Wanneer syfers in die ruimte oorweeg word, ontstaan dikwels probleme met die bepaling van hul oppervlakte. Een so 'n figuur is die keël. Oorweeg in die artikel wat die syoppervlak van 'n keël met 'n ronde basis is, sowel as 'n afgeknotte keël.
kegel met ronde basis
Voordat ons verder gaan met die oorweging van die laterale oppervlak van die keël, sal ons wys watter soort figuur dit is en hoe om dit met behulp van meetkundige metodes te verkry.
Neem 'n reghoekige driehoek ABC, waar AB en AC bene is. Kom ons plaas hierdie driehoek op been AC en draai dit om been AB. Gevolglik beskryf sye AC en BC twee oppervlaktes van die figuur hieronder.
Die figuur wat deur rotasie verkry word, word 'n ronde reguit keël genoem. Dit is rond omdat sy basis 'n sirkel is, en reguit omdat 'n loodlyn getrek vanaf die bokant van die figuur (punt B) die sirkel by sy middelpunt sny. Die lengte van hierdie loodlyn word die hoogte genoem. Dit is duidelik dat dit gelyk is aan been AB. Die hoogte word gewoonlik met die letter h aangedui.
Behalwe die hoogte, word die oorweegse keël beskryf deur nog twee lineêre kenmerke:
- generering, of generatrix (hypotenuse BC);
- basisradius (been AC).
Die radius sal deur die letter r aangedui word, en die generatoratrix deur g. Dan, met inagneming van die Pythagoras-stelling, kan ons die gelykheid wat belangrik is vir die figuur wat oorweeg word, neerskryf:
g2=h2+ r2
Koniese oppervlak
Die totaliteit van alle generatrises vorm 'n keëlvormige of laterale oppervlak van 'n keël. In voorkoms is dit moeilik om te sê met watter plat figuur dit ooreenstem. Laasgenoemde is belangrik om te weet wanneer die oppervlakte van 'n koniese oppervlak bepaal word. Om hierdie probleem op te los, word die veegmetode gebruik. Dit bestaan uit die volgende: 'n oppervlak word verstandelik langs 'n arbitrêre generatrix gesny, en dan word dit op 'n vlak ontvou. Met hierdie metode om 'n sweep te verkry, word die volgende plat figuur gevorm.
Soos jy dalk kan raai, stem die sirkel ooreen met die basis, maar die sirkelvormige sektor is 'n koniese oppervlak, die area waarin ons belangstel. Die sektor word begrens deur twee generatrises en 'n boog. Die lengte van laasgenoemde is presies gelyk aan die omtrek (lengte) van die omtrek van die basis. Hierdie eienskappe bepaal op unieke wyse alle eienskappe van die sirkelsektor. Ons sal nie intermediêre wiskundige berekeninge gee nie, maar skryf dadelik die finale formule neer, gebruik waarmee jy die oppervlakte van die laterale oppervlak van die keël kan bereken. Die formule is:
Sb=pigr
Die oppervlakte van 'n koniese oppervlak Sbis gelyk aan die produk van twee parameters en Pi.
Afgekapte keël en sy oppervlak
As ons 'n gewone keël neem en sy bokant met 'n parallelle vlak afsny, sal die oorblywende figuur 'n afgeknotte keël wees. Sy laterale oppervlak word beperk deur twee ronde basisse. Kom ons dui hul radiusse aan as R en r. Ons dui die hoogte van die figuur aan met h, en die generatrix met g. Hieronder is 'n papieruitknipsel vir hierdie figuur.
Daar kan gesien word dat die syoppervlak nie meer 'n sirkelvormige sektor is nie, dit is kleiner in oppervlakte, aangesien die sentrale deel daarvan afgesny is. Die ontwikkeling is beperk tot vier lyne, twee daarvan is reguitlynsegmente-opwekkers, die ander twee is boë met die lengtes van die ooreenstemmende sirkels van die basisse van die afgeknotte keël.
Syoppervlak Sb soos volg bereken:
Sb=pig(r + R)
Generatrix, radiusse en hoogte word verwant deur die volgende gelykheid:
g2=h2+ (R - r)2
Die probleem met die gelykheid van die areas van figure
Gegee 'n keël met 'n hoogte van 20 cm en 'n basisradius van 8 cm Dit is nodig om die hoogte van 'n afgeknotte keël te vind waarvan die laterale oppervlak dieselfde area as hierdie keël sal hê. Die afgekapte figuur is op dieselfde basis gebou, en die radius van die boonste basis is 3 cm.
Kom ons skryf eerstens die toestand van gelykheid van die oppervlaktes van die keël en die afgekapte figuur neer. Ons het:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Kom ons skryf nou die uitdrukkings vir die generatrises van elke vorm:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Vervang g1 en g2 in die formule vir gelyke oppervlaktes en vierkant die linker- en regtersye, ons kry:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
Waar ons die uitdrukking kry vir h2:
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
Ons sal nie hierdie gelykheid vereenvoudig nie, maar bloot die data wat bekend is uit die toestand vervang:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14,85 cm
Dus, om gelyk te wees aan die oppervlaktes van die syvlakke van die figure, moet die afgeknotte keël die parameters hê: R=8 cm, r=3 cm, h2≈ 14, 85 cm.
