Kwantitatiewe studie van die dinamika en kinematika van rotasiebeweging vereis kennis van die traagheidsmoment van 'n materiële punt en 'n rigiede liggaam relatief tot die rotasie-as. Ons sal in die artikel oorweeg van watter parameter ons praat, en ook 'n formule gee om dit te bepaal.
Algemene inligting oor die fisiese hoeveelheid
Kom ons definieer eers die traagheidsmoment van 'n materiële punt en 'n rigiede liggaam, en wys dan hoe dit gebruik moet word om praktiese probleme op te los.
Onder die aangeduide fisiese eienskap vir 'n punt met 'n massa m, wat om die as draai op 'n afstand r, word die volgende waarde bedoel:
I=mr².
Waar dit volg dat die meeteenheid van die bestudeerde parameter kilogram per vierkante meter (kgm²) is.
As, in plaas van 'n punt om 'n as, 'n liggaam met komplekse vorm roteer, wat 'n arbitrêre verspreiding van massa binne homself het, dan word sy traagheidsmoment bepaaldus:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Waar ρ die digtheid van die liggaam is. Deur die integrale formule te gebruik, kan jy die waarde van I vir absoluut enige stelsel van rotasie bepaal.
Traagheidsmoment het presies dieselfde betekenis vir rotasie as wat massa vir translasiebeweging het. Almal weet byvoorbeeld dat dit die maklikste is om 'n vloermop om 'n as wat deur sy handvatsel gaan, te draai as deur 'n loodregte een. Dit is te wyte aan die feit dat die traagheidsmoment in die eerste geval baie minder is as in die tweede.
Ek waardeer vir liggame van verskillende vorms
Wanneer probleme in fisika vir rotasie opgelos word, is dit dikwels nodig om die traagheidsmoment vir 'n liggaam van 'n spesifieke geometriese vorm te ken, byvoorbeeld vir 'n silinder, bal of staaf. As ons die formule hierbo vir I toepas, dan is dit maklik om die ooreenstemmende uitdrukking vir alle gemerkte liggame te verkry. Hieronder is die formules vir sommige van hulle:
staaf: I=1/12ML²;
silinder: I=1/2MR²;
sfeer: I=2/5MR².
Hier word ek gegee vir die rotasie-as, wat deur die massamiddelpunt van die liggaam gaan. In die geval van 'n silinder is die as parallel aan die opwekker van die figuur. Die traagheidsmoment vir ander geometriese liggame en opsies vir die ligging van die rotasie-asse kan in die ooreenstemmende tabelle gevind word. Let daarop dat om I verskillende figure te bepaal, dit genoeg is om net een meetkundige parameter en die massa van die liggaam te ken.
Steiner se stelling en formule
Traagheidsmoment kan bepaal word as die rotasie-as op 'n afstand van die liggaam geleë is. Om dit te doen, moet jy die lengte van hierdie segment ken en die waarde IOvan die liggaam relatief tot die as wat deur die middelpunt van sy massa gaan, wat parallel moet wees met die een onder oorweging. Die vestiging van 'n verband tussen die parameter IO en die onbekende waarde I word in Steiner se stelling vasgestel. Die traagheidsmoment van 'n materiële punt en 'n rigiede liggaam word wiskundig soos volg geskryf:
I=IO+ Mh2.
Hier is M die massa van die liggaam, h is die afstand vanaf die massamiddelpunt na die rotasie-as, relatief waartoe dit nodig is om I te bereken. Hierdie uitdrukking is maklik om op jou eie te verkry as jy gebruik die integrale formule vir I en neem in ag dat alle punte van die liggaam op afstande is r=r0 + h.
Steiner se stelling vereenvoudig die definisie van ek vir baie praktiese situasies. Byvoorbeeld, as jy I moet vind vir 'n staaf met lengte L en massa M met betrekking tot 'n as wat deur sy einde gaan, dan laat die toepassing van die Steiner-stelling jou toe om te skryf:
I=IO+ M(L / 2)2=1/12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Jy kan na die ooreenstemmende tabel verwys en sien dat dit presies hierdie formule bevat vir 'n dun staaf met 'n rotasie-as aan sy einde.
Momentvergelyking
In die fisika van rotasie is daar 'n formule wat die vergelyking van momente genoem word. Dit lyk so:
M=ekα.
Hier is M die moment van krag, α is die hoekversnelling. Soos jy kan sien, is die traagheidsmoment van 'n materiële punt en 'n rigiede liggaam en die kragmoment lineêr verwant aan mekaar. Die waarde M bepaal die moontlikheid van een of ander krag F om 'n rotasiebeweging met versnelling α in die sisteem te skep. Om M te bereken, gebruik die volgende eenvoudige uitdrukking:
M=Fd.
Waar d die skouer van die oomblik is, wat gelyk is aan die afstand vanaf die kragvektor F na die rotasie-as. Hoe kleiner die arm d, hoe minder vermoë sal die krag hê om rotasie van die stelsel te skep.
Die vergelyking van momente in sy betekenis stem ten volle ooreen met Newton se tweede wet. In hierdie geval speel ek die rol van die traagheidsmassa.
Voorbeeld van probleemoplossing
Kom ons stel ons 'n stelsel voor wat 'n silinder is wat op 'n vertikale as vasgemaak is met 'n gewiglose horisontale staaf. Dit is bekend dat die rotasie-as en die hoof-as van die silinder parallel aan mekaar is, en die afstand tussen hulle is 30 cm. Die massa van die silinder is 1 kg, en sy radius is 5 cm. 'n Krag van 10 N raaklyn aan die rotasiebaan werk op die figuur in, waarvan die vektor deur die hoofas van die silinder gaan. Dit is nodig om die hoekversnelling van die figuur te bepaal, wat hierdie krag sal veroorsaak.
Eers, kom ons bereken die traagheidsmoment van die I-silinder. Om dit te doen, pas die Steiner-stelling toe, ons het:
I=IO+ M d²=1/2MR² + Md²=1/210.05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Voordat jy die oomblikvergelyking gebruik, moet jybepaal die moment van krag M. In hierdie geval het ons:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Nou kan jy die versnelling bepaal:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
Die berekende hoekversnelling dui aan dat die spoed van die silinder elke sekonde met 5,2 omwentelinge per sekonde sal toeneem.
