'n Kegel is een van die ruimtelike figure van rotasie, waarvan die kenmerke en eienskappe deur stereometrie bestudeer word. In hierdie artikel sal ons hierdie figuur definieer en die basiese formules oorweeg wat die lineêre parameters van 'n keël met sy oppervlakte en volume verbind.
Wat is 'n keël?
Vanuit die oogpunt van meetkunde, praat ons van 'n ruimtelike figuur, wat gevorm word deur 'n stel reguit segmente wat 'n sekere punt in die ruimte verbind met alle punte van 'n gladde plat kromme. Hierdie kromme kan 'n sirkel of 'n ellips wees. Die figuur hieronder wys 'n keël.
Die voorgestelde figuur het geen volume nie, aangesien die mure van sy oppervlak 'n oneindige dikte het. As dit egter met 'n stof gevul is en van bo af nie deur 'n kromme begrens word nie, maar deur 'n plat figuur, byvoorbeeld 'n sirkel, dan sal ons 'n soliede volumetriese liggaam kry, wat ook algemeen 'n keël genoem word.
Die vorm van 'n keël kan dikwels in die lewe gevind word. Dus, dit het 'n roomyshorinkie of gestreepte swart en oranje verkeerskeëls wat op die pad geplaas word om die aandag van verkeersdeelnemers te trek.
Elemente van 'n keël en sy tipes
Aangesien die keël nie 'n veelvlak is nie, is die aantal elemente wat dit vorm nie so groot soos vir veelvlakke nie. In meetkunde bestaan 'n algemene keël uit die volgende elemente:
- basis, waarvan die grenskromme die riglyn of generatrix genoem word;
- van die laterale oppervlak, wat die versameling is van alle punte van reguitlynsegmente (generatrices) wat die hoekpunt en punte van die gidskromme verbind;
- vertex, wat die snypunt van die generatrices is.
Let op dat die hoekpunt nie in die vlak van die basis moet lê nie, aangesien die keël in hierdie geval in 'n plat figuur ontaard.
As ons 'n loodregte segment van bo na die basis teken, sal ons die hoogte van die figuur kry. As die laaste basis by die geometriese middelpunt sny, is dit 'n reguit keël. As die loodlyn nie met die geometriese middelpunt van die basis saamval nie, sal die figuur skuins wees.
Reguit en skuins keëls word in die figuur getoon. Hier word die hoogte en radius van die basis van die keël onderskeidelik deur h en r aangedui. Die lyn wat die bokant van die figuur en die geometriese middelpunt van die basis verbind, is die as van die keël. Uit die figuur kan gesien word dat vir 'n reguit figuur die hoogte op hierdie as lê, en vir 'n skuins figuur vorm die hoogte 'n hoek met die as. Die as van die keël word met die letter a aangedui.
Reguit keël met ronde basis
Miskien is hierdie keël die algemeenste van die beskoude klas figure. Dit bestaan uit 'n sirkel en 'n syoppervlaktes. Dit is nie moeilik om dit deur meetkundige metodes te verkry nie. Om dit te doen, neem 'n reghoekige driehoek en draai dit om 'n as wat saamval met een van die bene. Dit is duidelik dat hierdie been die hoogte van die figuur word, en die lengte van die tweede been van die driehoek vorm die radius van die basis van die keël. Die diagram hieronder demonstreer die beskryfde skema vir die verkryging van die betrokke rotasiesyfer.
Die afgebeelde driehoek kan om 'n ander been gedraai word, wat sal lei tot 'n keël met 'n groter basisradius en 'n laer hoogte as die eerste een.
Om alle parameters van 'n ronde reguit keël ondubbelsinnig te bepaal, moet 'n mens enige twee van sy lineêre kenmerke ken. Onder hulle word die radius r, die hoogte h of die lengte van die generatrix g onderskei. Al hierdie hoeveelhede is die lengtes van die sye van die beskoude reghoekige driehoek, daarom is die Pythagoras-stelling geldig vir hul verband:
g2=r2+ h2.
Opervlakte
Wanneer jy die oppervlak van enige driedimensionele figuur bestudeer, is dit gerieflik om die ontwikkeling daarvan op 'n vliegtuig te gebruik. Die keël is geen uitsondering nie. Vir 'n ronde keël word die ontwikkeling hieronder getoon.
Ons sien dat die ontvouing van die figuur uit twee dele bestaan:
- Die sirkel wat die basis van die keël vorm.
- Die sektor van die sirkel, wat die koniese oppervlak van die figuur is.
Die oppervlakte van 'n sirkel is maklik om te vind, en die ooreenstemmende formule is aan elke student bekend. Praat oor die omsendbrief sektor, ons let op dat ditis deel van 'n sirkel met radius g (die lengte van die generatrix van die keël). Die lengte van die boog van hierdie sektor is gelyk aan die omtrek van die basis. Hierdie parameters maak dit moontlik om sy area ondubbelsinnig te bepaal. Die ooreenstemmende formule is:
S=pir2+ pirg.
Die eerste en tweede terme in die uitdrukking is onderskeidelik die keël van die basis en die syoppervlak van die area.
As die lengte van die generator g onbekend is, maar die hoogte h van die figuur is gegee, dan kan die formule herskryf word as:
S=pir2+ pir√(r2+ h2).
Die volume van die figuur
As ons 'n reguit piramide neem en die aantal sye van sy basis teen oneindig vermeerder, dan sal die vorm van die basis na 'n sirkel neig, en die sy-oppervlak van die piramide sal die koniese oppervlak nader. Hierdie oorwegings laat ons toe om die formule vir die volume van 'n piramide te gebruik wanneer 'n soortgelyke waarde vir 'n keël bereken word. Die volume van 'n keël kan gevind word deur die formule:
V=1/3hSo.
Hierdie formule is altyd waar, ongeag wat die basis van die keël is, met oppervlakte So. Boonop geld die formule ook vir die skuins keël.
Aangesien ons die eienskappe van 'n reguit figuur met 'n ronde basis bestudeer, kan ons die volgende uitdrukking gebruik om die volume daarvan te bepaal:
V=1/3hpir2.
Die formule is voor die hand liggend.
Die probleem om die oppervlakte en volume te vind
Laat 'n keël gegee word waarvan die radius 10 cm is, en die lengte van die generatrix is 20sien Moet volume en oppervlakte vir hierdie vorm bepaal word.
Om die oppervlakte S te bereken, kan jy dadelik die formule hierbo gebruik. Ons het:
S=pir2+ pirg=942 cm2.
Om die volume te bepaal, moet jy die hoogte h van die figuur ken. Ons bereken dit deur die verband tussen die lineêre parameters van die keël te gebruik. Ons kry:
h=√(g2- r2)=√(202- 102) ≈ 17, 32 cm.
Nou kan jy die formule vir V gebruik:
V=1/3hpir2=1/317, 323, 14102 ≈ 1812, 83cm3.
Let op dat die volume van 'n ronde keël een derde van die silinder is waarin dit ingeskryf is.
