliegtuig
Daar is verskeie vorme van die skryf van 'n vergelyking vir 'n vliegtuig in die ruimte. Hier sal ons een van hulle oorweeg, wat die meeste gebruik word wanneer die hoeke tussen twee vlakke of tussen een van hulle en 'n reguit lyn bereken word.
As een of ander vektor n¯(A; B; C) bekend is, wat loodreg op die verlangde vlak is, en die punt P(x0; y 0; z0), wat daaraan behoort, dan is die algemene vergelyking vir laasgenoemde:
Ax + By + Cz + D=0 waar D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Ons het die afleiding van hierdie uitdrukking weggelaat, wat redelik eenvoudig is. Hier let ons net op dat, met die kennis van die koëffisiënte van die veranderlikes in die vergelyking van die vlak, 'n mens maklik al die vektore kan vind wat loodreg daarop is. Laasgenoemde word normale genoem en word gebruik in die berekening van die hoeke tussen die skuins en die vlak en tussenarbitrêre analoë.
Die ligging van die vlakke en die formule vir die hoek tussen hulle
Kom ons sê daar is twee vliegtuie. Wat is die opsies vir hul relatiewe posisie in die ruimte. Aangesien die vliegtuig twee oneindige afmetings en een nul het, is slegs twee opsies vir hul onderlinge oriëntasie moontlik:
- hulle sal parallel aan mekaar wees;
- hulle kan oorvleuel.
Die hoek tussen vlakke is die indeks tussen hul rigtingvektore, dit wil sê tussen hul normale n1¯ en n2¯.
Natuurlik, as hulle parallel aan die vlak is, dan is die snyhoek nul tussen hulle. As hulle mekaar sny, is dit nie nul nie, maar altyd skerp. 'n Spesiale geval van kruising sal die hoek 90o wees, wanneer die vlakke onderling loodreg op mekaar is.
Die hoek α tussen n1¯ en n2¯ word maklik uit die skalêre produk van hierdie vektore bepaal. Dit wil sê, die formule vind plaas:
α=arccos((n1¯n2¯)/(|n1 ¯| |n2¯|))
Veronderstel dat die koördinate van hierdie vektore is: n1¯(a1; b1; c1), n2¯(a2; b2; c2). Gebruik dan die formules vir die berekening van die skalaarproduk en modules van vektore deur hul koördinate, die uitdrukking hierbo kan herskryf word as:
α=arccos(|a1 a2 + b1 b 2 +c1 c2| / (√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b 22 + c22)))
Die modulus in die teller het verskyn omdat om die waardes van stompe hoeke uit te sluit.
Voorbeelde van die oplossing van probleme om die snyhoek van vlakke te bepaal
Om te weet hoe om die hoek tussen die vliegtuie te vind, sal ons die volgende probleem oplos. Twee vlakke word gegee, waarvan die vergelykings is:
3x + 4y - z + 3=0;
-x - 2y + 5z +1=0
Wat is die hoek tussen die vlakke?
Om die vraag van die probleem te beantwoord, laat ons onthou dat die koëffisiënte van die veranderlikes in die algemene vergelyking van die vlak die koördinate van die gidsvektor is. Vir die aangeduide vlakke het ons die volgende koördinate van hul normale:
1¯(3; 4; -1);
2¯(-1; -2; 5)
Nou vind ons die skalêre produk van hierdie vektore en hul modules, ons het:
(n1¯n2¯)=-3 -8 -5=-16;
|n1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;
|n2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30
Nou kan jy die gevonde nommers vervang in die formule wat in die vorige paragraaf gegee is. Ons kry:
α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o
Die resulterende waarde stem ooreen met 'n skerp snyhoek van die vlakke gespesifiseer in die voorwaardetake.
Beskou nou nog 'n voorbeeld. Gegee twee vliegtuie:
x + y -3=0;
3x + 3y + 8=0
Kruis hulle? Kom ons skryf die waardes van die koördinate van hul rigtingvektore uit, bereken hul skalêre produk en modules:
1¯(1; 1; 0);
2¯(3; 3; 0);(n1¯n2¯)=3 + 3 + 0=6;
|n1¯|=√2;
|n2¯|=√18
Dan is die kruisingshoek:
α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.
