Pythagoreaanse stelling: die kwadraat van die skuinssy is gelyk aan die som van die bene in die kwadraat

2024 Outeur: Angel Austin | [email protected]. Laas verander: 2023-12-17 05:14

Elke student weet dat die kwadraat van die skuinssy altyd gelyk is aan die som van die bene, wat elkeen kwadraat is. Hierdie stelling word die Pythagoras-stelling genoem. Dit is een van die bekendste stellings in trigonometrie en wiskunde in die algemeen. Oorweeg dit in meer besonderhede.

Die konsep van 'n reghoekige driehoek

Voordat ons verder gaan om die Pythagoras-stelling te oorweeg, waarin die kwadraat van die skuinssy gelyk is aan die som van die bene wat kwadraat is, moet ons die konsep en eienskappe van 'n reghoekige driehoek, waarvoor die stelling oorweeg is geldig.

Driehoek is 'n plat figuur met drie hoeke en drie sye. 'n Regte driehoek, soos sy naam aandui, het een regte hoek, dit wil sê, hierdie hoek is 90o.

Uit die algemene eienskappe vir alle driehoeke is dit bekend dat die som van al drie hoeke van hierdie figuur 180^o is, wat beteken dat vir 'n reghoekige driehoek die som van twee hoeke wat nie reg is nie, is 180^o -90^o=90^o. Die laaste feit beteken dat enige hoek in 'n reghoekige driehoek wat nie 'n regte hoek is nie, altyd minder as 90 sal wees^o.

Die sy wat teenoor die regte hoek lê, word die skuinssy genoem. Die ander twee sye is die bene van die driehoek, hulle kan gelyk aan mekaar wees, of hulle kan verskil. Dit is uit trigonometrie bekend dat hoe groter die hoek waarteen 'n sy in 'n driehoek lê, hoe groter is die lengte van hierdie sy. Dit beteken dat in 'n reghoekige driehoek die skuinssy (lê teenoor die hoek 90^o) altyd groter as enige van die bene sal wees (lê oorkant die hoeke < 90^o).

Wiskundige notasie van die Pythagoras-stelling

Hierdie stelling sê dat die kwadraat van die skuinssy gelyk is aan die som van die bene, waarvan elkeen voorheen gekwadraat is. Om hierdie formulering wiskundig te skryf, oorweeg 'n reghoekige driehoek waarin die sye a, b en c onderskeidelik die twee bene en die skuinssy is. In hierdie geval kan die stelling, wat gestel word as die kwadraat van die skuinssy gelyk is aan die som van die vierkante van die bene, deur die volgende formule voorgestel word: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. Van hier af kan ander formules wat belangrik is vir oefening verkry word: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c}) 2 ^{- a}2^{) en c=√(a}2 ^{+ b}2^).

Let op dat in die geval van 'n reghoekige gelyksydige driehoek, dit wil sê, a=b, die formulering: die kwadraat van die skuinssy is gelyk aan die som van die bene, wat elkeenkwadraat, wiskundig geskryf as: c²=a² + b²=2a ^{2, wat die gelykheid impliseer: c=a√2.}

Historiese agtergrond

Die Pythagoras-stelling, wat sê dat die kwadraat van die skuinssy gelyk is aan die som van die bene, waarvan elkeen kwadraat is, was bekend lank voordat die beroemde Griekse filosoof daaraan aandag gegee het. Baie papirusse van antieke Egipte, sowel as kleitablette van die Babiloniërs, bevestig dat hierdie volke die bekende eienskap van die sye van 'n reghoekige driehoek gebruik het. Byvoorbeeld, een van die eerste Egiptiese piramides, die Piramide van Khafre, wie se konstruksie dateer uit die 26ste eeu vC (2000 jaar voor die lewe van Pythagoras), is gebou op grond van die kennis van die aspekverhouding in 'n 3x4x5 reghoekige driehoek.

Hoekom is die stelling dan nou na 'n Griek vernoem? Die antwoord is eenvoudig: Pythagoras is die eerste wat hierdie stelling wiskundig bewys het. Oorlewende Babiloniese en Egiptiese geskrifte noem slegs die gebruik daarvan, maar verskaf geen wiskundige bewys nie.

Daar word geglo dat Pythagoras die stelling onder oorweging bewys het deur die eienskappe van soortgelyke driehoeke te gebruik, wat hy verkry het deur 'n hoogte in 'n reghoekige driehoek te teken vanaf die hoek 90o tot die skuinssy.

'n Voorbeeld van die gebruik van die Pythagoras-stelling

Beskou 'n eenvoudige probleem: dit is nodig om die lengte van 'n skuins trap L te bepaal, as dit bekend is dat dit 'n hoogte H=3 hetmeter, en die afstand van die muur waarteen die leer rus tot by sy voet is P=2,5 meter.

In hierdie geval is H en P die bene, en L is die skuinssy. Aangesien die lengte van die skuinssy gelyk is aan die som van die vierkante van die bene, kry ons: L²=H² + P 2^{, waarvandaan L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3) 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3,905 meter of 3 meter en 90,5 cm.}