Hierdie hoek dui aan dat die vlakke nie sny nie, maar parallel is. Die feit dat hulle nie by mekaar pas nie, is maklik om na te gaan. Kom ons neem hiervoor 'n arbitrêre punt wat aan die eerste van hulle behoort, byvoorbeeld P(0; 3; 2). Vervang sy koördinate in die tweede vergelyking, ons kry:
30 +33 + 8=17 ≠ 0
Dit wil sê, die punt P behoort net aan die eerste vlak.
Dus twee vlakke is parallel wanneer hulle normale is.
Vliegtuig en reguitlyn
In die geval van die oorweging van die relatiewe posisie tussen 'n vlak en 'n reguit lyn, is daar verskeie meer opsies as met twee vlakke. Hierdie feit hou verband met die feit dat die reguitlyn 'n eendimensionele voorwerp is. Lyn en vliegtuig kan wees:
- onderling parallel, in hierdie geval sny die vliegtuig nie die lyn nie;
- laasgenoemde mag aan die vliegtuig behoort, terwyl dit ook parallel daarmee sal wees;
- albei voorwerpe kansny teen 'n hoek.
Kom ons kyk eers na die laaste geval, aangesien dit die bekendstelling van die konsep van die snyhoek vereis.
Lyn en vlak, die hoek tussen hulle
As 'n reguit lyn 'n vlak sny, word dit skuins genoem met betrekking tot dit. Die snypunt word die basis van die helling genoem. Om die hoek tussen hierdie meetkundige voorwerpe te bepaal, is dit nodig om 'n reguit loodreg op die vlak vanaf enige punt te laat sak. Dan vorm die snypunt van die loodlyn met die vlak en die plek van sny van die skuins lyn daarmee 'n reguit lyn. Laasgenoemde word die projeksie van die oorspronklike lyn op die vliegtuig wat oorweeg word genoem. Die skerp hoek tussen die lyn en sy projeksie is die vereiste een.
Ietwat verwarrende definisie van die hoek tussen 'n vlak en 'n skuins sal die figuur hieronder verduidelik.
Hier is die hoek ABO die hoek tussen die lyn AB en die vlak a.
Om die formule daarvoor neer te skryf, oorweeg 'n voorbeeld. Laat daar 'n reguit lyn en 'n vlak wees, wat beskryf word deur die vergelykings:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c);
Ax + Bx + Cx + D=0
Dit is maklik om die verlangde hoek vir hierdie voorwerpe te bereken as jy die skalaarproduk tussen die rigtingvektore van die lyn en die vlak vind. Die resulterende skerphoek moet van 90o afgetrek word, dan word dit tussen 'n reguitlyn en 'n vlak verkry.
Die figuur hierbo toon die beskryfde algoritme om te vindbeskoude hoek. Hier is β die hoek tussen die normaal en die lyn, en α is tussen die lyn en sy projeksie op die vlak. Dit kan gesien word dat hul som 90o is.
Hierbo is 'n formule aangebied wat die vraag beantwoord hoe om 'n hoek tussen vlakke te vind. Nou gee ons die ooreenstemmende uitdrukking vir die geval van 'n reguit lyn en 'n vlak:
α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a 2 + b2 + c 2)√(A 2 + B 2 + C 2)))
Die modulus in die formule laat slegs skerp hoeke toe om te bereken. Die arcsine-funksie het in plaas van die arccosine verskyn as gevolg van die gebruik van die ooreenstemmende reduksieformule tussen trigonometriese funksies (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).
Probleem: 'n Vliegtuig sny 'n reguit lyn
Kom ons wys nou hoe om met die bogenoemde formule te werk. Kom ons los die probleem op: dit is nodig om die hoek tussen die y-as en die vlak te bereken wat deur die vergelyking gegee word:
y - z + 12=0
Hierdie vliegtuig word in die prentjie gewys.
Jy kan sien dat dit die y- en z-as sny by die punte (0; -12; 0) en (0; 0; 12), onderskeidelik, en parallel aan die x-as is.
Die rigtingvektor van die lyn y het koördinate (0; 1; 0). 'n Vektor loodreg op 'n gegewe vlak word gekenmerk deur koördinate (0; 1; -1). Ons pas die formule toe vir die snyhoek van 'n reguit lyn en 'n vlak, ons kry:
α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o
Probleem: reguit lyn parallel met die vliegtuig
Nou kom ons besluitsoortgelyk aan die vorige probleem, waarvan die vraag anders gestel word. Die vergelykings van die vlak en die reguitlyn is bekend:
x + y - z - 3=0;
(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)
Dit is nodig om uit te vind of hierdie meetkundige voorwerpe parallel aan mekaar is.
Ons het twee vektore: die rigting van die reguitlyn is (0; 2; 2) en die rigting van die vlak is (1; 1; -1). Vind hul kolletjieproduk:
01 + 12 - 12=0
Die resulterende nul dui aan dat die hoek tussen hierdie vektore 90o is, wat bewys dat die lyn en die vlak ewewydig is.
Kom ons kyk nou of hierdie lyn net parallel is of ook in die vlak lê. Om dit te doen, kies 'n arbitrêre punt op die lyn en kyk of dit aan die vliegtuig behoort. Byvoorbeeld, kom ons neem λ=0, dan behoort die punt P(1; 0; 0) aan die lyn. Plaas in die vergelyking van die vlak P:
1 - 3=-2 ≠ 0
Die punt P behoort nie aan die vlak nie, wat beteken dat die hele lyn ook nie daarin lê nie.
Waar is dit belangrik om die hoeke tussen die beskoude meetkundige voorwerpe te ken?
Bogenoemde formules en voorbeelde van probleemoplossing is nie net van teoretiese belang nie. Hulle word dikwels gebruik om belangrike fisiese hoeveelhede van werklike driedimensionele figure, soos prismas of piramides, te bepaal. Dit is belangrik om die hoek tussen die vlakke te kan bepaal wanneer die volumes van figure en die oppervlaktes van hul oppervlaktes bereken word. Verder, as dit in die geval van 'n reguit prisma moontlik is om nie hierdie formules te gebruik om te bepaal niegespesifiseerde waardes, dan is die gebruik daarvan vir enige tipe piramide onvermydelik.
Beskou 'n voorbeeld van die gebruik van die teorie hierbo om die hoeke van 'n piramide met 'n vierkantige basis te bepaal.
Piramide en sy hoeke
Die figuur hieronder toon 'n piramide, aan die basis waarvan 'n vierkant met sy a lê. Die hoogte van die figuur is h. Moet twee hoeke vind:
- tussen syoppervlak en basis;
- tussen syrib en basis.
Om die probleem op te los, moet jy eers die koördinaatstelsel invoer en die parameters van die ooreenstemmende hoekpunte bepaal. Die figuur toon dat die oorsprong van koördinate saamval met die punt in die middel van die vierkantige basis. In hierdie geval word die basisvlak beskryf deur die vergelyking:
z=0
Dit wil sê, vir enige x en y is die waarde van die derde koördinaat altyd nul. Die syvlak ABC sny die z-as by die punt B(0; 0; h), en die y-as by die punt met koördinate (0; a/2; 0). Dit kruis nie die x-as nie. Dit beteken dat die vergelyking van die ABC-vlak geskryf kan word as:
y / (a/2) + z / h=1 of
2hy + az - ah=0
Vektor AB¯ is 'n syrand. Die begin- en eindkoördinate daarvan is: A(a/2; a/2; 0) en B(0; 0; h). Dan die koördinate van die vektor self:
AB¯(-a/2; -a/2; h)
Ons het al die nodige vergelykings en vektore gevind. Nou bly dit oor om die oorweegde formules te gebruik.
Eers bereken ons in die piramide die hoek tussen die vlakke van die basisen kant. Die ooreenstemmende normale vektore is: n1¯(0; 0; 1) en n2¯(0; 2h; a). Dan sal die hoek wees:
α=arccos(a / √(4h2 + a2))
Die hoek tussen vlak en rand AB sal wees:
β=arcsin(h / √(a2 / 2 + h2))
Dit bly om die spesifieke waardes van die sy van die basis a en die hoogte h te vervang om die vereiste hoeke te kry.
